Пространство Смита - Smith space

В функциональный анализ и смежные области математика, а Пространство Смита это полный компактно генерируемый локально выпуклое топологическое векторное пространство ${\displaystyle X}$ иметь универсальный компактный комплект, т.е. компакт ${\displaystyle K}$ который поглощает любой другой компактный набор ${\displaystyle T\subseteq X}$ (т.е. ${\displaystyle T\subseteq \lambda \cdot K}$ для некоторых ${\displaystyle \lambda >0}$).

Пространства Смита названы в честь Марианна Рут Фрейндлих Смит, кто их представил^[1] как двойники к Банаховы пространства в некоторых версиях теории двойственности для топологические векторные пространства. Все пространства Смита стереотип и находятся в стереотипных двойственных отношениях с Банаховы пространства:^[2][3]

• для любого банахова пространства ${\displaystyle X}$ его стереотип двойного пространства^[4] ${\displaystyle X^{\star }}$ пространство Смита,

• и наоборот, для любого пространства Смита ${\displaystyle X}$ его стереотип двойного пространства ${\displaystyle X^{\star }}$ является банаховым пространством.

Пространства Смита являются частными случаями Пространства Браунера.

Примеры

• Как следует из теорем двойственности, для любого банахова пространства ${\displaystyle X}$ его стереотип двойного пространства ${\displaystyle X^{\star }}$ пространство Смита. В полярный ${\displaystyle K=B^{\circ }}$ единичного шара ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle X}$ универсальный компакт в ${\displaystyle X^{\star }}$. Если ${\displaystyle X^{*}}$ обозначает нормированное двойное пространство за ${\displaystyle X}$, и ${\displaystyle X'}$ космос ${\displaystyle X^{*}}$ наделен ${\displaystyle X}$-слабая топология, то топология ${\displaystyle X^{\star }}$ лежит между топологией ${\displaystyle X^{*}}$ и топология ${\displaystyle X'}$, поэтому существуют естественные (линейные непрерывные) биекции

${\displaystyle X^{*}\to X^{\star }\to X'.}$

Если ${\displaystyle X}$ бесконечномерна, то никакие две из этих топологий не совпадают. В то же время для бесконечномерных ${\displaystyle X}$ космос ${\displaystyle X^{\star }}$ не является ствол (и даже не Макки пространство если ${\displaystyle X}$ является рефлексивно как банахово пространство^[5]).

• Если ${\displaystyle K}$ это выпуклый сбалансированный компактный установлен в локально выпуклое пространство ${\displaystyle Y}$, то его линейный пролет ${\displaystyle {\mathbb {C} }K=\operatorname {span} (K)}$ обладает уникальной структурой пространства Смита с ${\displaystyle K}$ как универсальный компакт (и с той же топологией на ${\displaystyle K}$)^[6].
• Если ${\displaystyle M}$ является (Хаусдорфом) компактное топологическое пространство, и ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ то Банахово пространство непрерывных функций на ${\displaystyle M}$ (с обычной sup-нормой), то стереотипное дуальное пространство ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(M)}$ (из Радоновые меры на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на компактах в ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$) - пространство Смита. В частном случае, когда ${\displaystyle M=G}$ наделен структурой топологическая группа космос ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$ становится естественным примером стереотипная групповая алгебра.^[7]

• А Банахово пространство ${\displaystyle X}$ является пространством Смита тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ конечномерна.

Смотрите также

• Стереотипное пространство
• Пространство Браунера

Примечания

1. Смит 1952.
2. Акбаров 2003, п. 220.
3. Акбаров 2009, п. 467.
4. В стереотип дуальный пространство в локально выпуклое пространство ${\displaystyle X}$ это пространство ${\displaystyle X^{\star }}$ всех линейных непрерывных функционалов ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ наделен топологией равномерной сходимости на вполне ограниченные множества в ${\displaystyle X}$.
5. Акбаров 2003, п. 221, пример 4.8.
6. Акбаров 2009 г., п. 468.
7. Акбаров 2003, п. 272.

Рекомендации

• Смит, М.Ф. (1952). «Теорема двойственности Понтрягина в линейных пространствах». Анналы математики. 56 (2): 248–253. Дои:10.2307/1969798. JSTOR  1969798.
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре». Журнал математических наук. 113 (2): 179–349. Дои:10.1023 / А: 1020929201133.
• Акбаров, С.С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Журнал математических наук. 162 (4): 459–586. arXiv:0806.3205. Дои:10.1007 / s10958-009-9646-1.
• Furber, R.W.J. (2017). Категориальная двойственность в вероятностных и квантовых основаниях (PDF) (Кандидат наук). Radboud University.