Принцип равномерной ограниченности - Uniform boundedness principle

По поводу определения равномерно ограниченных функций см. Равномерная ограниченность. По поводу гипотезы в теории чисел и алгебраической геометрии см. Гипотеза о равномерной ограниченности.

В математика, то принцип равномерной ограниченности или же Теорема Банаха – Штейнгауза один из фундаментальных результатов функциональный анализ. Вместе с Теорема Хана – Банаха и теорема об открытом отображении, считается одним из краеугольных камней отрасли. В своей основной форме он утверждает, что для семьи непрерывные линейные операторы (и, следовательно, ограниченные операторы), область определения которых Банахово пространство, точечная ограниченность равносильна равномерной ограниченности в норма оператора.

Теорема была впервые опубликована в 1927 г. Стефан Банах и Хьюго Штайнхаус, но это было также независимо доказано Ганс Хан.

Теорема

Принцип равномерной ограниченности — Позволять Икс быть Банахово пространство и Y а нормированное векторное пространство. Предположим, что F представляет собой набор непрерывных линейных операторов из Икс к Y. Если

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$

для всех Икс ∈ Икс, тогда

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$

Полнота Икс позволяет следующее короткое доказательство, используя Теорема Бэра о категории.

Доказательство

Позволять Икс быть банаховым пространством. Предположим, что для каждого Икс ∈ Икс, ${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$ Для каждого целого числа ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, позволять ${\displaystyle X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.}$ Каждый набор ${\displaystyle X_{n}}$ это закрытый набор и по предположению ${\displaystyle \bigcup \nolimits _{n\in \mathbf {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .}$ Посредством Теорема Бэра о категории для непустого полное метрическое пространство  Икс, есть некоторые м такой, что ${\displaystyle X_{m}}$ имеет непустой интерьер; то есть существуют ${\displaystyle x_{0}\in X_{m}}$ и ε> 0 такой, что ${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}:=\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \}\subseteq X_{m}.}$ Позволять ты ∈ Икс с ǁтыǁ ≤ 1 и Т ∈ F. У одного есть это: ${\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T(x_{0})\right\|_{Y}&[{\text{by linearity of }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{since}}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}}$ Принимая супремум ты в единичном шареИкс и более Т ∈ F следует, что ${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty .}$

Существуют также простые доказательства, не использующие теорему Бэра (Сокаль 2011 ).

Следствия

Следствие — Если последовательность ограниченных операторов (Т_п) сходится поточечно, т. е. предел { Т_п(Икс) } существует для всех Икс ∈ Икс, то эти поточечные пределы определяют ограниченный оператор Т.

Приведенное выше следствие делает нет утверждают, что Т_п сходится к Т по операторной норме, т.е. равномерно на ограниченных множествах. Однако, поскольку { Т_п } ограничена по операторной норме, а предельный оператор Т непрерывна, стандартная Оценка "3-е" показывает, что Т_п сходится к Т равномерно на компактный наборы.

Следствие — Любое слабо ограниченное подмножество S в нормированном пространстве Y ограничено.

Действительно, элементы S определяют поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных форм на банаховом пространстве Икс = Y *, непрерывное двойственное Y. По принципу равномерной ограниченности нормы элементов S, как функционалы на Икс, то есть нормы во втором дуальном Д **, ограничены. Но для каждого s ∈ S, норма во втором двойственном совпадает с нормой в Y, вследствие Теорема Хана – Банаха.

Позволять L(Икс, Y) обозначим непрерывные операторы из Икс к Y, с операторной нормой. Если коллекция F неограничен в L(Икс, Y), то по принципу равномерной ограниченности имеем:

${\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing }$

Фактически, р плотно в Икс. Дополнение р в Икс является счетным объединением замкнутых множеств ∪ Икс_п. Судя по аргументам, использованным при доказательстве теоремы, каждый Икс_п является нигде не плотный, т.е. подмножество ∪ Икс_п является первой категории. Следовательно р является дополнением к подмножеству первой категории в пространстве Бэра. По определению пространства Бэра такие множества (называемые остаточные множества) плотные. Такое рассуждение приводит к принцип уплотнения особенностей, который можно сформулировать следующим образом:

Теорема — Позволять Икс быть банаховым пространством, { Y_п } последовательность нормированных векторных пространств, и F_п неограниченная семья в L(Икс, Y_п). Тогда набор

${\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \forall n\in \mathbf {N} :\sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}}$

является остаточным множеством и поэтому плотно в Икс.

