Рефлексивное пространство - Reflexive space

В области математики, известной как функциональный анализ, а рефлексивное пространство это локально выпуклый топологическое векторное пространство (TVS) так, что каноническая оценочная карта из Икс в его бидуал (который является сильный дуал сильного дуала Икс) является изоморфизм ТВС. Поскольку нормируемый TVS рефлексивен тогда и только тогда, когда он полурефлексивный, каждый нормированное пространство (и, в частности, каждый Банахово пространство ) Икс рефлексивно тогда и только тогда, когда каноническая оценочная карта из Икс в его бидуал сюръективный; в этом случае нормированное пространство обязательно также является банаховым. Отметим, что в 1951 году Р. К. Джеймс открыл не-рефлексивное банахово пространство, изометрически изоморфное своему бидуалу (таким образом, любой такой изоморфизм обязательно нет каноническая оценочная карта).

Рефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклый ТВС и в теории Банаховы пространства особенно. Гильбертовы пространства являются яркими примерами рефлексивных банаховых пространств. Рефлексивные банаховы пространства часто характеризуются своими геометрическими свойствами.

Определение

Определение бидуала

Предположим, что Икс это топологическое векторное пространство (TVS) над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (которые являются действительными или комплексными числами), непрерывное двойное пространство, ${\displaystyle X^{\prime }}$, разделяет точки на Икс (то есть для любого Икс в Икс есть некоторые ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ такой, что ${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$). Позволять ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ и ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ оба обозначают сильный дуал из Икс, которое является векторным пространством ${\displaystyle X^{\prime }}$ линейных непрерывных функционалов на Икс наделен топология равномерной сходимости на ограниченные подмножества из Икс; эту топологию также называют сильная двойная топология и это топология «по умолчанию», размещенная в непрерывном двойном пространстве (если не указана другая топология). Если Икс является нормированным пространством, то сильный двойственный к Икс является непрерывным двойственным пространством ${\displaystyle X^{\prime }}$ с его обычной топологией нормы. В двуручный из Икс, обозначаемый ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$, является сильным двойником ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$; то есть это пространство ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$.^[1] Если Икс - нормированное пространство, то ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ является непрерывным двойственным пространством банахова пространства ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ с его обычной топологией нормы.

Определения оценочной карты и рефлексивных пространств

Для любого x ∈ X, позволять ${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ определяться ${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)}$, куда J_Икс линейное отображение, называемое карта оценки на Икс; поскольку ${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ обязательно непрерывно, отсюда следует, что ${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$. С ${\displaystyle X^{\prime }}$ разделяет точки на Икс, линейная карта ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ определяется ${\displaystyle J(x):=J_{x}}$ инъективно там, где это отображение называется оценочная карта или каноническая карта. Мы называем Икс полурефлексивный если ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ биективен (или, что то же самое, сюръективный ) и мы называем Икс рефлексивный если в дополнение ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ является изоморфизмом TVS.^[1]А нормируемый пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда оценочная карта сюръективна.

Полурефлексивные пространства

Основная статья: Полурефлексивное пространство

Характеристики

Если Икс является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. Икс полурефлексивен;
2. слабая топология на Икс обладает свойством Гейне-Бореля (т.е.для слабой топологии ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$, каждое замкнутое и ограниченное подмножество ${\displaystyle X_{\sigma }}$ слабо компактный).^[1]
3. Если линейная форма на ${\displaystyle X^{\prime }}$ это непрерывно, когда ${\displaystyle X^{\prime }}$ имеет сильную дуальную топологию, то она непрерывна, когда ${\displaystyle X^{\prime }}$ имеет слабую топологию;^[2]
4. ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$ ствольный;^[2]
5. Икс слабая слабая топология ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ является квазиполный.^[2]

Рефлексивные пространства

Теорема^[3] — Если Икс является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то каноническая инъекция из Икс в его двузначное представление является топологическим вложением тогда и только тогда, когда Икс является непонятный.

