Montel space - Montel space

В функциональный анализ и смежные области математика, а Montel space, названный в честь Поль Монтель, любой топологическое векторное пространство (TVS) в котором аналог Теорема Монтеля держит. В частности, пространство Montel - это ствол топологическое векторное пространство, в котором каждое закрыто и ограниченное подмножество является компактный.

Определение

А Хаусдорф локально выпуклое топологическое векторное пространство называется полумонтельское пространство или же идеально если каждый ограниченное подмножество является относительно компактный.^{[примечание 1]}

А топологическое векторное пространство (TVS) имеет Свойство Гейне-Бореля если каждый закрыто и ограниченное подмножество является компактный.

Известно, что подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда оно полный и полностью ограниченный.

А Montel space это ствол топологическое векторное пространство со свойством Гейне – Бореля. Эквивалентно, это неразборчивый полумонтельское пространство.

Характеристики

А отделяемый Fréchet space является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда каждое слабо- * сходящийся последовательность в своей непрерывной двойственной сильно сходящийся.^[1]

Достаточные условия

Полумонтельские пространства

Замкнутое векторное подпространство полумонтелевского пространства снова является полумонтелевым пространством. Локально выпуклый прямая сумма любого семейства полумонтельских пространств снова является полумонтелевым пространством. В обратный предел обратной системы, состоящей из полумонтелевских пространств, снова является полумонтелевским пространством. В Декартово произведение любого семейства полумонтелевых пространств (соответственно пространств Монтеля) снова является полумонтелевым пространством (соответственно пространством Монтеля).

Пространства Montel

Сильным двойником пространства Montel является Montel. А ствол квазиполный ядерное пространство это пространство Montel.^[1] Каждое произведение и локально выпуклая прямая сумма семейства пространств Монтеля является пространством Монтеля.^[1] Строгий индуктивный предел последовательности пространств Монтеля - это пространство Монтеля.^[1] Напротив, замкнутые подпространства и отдельные частные пространств Монтеля, как правило, даже не рефлексивный.^[1] Каждый Фреше Шварц пространство - это пространство Монтеля.^[2]

Характеристики

Пространства Montel паракомпакт и нормальный.^[3] Пространства Semi-Montel квазиполный и полурефлексивный в то время как пространства Montel рефлексивный.

Нет бесконечномерного Банахово пространство это пространство Montel. Это потому, что банахово пространство не может удовлетворять Свойство Гейне-Бореля: замкнутый единичный шар замкнут и ограничен, но не компактен. Фреше Помещения Montel отделимы и имеют борнологический сильный дуал. Метризуемое пространство Монтеля - это отделяемый.^[1]

Примеры

В классическом комплексный анализ, Теорема Монтеля утверждает, что пространство голоморфные функции на открыто связаны подмножество сложные числа имеет это свойство.

Многие современные помещения Montel возникают как пространства тестовые функции на пространство распределения. Космос C^∞(Ом) из гладкие функции на открытом множестве Ω в ℝ^п - пространство Монтеля, снабженное топологией, индуцированной семейством полунормы

${\displaystyle \|f\|_{K,n}=\sup _{|\alpha |\leq n}\sup _{x\in K}\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|}$

за п = 1, 2, … и K пробегает компактные подмножества Ω, а α - мультииндекс. Точно так же пространство компактно поддерживается функции в открытом наборе с окончательная топология семейства включений ${\displaystyle \scriptstyle {C_{0}^{\infty }(K)\subset C_{0}^{\infty }(\Omega )}}$ в качестве K пробегает все компактные подмножества в Ω. В Пространство Шварца это также пространство Montel.

Контрпримеры

Каждый бесконечномерный нормированное пространство это ствольное пространство то есть нет пространство Montel.^[4] В частности, каждое бесконечномерное Банахово пространство это не пространство Монтель.^[4] Существуют пространства Montel, которые не отделяемый и существуют пространства Montel, которые не полный.^[4] Существуют пространства Монтеля, имеющие замкнутые векторные подпространства, которые нет Пространства Монтеля.^[5]

Смотрите также

• Бочковое пространство
• Борнологическое пространство
• Теорема Гейне – Бореля
• LB-пространство
• LF-пространство
• Ядерное пространство

Примечания

1. Напомним, что подмножество S топологического пространства Икс называется относительно компактный это закрытие в Икс является компактный.

Рекомендации

1. Шефер и Вольф, 1999 г., стр. 194-195.
2. Халилулла 1982 С. 32-63.
3. «Топологическое векторное пространство». Энциклопедия математики. Энциклопедия математики. Получено 6 сентября, 2020.
4. Халилулла 1982 С. 28-63.
5. Халилулла 1982 С. 103-110.

• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственности, топология-борнология и ее использование в функциональном анализе. Математические исследования Северной Голландии. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0. OCLC  316549583.
• Хогбе-Нленд, Анри; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: вводный курс по ядерным и безъядерным пространствам в свете дуальности "топология-борнология". Математические исследования Северной Голландии. 52. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087163-9. OCLC  316564345.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: B.G. Тюбнер. ISBN  978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, С. М. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159. Перевод Гарлинга, Д.Дж.Х. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2. МИСТЕР  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II.. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства. Кембриджские трактаты по математике. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ. Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• «Монтель спейс», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]