Доказательство
Дополнение р это счетное объединение ${\displaystyle \bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}}$ комплектов первой категории. Следовательно, его остаточное множество р плотный.

Пример: поточечная сходимость ряда Фурье

Позволять ${\displaystyle \mathbb {T} }$ быть круг, и разреши ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ - банахово пространство непрерывных функций на ${\displaystyle \mathbb {T} ,}$ с единая норма. Используя принцип равномерной ограниченности, можно показать, что существует элемент в ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ для которых ряд Фурье поточечно не сходится.

За ${\displaystyle f\in C(\mathbb {T} ),}$ это Ряд Фурье определяется

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},}$

и N-я симметричная частичная сумма равна

${\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,}$

куда D_N это N-й Ядро Дирихле. Исправить ${\displaystyle x\in \mathbb {T} }$ и рассмотрим сходимость {S_N(ж)(Икс)}. Функционал ${\displaystyle \varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C} }$ определяется

${\displaystyle \varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),}$

ограничено. Норма φ_N,Икс, в двойном ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$, - норма подписанной меры (2π)⁻¹D_N(Икс−т) dт, а именно

${\displaystyle \left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.}$

Можно убедиться, что

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .}$

Итак, коллекция {φ_N,Икс } неограничен в ${\displaystyle C(\mathbb {T} )^{\ast },}$ двойник ${\displaystyle C(\mathbb {T} ).}$ Следовательно, по принципу равномерной ограниченности для любого ${\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}$ множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в Икс плотно в ${\displaystyle C(\mathbb {T} ).}$

К большему выводу можно прийти, применив принцип уплотнения сингулярностей. Позволять { Икс_м } - плотная последовательность в ${\displaystyle \mathbb {T} .}$ Определять φ_N,Иксм аналогично тому, как описано выше. Тогда принцип уплотнения особенностей гласит, что множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится на каждом Икс_м плотно в ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ (однако ряд Фурье непрерывной функции ж сходится к ж(Икс) почти для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {T} }$, к Теорема Карлесона ).

Обобщения

Наименее ограничивающая установка для принципа равномерной ограниченности - это ствольное пространство где имеет место следующий обобщенный вариант теоремы (Бурбаки 1987, Теорема III.2.1) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBourbaki1987 (помощь):

Теорема — Учитывая бочкообразное пространство Икс и локально выпуклое пространство Y, то любое семейство поточечно ограниченных непрерывные линейные отображения из Икс к Y является равностепенный (четное равномерно равностепенно непрерывный ).

В качестве альтернативы утверждение также верно всякий раз, Икс это Пространство Бэра и Y является локально выпуклым пространством.^[1]

Дьедонне (1970) доказывает более слабую форму этой теоремы с Пространства фреше а не обычные банаховы пространства. Конкретно,

Теорема — Позволять Икс быть пространством Фреше, Y нормированное пространство, и ЧАС набор непрерывных линейных отображений Икс в Y. Если для каждого Икс ∈ Икс,

${\displaystyle \sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty }$

тогда семья ЧАС равностепенно непрерывно.

Смотрите также

• Бочковое пространство - Топологическое векторное пространство с почти минимальными требованиями для выполнения теоремы Банаха – Штейнгауза.
• Теорема Урсеску - Теорема, которая одновременно обобщает замкнутый график, открытое отображение и теоремы Банаха – Штейнгауза.

Цитаты

1. Штерн 2001.

Библиография

• Банах, Стефан; Штайнхаус, Гюго (1927), "Sur le principe de la Concation de Singularités" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 9: 50–61, Дои:10.4064 / fm-9-1-50-61. (На французском)
• Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-01-11. Получено 2020-07-11.
• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 [Sur определенных пространств векторной топологии]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Перевод Eggleston, H.G .; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42338-6. OCLC  17499190.
• Дьедонне, Жан (1970), Трактат об анализе, Том 2, Academic Press.
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С. М. (1978). Написано в берлинском Гейдельберге. Бочность в топологических и упорядоченных векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 692. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Халилулла, С. М. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Вальтер (1966), Реальный и комплексный анализ, Макгроу-Хилл.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Штерн, А. (2001) [1994], «Принцип равномерной ограниченности», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Сокал, Алан (2011), «Действительно простое элементарное доказательство теоремы о равномерной ограниченности», Амер. Математика. Ежемесячно, 118 (5): 450–452, arXiv:1005.1585, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.118.05.450, S2CID  41853641.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.