Характеристики

Если Икс является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. Икс рефлексивный;
2. Икс является полурефлексивный и непонятный;^[3]
3. Икс является полурефлексивный и ствол;
4. Икс является ствол и слабая топология на Икс обладала свойством Гейне-Бореля (т.е.для слабой топологии ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$, каждое замкнутое и ограниченное подмножество ${\displaystyle X_{\sigma }}$ слабо компактный).^[1]
5. Икс является полурефлексивный и квазибаррель.^[4]

Если Икс является нормированным пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. Икс рефлексивный;
2. шар замкнутой единицы компактен, когда Икс имеет слабую топологию ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$.^[5]
3. Икс является банаховым пространством и ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ рефлексивно.^[6]
4. Каждая последовательность ${\displaystyle \{C_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, с ${\displaystyle C_{n+1}\subset C_{n}\forall n}$, непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств Икс имеет непустое пересечение.^[7]

Теорема:^[8] Вещественное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда любая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго отделены гиперплоскостью.

Теорема Джеймса: А Банахово пространство B рефлексивно тогда и только тогда, когда каждый непрерывный линейный функционал на B достигает своего супремум на закрытом единичный мяч в B.

Достаточные условия

• Замкнутое векторное подпространство рефлексивного банахова пространства рефлексивно.^[3]
• Позволять Икс быть банаховым пространством и M замкнутое векторное подпространство Икс. Если два из Икс, M, и Икс/M рефлексивны, тогда все они.^[3]
  • Вот почему рефлексивность называют трехкомнатная недвижимость.^[3]
• Сильное дуальное к рефлексивному пространству рефлексивно.^[9]
• Если ствол локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно, то рефлексивно.^[1]
• Нормированное пространство, которое является полурефлексивным, является рефлексивным банаховым пространством.^[10]
• Каждые Montel space рефлексивно.^[5]
• Сильный двойник Montel space является пространством Монтеля (и поэтому рефлексивно).^[5]

Контрпримеры

• Существует нерефлексивная локально выпуклая TVS, сильная двойственная которой рефлексивна.^[11]

Характеристики

• Локально выпуклое рефлексивное пространство Хаусдорфа называется ствол.
• Если Икс нормированное пространство, то ${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$ является изометрией на замкнутое подпространство в ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$.^[10] Эта изометрия может быть выражена следующим образом:

  ${\displaystyle \|x\|=\sup _{x^{\prime }\in X^{\prime },\|x^{\prime }\|\leq 1}|\langle x^{\prime },x\rangle |}$.

• Предположим, что Икс это нормированное пространство и ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ является ли его бидуальным нормой. Тогда единичный шар Икс, ${\displaystyle I\left(\{x\in X:\|x\|\leq 1\}\right)}$ плотно в единичном шаре ${\displaystyle \left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\|x^{\prime \prime }\|\leq 1\right\}}$ из ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ для слабой топологии ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$.^[10]

Рефлексивные банаховы пространства

Предполагать ${\displaystyle X}$ это нормированное векторное пространство над числовым полем ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ (в настоящий или же сложные числа ), с нормой ${\displaystyle \|\cdot \|}$. Считайте его двойное нормированное пространство ${\displaystyle X'}$, состоящий из всех непрерывный линейные функционалы ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$ и оснащен двойная норма ${\displaystyle \|\cdot \|'}$ определяется

${\displaystyle \|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.}$

Двойной ${\displaystyle X'}$ - нормированное пространство (a Банахово пространство если быть точным), и его двойное нормированное пространство ${\displaystyle X''=(X')'}$ называется двумерное пространство за ${\displaystyle X}$. Бидуал состоит из всех непрерывных линейных функционалов ${\displaystyle h:X'\to {\mathbb {F} }}$ и оснащен нормой ${\displaystyle \|\cdot \|''}$ двойной к ${\displaystyle \|\cdot \|'}$. Каждый вектор ${\displaystyle x\in X}$ генерирует скалярную функцию ${\displaystyle J(x):X'\to {\mathbb {F} }}$ по формуле:

${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X',}$

и ${\displaystyle J(x)}$ является линейным непрерывным функционалом на ${\displaystyle X'}$, т.е., ${\displaystyle J(x)\in X''}$. Таким образом получается карта

${\displaystyle J:X\to X''}$

называется оценочная карта, то есть линейно. Это следует из Теорема Хана – Банаха который ${\displaystyle J}$ инъективен и сохраняет нормы:

${\displaystyle \forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|,}$

т.е., ${\displaystyle J}$ карты ${\displaystyle X}$ изометрически на свой образ ${\displaystyle J(X)}$ в ${\displaystyle X''}$. Кроме того, изображение ${\displaystyle J(X)}$ закрыт в ${\displaystyle X''}$, но он не обязательно должен быть равен ${\displaystyle X''}$.

