Дифференцирование в пространствах Фреше. - Differentiation in Fréchet spaces

В математика, в частности в функциональный анализ и нелинейный анализ, можно определить производная функции между двумя Пространства фреше. Это понятие дифференциации, как оно есть Производная Гато между пространствами Фреше значительно слабее, чем производная в банаховом пространстве даже между общими топологические векторные пространства. Тем не менее, это самое слабое понятие дифференцирования, для которого многие известные теоремы из исчисление держать. В частности, Правило цепи правда. С некоторыми дополнительными ограничениями на пространства Фреше и задействованные функции существует аналог теорема об обратной функции называется Теорема Нэша – Мозера об обратной функции, имеющий широкое применение в нелинейном анализе и дифференциальная геометрия.

Математические детали

Формально определение дифференциации идентично определению Производная Гато. В частности, пусть Икс и Y - пространства Фреше, U ⊂ Икс быть открытый набор, и F : U → Y быть функцией. Производная по направлению от F в направлении v ∈ Икс определяется

${displaystyle DF(u)v=lim _{ au ightarrow 0}{frac {F(u+v au )-F(u)}{ au }}}$

если предел существует. Один говорит, что F непрерывно дифференцируема, или C¹ если предел существует для всех v ∈ Икс и отображение

DF:U Икс Икс → Y

это непрерывный карта.

Производные высших порядков определяются индуктивно через

${displaystyle D^{k+1}F(u){v_{1},v_{2},dots ,v_{k+1}}=lim _{ au ightarrow 0}{frac {D^{k}F(u+ au v_{k+1}){v_{1},dots ,v_{k}}-D^{k}F(u){v_{1},dots ,v_{k}}}{ au }}.}$

Функция называется C^k если D^kF : U Икс Икс Икс Иксх ... х Икс → Y непрерывно. это C^∞, или же гладкий если это C^k для каждого k.

Характеристики

Позволять Икс, Y, и Z - пространства Фреше. Предположим, что U открытое подмножество Икс, V открытое подмножество Y, и F : U → V, грамм : V → Z пара C¹ функции. Тогда имеют место следующие свойства:

• Основная теорема исчисления.

Если отрезок от а к б полностью лежит внутри U, тогда

${displaystyle F(b)-F(a)=int _{0}^{1}DF(a+(b-a)t)cdot (b-a)dt}$.

• В Правило цепи.

D(грамм о F)(ты)Икс = DG(F(ты))DF(ты)Икс для всех ты ε U и Икс ε Икс.

• Линейность.

DF(ты)Икс линейно по Икс.^{[нужна цитата ]} В более общем смысле, если F является C^k, тогда DF(ты){Икс₁,...,Икс_k} является полилинейным по x.

• Теорема Тейлора с остатком.

Предположим, что отрезок между ты ε U и u + h полностью лежит внутри U. Если F является C^k тогда

${displaystyle F(u+h)=F(u)+DF(u)h+{frac {1}{2!}}D^{2}F(u){h,h}+dots +{frac {1}{(k-1)!}}D^{k-1}F(u){h,h,dots ,h}+R_{k}}$

где остаточный член равен

${displaystyle R_{k}(u,h)={frac {1}{(k-1)!}}int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}D^{k}F(u+th){h,h,dots ,h}dt}$

• Коммутативность производных по направлению. Если F является C^k, тогда

${displaystyle D^{k}F(u){h_{1},...,h_{k}}=D^{k}F(u){h_{sigma (1)},dots ,h_{sigma (k)}}}$ для каждого перестановка σ из {1,2, ..., k}.

Доказательства многих из этих свойств основаны на том факте, что можно определить Интеграл Римана непрерывных кривых в пространстве Фреше.

Гладкие сопоставления

Удивительно, но отображение между открытым подмножеством пространств Фреше является гладким (бесконечно часто дифференцируемым), если оно переводит гладкие кривые в гладкие; видеть Удобный анализ Более того, гладкие кривые в пространствах гладких функций - это просто гладкие функции от одной переменной.

Последствия в дифференциальной геометрии

Существование цепного правила позволяет определить многообразие по образцу пространства Фреше: Многообразие Фреше. Кроме того, из линейности производной следует, что существует аналог касательный пучок для многообразий Фреше.

Приручить пространства Фреше

Часто пространства Фреше, возникающие в практических приложениях производной, обладают дополнительным свойством: они приручить. Грубо говоря, ручное пространство Фреше - это почти Банахово пространство. В ручных пространствах можно определить предпочтительный класс отображений, известный как ручные карты. В категории ручных пространств под ручными картами основная топология достаточно сильна, чтобы поддерживать полноценную теорию дифференциальная топология. В этом контексте справедливо и много других техник исчисления. В частности, существуют версии теорем об обратной и неявной функции.

Рекомендации

• Гамильтон, Р.С. (1982). "Теорема Нэша и Мозера об обратной функции". Бык. Амер. Математика. Soc. 7 (1): 65–222. Дои:10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2. МИСТЕР  0656198.