DF-пространство - DF-space

В области функциональный анализ, DF-пространства, также написано (DF) -пространства находятся локально выпуклый топологическое векторное пространство обладающий свойством, общим для локально выпуклых метризуемые топологические векторные пространства. Они играют значительную роль в теории топологических тензорных произведений.^[1]

DF-пространства были впервые определены Александр Гротендик и подробно изучен им в (Гротендик 1954 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFGrothendieck1954 (помощь). Гротендик ввел эти пространства благодаря следующему свойству сильных двойников метризуемых пространств: если Икс это метризуемый локально выпуклое пространство и ${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$ представляет собой последовательность выпуклых 0-окрестностей в ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ такой, что ${\displaystyle V:=\cap _{i}V_{i}}$ поглощает каждое сильно ограниченное множество, то V является 0-окрестностью в ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ (куда ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ является непрерывным двойственным пространством Икс наделен сильной дуальной топологией).^[2]

Определение

А локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) Икс это DF-пространство, также написано (DF)-Космос, если^[1]

1. Икс это счетное квази-ствольное пространство (т.е. каждое сильно ограниченное счетное объединение равностепенно непрерывных подмножеств ${\displaystyle X^{\prime }}$ равностепенно непрерывно), и
2. Икс обладает фундаментальной последовательностью ограниченных (т.е. существует счетная последовательность ограниченных подмножеств ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ такой, что любое ограниченное подмножество Икс содержится в некоторых ${\displaystyle B_{i}}$^[3]).

Характеристики

• Позволять Икс - DF-пространство и пусть V - выпуклое сбалансированное подмножество Икс. потом V является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда для каждого выпуклого сбалансированного ограниченного подмножества B ⊆ Икс, B ∩ V является 0-окрестностью в B.^[1] Таким образом, линейное отображение из DF-пространства в локально выпуклое пространство является непрерывным, если его ограничение на каждое ограниченное подмножество области непрерывно.^[1]
• Сильным двойником к DF-пространству является Fréchet space.^[4]
• Каждый бесконечномерный Montel DF-пространство - это последовательное пространство но нет а Пространство Фреше – Урысона.
• Предполагать Икс является либо DF-пространством, либо LM-пространство. Если Икс это последовательное пространство тогда это либо метризуемый или иначе Montel space DF-пространство.
• Каждый квазиполный DF-пространство завершено.^[5]
• Если Икс это полный ядерный DF-пространство тогда Икс это Montel space.^[6]

Достаточные условия

• Сильно сопряженное к метризуемому локально выпуклому пространству является DF-пространством (но, вообще говоря, не наоборот).^[1] Следовательно:
  • Каждое нормированное пространство является DF-пространством.^[7]
  • Каждое банахово пространство является DF-пространством.^[1]
  • Каждый непонятное пространство обладающее фундаментальной последовательностью ограниченных множеств, является DF-пространством.
• Каждое хаусдорфово фактор-пространство DF-пространства является DF-пространством.^[4]
• В завершение DF-пространства является DF-пространством.^[4]
• Локально выпуклая сумма последовательности DF-пространств является DF-пространством.^[4]
• Индуктивный предел последовательности DF-пространств - это DF-пространство.^[4]
• Предположим, что Икс и Y являются DF-пространствами. Тогда проективное тензорное произведение, как и его пополнение, этих пространств является DF-пространством.^[6]

Тем не мение,

• Бесконечное произведение нетривиальных DF-пространств (т.е. все факторы имеют ненулевую размерность) есть нет DF-пространство.^[4]
• Замкнутое векторное подпространство DF-пространства не обязательно является DF-пространством.^[4]
• Существуют полные DF-пространства, которые не являются TVS-изоморфными сильному двойственному метризуемому локально выпуклому TVS.^[4]

Примеры

Существуют полные DF-пространства, которые не являются TVS-изоморфными сильному двойственному метризуемому локально выпуклому пространству.^[4]Существуют DF-пространства, имеющие замкнутые векторные подпространства, которые нет DF-пространства.^[8]

Смотрите также

• Бочковое пространство
• Счетное квази-ствольное пространство
• F-пространство - Топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой
• LB-пространство
• LF-пространство
• Ядерное пространство - Тип топологического векторного пространства
• Проективное тензорное произведение

Цитаты

1. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 154-155.
2. Шефер и Вольф, 1999 г., стр.152,154.
3. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 25.
4. Шефер и Вольф, 1999 г., стр. 196-197.
5. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 190-202.
6. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 199-202.
7. Халилулла 1982, п. 33.
8. Халилулла 1982 С. 103-110.

Библиография

• Гротендик, Александр (1954). "Sur les espaces (F) et (DF)". Summa Brasil. Математика. (На французском). 3: 57–123. МИСТЕР  0075542.
• Гротендик, Александр (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные продукты и ядерные пространства]. Мемуары из серии Американского математического общества (На французском). Провиденс: Американское математическое общество. 16. ISBN  978-0-8218-1216-7. МИСТЕР  0075539. OCLC  1315788.
• Халилулла, С. М. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально выпуклые пространства. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Конспект лекций по математике. 726. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.

внешняя ссылка

• DF-пространство в ncatlab