Нормированное пространство ${\displaystyle X}$ называется рефлексивный если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:

(i) оценочная карта ${\displaystyle J:X\to X''}$ является сюръективный,

(ii) оценочная карта ${\displaystyle J:X\to X''}$ является изометрический изоморфизм нормированных пространств,

(iii) оценочная карта ${\displaystyle J:X\to X''}$ является изоморфизм нормированных пространств.

Рефлексивное пространство ${\displaystyle X}$ является банаховым пространством, так как ${\displaystyle X}$ тогда изометрично банахову пространству ${\displaystyle X''}$.

Замечание

Банахово пространство Икс рефлексивно, если оно линейно изометрично своему бидуалу при этом каноническом вложении J. Пространство Джеймса является примером нерефлексивного пространства, которое линейно изометрично своему двуручный. Кроме того, образ пространства Джеймса при каноническом вложении J имеет коразмерность один в своем бидуале.^[12]Банахово пространствоИкс называется квазирефлексивный (порядка d) если частное Икс ′′ / J(Икс) имеет конечную размерность d.

Примеры

1) Каждое конечномерное нормированное пространство является рефлексивным просто потому, что в этом случае пространство, его двойственное и двуединое пространство имеют одинаковую линейную размерность, следовательно, линейная инъекция J из определения биективен, по теорема ранга-недействительности.

2) Банахово пространство c₀ скалярных последовательностей, стремящихся к 0 на бесконечности, снабженных нормой супремума, не является рефлексивным. Из общих свойств ниже следует, что ℓ¹ и ℓ^∞ не рефлексивны, потому что ℓ¹ изоморфно двойственному к c₀, и ℓ^∞ изоморфна двойственному к ℓ¹.

3) Все Гильбертовы пространства рефлексивны, как и L^п пробелы за 1 < п < ∞. В более общем плане: все равномерно выпуклый Банаховы пространства рефлексивны согласно Теорема Мильмана – Петтиса. В L¹(μ) и L^∞(μ) пространства не рефлексивны (если они не конечномерны, что происходит, например, когда μ - мера на конечном множестве). Точно так же банахово пространство C([0, 1]) непрерывных функций на [0, 1] не рефлексивно.

4) Пространства S_п(ЧАС) операторов в Класс Шаттена в гильбертовом пространстве ЧАС равномерно выпуклые, а значит, рефлексивные, когда 1 < п < ∞. Когда размер ЧАС бесконечно, то S₁(ЧАС) ( класс трассировки ) не рефлексивно, так как содержит подпространство, изоморфное ℓ¹, и S_∞(ЧАС) = L(ЧАС) (ограниченные линейные операторы наЧАС) не рефлексивно, так как содержит подпространство, изоморфное ℓ^∞. В обоих случаях в качестве подпространства можно выбрать операторы, диагональные относительно данного ортонормированного базисаЧАС.

Характеристики

Если банахово пространство Y изоморфно рефлексивному банахову пространству Икс, тогда Y рефлексивно.^[13]

Каждые закрыто линейное подпространство рефлексивного пространства рефлексивно. Непрерывное двойственное рефлексивному пространству рефлексивно. Каждые частное рефлексивного пространства на замкнутое подпространство рефлексивно.^[14]

Позволять Икс быть банаховым пространством. Следующие варианты эквивалентны.

1. Космос Икс рефлексивно.
2. Непрерывный двойственный к Икс рефлексивно.^[15]
3. Закрытый единичный шар Икс является компактный в слабая топология. (Это известно как теорема Какутани.)^[16]
4. Каждая ограниченная последовательность в Икс имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.^[17]
5. Каждый непрерывный линейный функционал на Икс достигает максимума на замкнутом единичном шаре вИкс.^[18] (Теорема Джеймса )

Поскольку норма-закрыто выпуклые подмножества в банаховом пространстве слабо замкнуты,^[19] из третьего свойства следует, что замкнутые ограниченные выпуклые подмножества рефлексивного пространстваИкс слабо компактны. Таким образом, для любой убывающей последовательности непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножествИкс, пересечение не пусто. Как следствие, каждое непрерывное выпуклая функция ж на замкнутом выпуклом подмножестве C изИкс, такое что множество

${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$

непусто и ограничено для некоторого действительного числат, достигает минимального значения наC.

