Абсолютно выпуклый набор - Absolutely convex set

В математика, а подмножество C из настоящий или же сложный векторное пространство как говорят абсолютно выпуклый или же дисковый если это выпуклый и сбалансированный (некоторые люди используют термин «обведенный» вместо «сбалансированный»), и в этом случае это называется диск. В дисковый корпус или Абсолютно выпуклая оболочка набора это пересечение всех дисков, содержащих этот набор.

Определение

Светло-серая область - это абсолютно выпуклый корпус креста.

Если S является подмножеством реального или комплексного векторного пространства Икс, затем мы звоним S а диск и скажи это S является дисковый, абсолютно выпуклый, и выпуклый сбалансированный если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. S является выпуклый и сбалансированный;
2. для любых скаляров а и б удовлетворение |а| + |б| ≤ 1, в качестве + bS ⊆ S;
3. для всех скаляров а, б, и c удовлетворение |а| + |б| ≤ |c|, в качестве + bS ⊆ cS;
4. для любых скаляров а₁, ..., а_п удовлетворение ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\leq 1}$, ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S}$;
5. для любых скаляров c, а₁, ..., а_п удовлетворение ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\leq |c|}$, ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS}$;

Напомним, что самые маленькие выпуклый (соотв. сбалансированный ) подмножество Икс содержащий набор называется выпуклый корпус (соответственно сбалансированная оболочка) этого множества и обозначается co (S) (соотв. бал (S)).

Аналогичным образом определим дисковый корпус, то Абсолютно выпуклая оболочка, или выпуклый сбалансированный корпус набора S определяется как наименьший диск (относительно подмножества включение ) содержащий S.^[1] Дисковый корпус S будем обозначать диск S или же кобаль S и он равен каждому из следующих наборов:

1. co (bal (S)), которая является выпуклой оболочкой сбалансированный корпус из S; таким образом, кобаль (S) = co (bal (S));
   • Однако обратите внимание, что в целом кобаль (S) ≠ bal (co (S)), даже в конечном размеры,
2. пересечение всех дисков, содержащих S,
3. ${\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}:n\in \mathbb {N} ,\,x_{i}\in A,\,\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|\leq 1\right\},}$где λ_я элементы лежащих в основе поле.

Достаточные условия

• Пересечение произвольного числа абсолютно выпуклых множеств снова абсолютно выпукло; тем не мение, союзы абсолютно выпуклых множеств больше не обязательно должны быть абсолютно выпуклыми.
• если D это диск в Икс, тогда Икс поглощает Икс если и только если охватывать D = Икс.^[2]

Характеристики

Смотрите также: Топологическое векторное пространство § Свойства

• Если S является поглощающий диск в векторном пространстве Икс тогда существует поглощающий диск E в Икс такой, что E + E ⊆ S.^[3]
• Выпуклый уравновешенный корпус S содержит выпуклую оболочку S и сбалансированный корпус S.
• Абсолютно выпуклая оболочка ограниченное множество в топологическом векторном пространстве снова ограничен.
• Если D ограниченный диск в ТВС Икс и если Икс_• = (Икс_я)^∞
  _я=1 это последовательность в D, то частичные суммы s_• = (s_п)^∞
  _я=1 находятся Коши, где для всех п, s_п := ∑^п
  _я=1 2^−я Икс_я.^[4]
  • В частности, если дополнительно D это последовательно завершить подмножество Икс, то эта серия s_• сходится в Икс в какой-то момент D.

Примеры

Несмотря на то что кобаль (S) = co (bal (S))выпуклая уравновешенная оболочка S является нет обязательно равняется уравновешенной оболочке выпуклой оболочки S.^[1] Например, где кобаль (S) ≠ bal (co (S)), позволять Икс быть реальным векторным пространством ℝ² и разреши S := {(−1, 1), (1, 1)}. потом bal (co (S)) является строгим подмножеством cobal (S), даже не выпуклый. В частности, этот пример также показывает, что сбалансированная оболочка выпуклого множества нет обязательно выпуклый. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что кобаль (S) равен замкнутому квадрату в Икс с вершинами (−1, 1), (1, 1), (−1, −1), и (−1, 1) пока bal (co (S)) закрытый "песочные часы фигурное "фигурное подмножество, которое пересекает Икс-ось в начале координат и представляет собой объединение двух треугольников: один, вершины которого являются началом координат вместе с S и другой треугольник, вершины которого являются началом координат вместе с −S = {(−1, −1), (1, −1)}.

Смотрите также

• Поглощающий набор
• Сбалансированный набор
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
• Выпуклый набор
• Звездный домен
• Симметричный набор
• Вектор (геометрический), для векторов в физике
• Векторное поле

Рекомендации

1. Трев 2006, п. 68.
2. Наричи и Бекенштейн 2011 С. 67-113.
3. Наричи и Бекенштейн 2011 С. 149-153.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, п. 471.

Библиография

• Робертсон, А.П .; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства. Кембриджские трактаты по математике. 53. Издательство Кембриджского университета. С. 4–6.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Х.Х. (1999). Топологические векторные пространства. Springer-Verlag Press. п. 39.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.