Обещанное геометрическое свойство рефлексивных банаховых пространств следующее: если C закрытый непустой выпуклый подмножество рефлексивного пространства Икс, то для каждого Икс в Икс существуетc вC такой, что ǁИкс − cǁ минимизирует расстояние между Икс и точкиC. Это следует из предыдущего результата для выпуклых функций, примененного к ж(у) = ǁу − Иксǁ. Обратите внимание, что хотя минимальное расстояние между Икс и C однозначно определяется Икс, смысл c не является. Ближайшая точка c уникален, когда Икс равномерно выпуклый.

Рефлексивное банахово пространство отделяемый тогда и только тогда, когда его непрерывный двойственный сепарабелен. Это следует из того факта, что для любого нормированного пространстваY, отделимость непрерывной двойственной Y ′ подразумевает отделимость из Y.^[20]

Суперрефлексивное пространство

Неформально суперрефлексивное банахово пространство Икс обладает следующим свойством: для произвольного банахова пространстваY, если все конечномерные подпространстваY есть очень похожая копия, сидящая где-то вИкс, тогда Y должно быть рефлексивным. По этому определению пространство Икс сам по себе должен быть рефлексивным. В качестве элементарного примера каждое банахово пространствоY чьи двумерные подпространства изометрический в подпространства Икс = ℓ² удовлетворяет закон параллелограмма, следовательно^[21] Y является гильбертовым пространством, поэтому Y рефлексивно. Итак ℓ² суперрефлексивен.

Формальное определение использует не изометрии, а почти изометрии. Банахово пространство Y является конечно представимый^[22] в банаховом пространстве Икс если для любого конечномерного подпространства Y₀ из Y и каждый ε> 0, существует подпространство Икс₀ из Икс такой, что мультипликативный Расстояние Банаха – Мазура между Икс₀ и Y₀ удовлетворяет

${\displaystyle d(X_{0},Y_{0})<1+\varepsilon .}$

Банахово пространство, конечно представимое в² является гильбертовым пространством. Всякое банахово пространство конечно представимо в c₀. Космос L^п([0, 1]) конечно представимо в ℓ^п.

Банахово пространство Икс является сверхрефлексивный если все банаховы пространства Y конечно представима вИкс рефлексивны, или, другими словами, если нет нерефлексивного пространства Y конечно представима вИкс. Понятие сверхпродукт семейства банаховых пространств^[23] позволяет дать краткое определение: банахово пространство Икс является сверхрефлексивным, когда его сверхспособности рефлексивны.

Джеймс доказал, что пространство суперрефлексивно тогда и только тогда, когда его двойственное суперрефлексивно.^[22]

Конечные деревья в банаховых пространствах

Одна из характеристик суперрефлексивности Джеймса использует рост отдельных деревьев.^[24]Описание векторного двоичного дерева начинается с корневое двоичное дерево помеченные векторами: дерево рост  п в банаховом пространстве Икс это семья 2^п + 1 − 1 векторовИкс, которые могут быть организованы в последовательные уровни, начиная с уровня 0, который состоит из одного вектораИкс_∅, то корень дерева, за которым следует k = 1, …, п, семьей из 2 человек^k уровень формирования векторовk:

${\displaystyle \{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$

это дети вершин уровняk − 1. В добавок к древовидная структура, здесь требуется, чтобы каждый вектор, являющийся внутренняя вершина дерева быть серединой между двумя его дочерними элементами:

${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$

Учитывая положительное действительное числот, дерево называется т-отделенный если для каждой внутренней вершины два дочерних элемента т-отделяются в данной пространственной норме:

${\displaystyle \|x_{1}-x_{-1}\|\geq t,\quad \|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$

Теорема.^[24]Банахово пространство Икс суперрефлексивен тогда и только тогда, когда для каждого т ∈ (0, 2], есть номер п(т) такие, что каждый т-разделимое дерево, содержащееся в единичном шареИкс имеет высоту меньше чемп(т).

Равномерно выпуклые пространства суперрефлексивны.^[24]Позволять Икс быть равномерно выпуклым, с модуль выпуклости δ_Икс и разрешит быть реальным числом в(0, 2]. Посредством характеристики модуля выпуклости a т-отдельное дерево высотойп, содержащиеся в единичном шаре, должны иметь все точки уровняп − 1 содержится в шаре радиуса 1 - δ_Икс(т) < 1. По индукции следует, что все точки уровняп − j содержатся в шаре радиуса

${\displaystyle (1-\delta _{X}(t))^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$

Если высота п был настолько большим, что

${\displaystyle (1-\delta _{X}(t))^{n-1}<t/2,}$

затем две точки Икс₁, Икс₋₁ первого уровня не могло быть т-отрывно, вопреки предположению. Это дает требуемую оценкуп(т), функция δ_Икс(т) Только.

Используя древовидную характеристику, Enflo доказано^[25] что суперрефлексивные банаховы пространства допускают эквивалентную равномерно выпуклую норму. Деревья в банаховом пространстве - особый случай векторнозначных мартингалы. Добавление приемов из теории скалярного мартингала, Пизье улучшил результат Enflo, показав^[26] что суперрефлексивное пространствоИкс допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму, для которой модуль выпуклости удовлетворяет при некоторой постояннойc > 0 и какое-то реальное числоq ≥ 2,

${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad t\in [0,2].}$

Рефлексивные локально выпуклые пространства

Понятие рефлексивного банахова пространства можно обобщить на топологические векторные пространства следующим образом.

Позволять ${\displaystyle X}$ быть топологическим векторным пространством над числовым полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (из действительные числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или же сложные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Рассмотрим его сильное двойное пространство ${\displaystyle X'_{\beta }}$, который состоит из всех непрерывный линейные функционалы ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$ и оснащен сильная топология ${\displaystyle \beta (X',X)}$, т.е., топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в ${\displaystyle X}$. Космос ${\displaystyle X'_{\beta }}$ является топологическим векторным пространством (точнее, локально выпуклым пространством), поэтому можно рассматривать его сильно сопряженное пространство ${\displaystyle (X'_{\beta })'_{\beta }}$, который называется сильное двузначное пространство за ${\displaystyle X}$. Он состоит из всех непрерывных линейных функционалов ${\displaystyle h:X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }}$ и имеет сильную топологию ${\displaystyle \beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })}$. Каждый вектор ${\displaystyle x\in X}$ генерирует карту ${\displaystyle J(x):X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }}$ по следующей формуле:

${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$

Это непрерывный линейный функционал на ${\displaystyle X'_{\beta }}$, т.е., ${\displaystyle J(x)\in (X'_{\beta })'_{\beta }}$. Получается карта под названием оценочная карта:

${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }.}$

Эта карта линейна. Если ${\displaystyle X}$ локально выпуклый, из Теорема Хана – Банаха следует, что ${\displaystyle J}$ инъективно и открыто (т.е., для каждой окрестности нуля ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle X}$ есть окрестность нуля ${\displaystyle V}$ в ${\displaystyle (X'_{\beta })'_{\beta }}$ такой, что ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$). Но он может быть несюръективным и / или прерывистым.

Локально выпуклое пространство ${\displaystyle X}$ называется

– полурефлексивный если оценочная карта ${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$ сюръективно (следовательно, биективно),

– рефлексивный если оценочная карта ${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$ сюръективно и непрерывно (в данном случае ${\displaystyle J}$ является изоморфизмом топологических векторных пространств^[27]).

Теорема.^[28] Локально выпуклое хаусдорфово пространство ${\displaystyle X}$ полурефлексивно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ с ${\displaystyle \sigma (X,X^{*})}$-топология обладает свойством Гейне – Бореля (т.е. слабо замкнутые и ограниченные подмножества ${\displaystyle X}$ слабо компактны).

Теорема.^[29][30] Локально выпуклое пространство ${\displaystyle X}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно и ствол.

Теорема.^[31] Сильный дуальный к полурефлексивному пространству является бочкообразным.

Примеры

1) Всякая конечномерная хаусдорфова топологическое векторное пространство рефлексивно, потому что J биективен по линейной алгебре, и потому что существует единственная хаусдорфова топология векторного пространства на конечномерном векторном пространстве.

2) Нормированное пространство ${\displaystyle X}$ рефлексивно как нормированное пространство тогда и только тогда, когда оно рефлексивно как локально выпуклое пространство. Это следует из того, что для нормированного пространства ${\displaystyle X}$ его двойное нормированное пространство ${\displaystyle X'}$ совпадает как топологическое векторное пространство с сильным дуальным пространством ${\displaystyle X'_{\beta }}$. Как следствие, оценочная карта ${\displaystyle J:X\to X''}$ совпадает с оценочной картой ${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$, и следующие условия становятся эквивалентными:

(я) ${\displaystyle X}$ является рефлексивным нормированным пространством (т.е. ${\displaystyle J:X\to X''}$ является изоморфизмом нормированных пространств),

(ii) ${\displaystyle X}$ является рефлексивным локально выпуклым пространством (т. е. ${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$ является изоморфизмом топологических векторных пространств^[27]),

(iii) ${\displaystyle X}$ является полурефлексивным локально выпуклым пространством (т. е. ${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$ сюръективно).

3) Пример (несколько искусственный) нерефлексивного полурефлексивного пространства получается следующим образом: пусть Y - бесконечномерное рефлексивное банахово пространство, и пусть Икс топологическое векторное пространство (Y, σ(Y, Y ′)), то есть векторное пространство Y со слабой топологией. Тогда непрерывный двойственный к Икс и Y ′ являются одним и тем же набором функционалов, а ограниченные подмножества Икс (т.е., слабо ограниченные подмножестваY) ограничены по норме, поэтому банахово пространство Y ′ сильный дуалИкс. С Y рефлексивно, непрерывное двойственное Икс ′ = Y ′ равно изображению J(Икс) из Икс при каноническом вложении J, но топология на Икс (слабая топологияY) не является сильной топологией β(Икс, Икс ′), что равно топологии нормы Y.

4) Пространства Montel являются рефлексивными локально выпуклыми топологическими векторными пространствами. В частности, следующие функциональные пространства, часто используемые в функциональном анализе, являются рефлексивными локально выпуклыми пространствами:^[32]

• космос ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ гладких функций на произвольном (вещественном) гладком многообразии ${\displaystyle M}$, и его сильное двойное пространство ${\displaystyle (C^{\infty })'(M)}$ дистрибутивов с компактной поддержкой на ${\displaystyle M}$,
• космос ${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$ гладких функций с компактным носителем на произвольном (вещественном) гладком многообразии ${\displaystyle M}$, и его сильное двойное пространство ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(M)}$ распределений на ${\displaystyle M}$,
• космос ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ голоморфных функций на произвольном комплексном многообразии ${\displaystyle M}$, и его сильное двойное пространство ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(M)}$ аналитических функционалов на ${\displaystyle M}$,
• то Пространство Шварца ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})}$ на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, и его сильное двойное пространство ${\displaystyle {\mathcal {S}}'({\mathbb {R} }^{n})}$ умеренных распределений на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$.

Другие виды рефлексивности

Пространство стереотипов или полярное рефлексивное пространство определяется как топологическое векторное пространство удовлетворяющие аналогичному условию рефлексивности, но с топологией равномерной сходимости на полностью ограниченный подмножества (вместо ограниченный подмножества) в определении сопряженного пространства X ’. Точнее, топологическое векторное пространство ${\displaystyle X}$ называется полярно-рефлексивным^[33] или стереотип, если оценка отображается во втором двойном пространстве

${\displaystyle J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }}$

является изоморфизмом топологических векторных пространств.^[27] Здесь стереотип двойного пространства ${\displaystyle X^{\star }}$ определяется как пространство непрерывных линейных функционалов ${\displaystyle X'}$ наделенный топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в ${\displaystyle X}$ (и стереотип второго двойного пространства ${\displaystyle X^{\star \star }}$ двойственное пространство к ${\displaystyle X^{\star }}$ в том же смысле).

В отличие от классических рефлексивных пространств класс Ste пространств стереотипов очень широк (в нем, в частности, Пространства фреше и, таким образом, все Банаховы пространства ), образует закрытая моноидальная категория, и он допускает стандартные операции (определенные внутри Ste) построения новых пространств, таких как взятие замкнутых подпространств, фактор-пространств, проективных и инъективных пределов, пространства операторов, тензорных произведений и т. д. Категория Ste имеют приложения в теории двойственности для некоммутативных групп.

Аналогичным образом можно заменить класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в X в определении двойственного пространства X ’другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в Икс - пространства, определяемые соответствующим условием рефлексивности, называются отражающий,^[34][35] и они образуют даже более широкий класс, чем Ste, но не ясно (2012 г.), образует ли этот класс категорию со свойствами, аналогичными свойствам Ste.

Смотрите также

• Обобщением, которое обладает некоторыми свойствами рефлексивных пространств и включает много пространств, имеющих практическое значение, является концепция Пространство Гротендика.
• Рефлексивная операторная алгебра

Примечания

1. Трев 2006, стр. 372-374.
2. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 144.
3. Наричи и Бекенштейн 2011 С. 488-491.
4. Халилулла 1982 С. 32-63.
5. Трев 2006, п. 376.
6. Трев 2006, п. 377.
7. Бернардес мл. 2012.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 212.
9. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 145.
10. Трев 2006, п. 375.
11. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 190-202.
12. Р. С. Джеймс (1951). «Нерефлексивное банахово пространство, изометричное его второму сопряженному пространству». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 37 (3): 174–177. Bibcode:1951ПНАС ... 37..174J. Дои:10.1073 / pnas.37.3.174. ЧВК  1063327. PMID  16588998.
13. Предложение 1.11.8 в Меггинсон (1998, п. 99).
14. Меггинсон (1998 С. 104–105).
15. Следствие 1.11.17, с. 104 дюйм Меггинсон (1998).
16. Конвей 1985, Теорема V.4.2, с. 135.
17. Поскольку слабая компактность и слабая секвенциальная компактность совпадают по Теорема Эберлейна – Шмулиана.
18. Теорема 1.13.11 в Меггинсон (1998, п. 125).
19. Теорема 2.5.16 в Меггинсон (1998, п. 216).
20. Теорема 1.12.11 и следствие 1.12.12 в Меггинсон (1998 С. 112–113).
21. видеть это характеризация гильбертова пространства среди банаховых пространств
22. Джеймс, Роберт С. (1972), "Суперрефлексивные банаховы пространства", Can. J. Math. 24:896–904.
23. Дакунья-Кастель, Дидье; Кривин, Жан-Луи (1972), «Применение ультрапродуктов в исследованиях пространства и элементов Банаха» (на французском языке), Studia Math. 41:315–334.
24. видеть Джеймс (1972).
25. Энфло, Пер (1973), "Банаховы пространства, в которых может быть задана эквивалентная равномерно выпуклая норма", Israel J. Math. 13:281–288.
26. Пизье, Жиль (1975), "Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах", Israel J. Math. 20:326–350.
27. An изоморфизм топологических векторных пространств это линейный и гомеоморфный карта ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$.
28. Эдвардс 1965, 8.4.2.
29. Шефер 1966, 5.6, 5.5.
30. Эдвардс 1965, 8.4.5.
31. Эдвардс 1965, 8.4.3.
32. Эдвардс 1965, 8.4.7.
33. Кете, Готфрид (1983). Топологические векторные пространства I. Springer Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer. ISBN  978-3-642-64988-2.
34. Garibay Bonales, F .; Trigos-Arrieta, F.J .; Вера Мендоза, Р. (2002). «Характеризация двойственности Понтрягина-ван Кампена для локально выпуклых пространств». Топология и ее приложения. 121 (1–2): 75–89. Дои:10.1016 / s0166-8641 (01) 00111-0.
35. Акбаров, С. С .; Шавгулидзе, Э. Т. (2003). «О двух классах пространств, рефлексивных по Понтрягина». Мат. Сборник. 194 (10): 3–26.

Рекомендации

• Бернардес-младший, Нильсон К. (2012), О вложенных последовательностях выпуклых множеств в банаховых пространствах, 389, Журнал математического анализа и приложений, стр. 558–561. .

• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа. Springer.
• Эдвардс, Р. Э. (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  0030505356.
• Джеймс, Роберт С. (1972), Некоторые самодвойственные свойства линейных нормированных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, штат Луизиана, 1967), Анна. математики. Исследования, 69, Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press, стр. 159–175..
• Халилулла, С. М. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Колмогоров, А. Н .; Фомин, С. В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, Том 1: Метрические и нормированные пространства. Рочестер: Graylock Press.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств, Тексты для выпускников по математике, 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 596, ISBN  0-387-98431-3.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Гельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства. Нью-Йорк: Компания Macmillan.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.