Интеграл Пэли – Винера - Paley–Wiener integral

В математика, то Интеграл Пэли – Винера это простой стохастический интеграл. Применительно к классическое винеровское пространство, он менее общий, чем Itō интегральный, но оба согласны, когда оба определены.

Интеграл назван в честь его первооткрывателей, Раймонд Пейли и Норберт Винер.

Определение

Позволять я : ЧАС → E быть абстрактное винеровское пространство с абстрактной мерой Винера γ на E. Позволять j : E^∗ → ЧАС быть прилегающий из я. (Мы немного злоупотребили обозначениями: строго говоря, j : E^∗ → ЧАС^∗, но с тех пор ЧАС это Гильбертово пространство, это изометрически изоморфный к его двойное пространство ЧАС^∗, посредством Теорема Рисса о представлении.)

Можно показать, что j является инъективная функция и имеет плотный изображение в ЧАС.^{[нужна цитата ]} Кроме того, можно показать, что каждый линейный функционал ж ∈ E^∗ это также интегрируемый с квадратом: по факту,

{displaystyle | f | _ {L ^ {2} (E, гамма; mathbb {R})} = | j (f) | _ {H}}

Это определяет естественный линейная карта из j(E^∗) к L²(E, γ; р), под которым j(ж) ∈ j(E^∗) ⊆ ЧАС идет в класс эквивалентности [ж] из ж в L²(E, γ; р). Это хорошо определено, поскольку j инъективно. Эта карта изометрия, так что, это непрерывный.

Однако, поскольку непрерывная линейная карта между Банаховы пространства Такие как ЧАС и L²(E, γ; р) однозначно определяется своими значениями на любом плотном подпространстве своей области определения, существует единственное непрерывное линейное расширение я : ЧАС → L²(E, γ; р) приведенной выше естественной карты j(E^∗) → L²(E, γ; р) ко всему ЧАС.

Эта изометрия я : ЧАС → L²(E, γ; р) известен как Карта Пэли – Винера. я(час), также обозначается <час, −>^∼, является функцией на E и известен как Интеграл Пэли – Винера (относительно час ∈ ЧАС).

Важно отметить, что интеграл Пэли – Винера для конкретного элемента час ∈ ЧАС это функция на E. Обозначение <час, Икс>^∼ на самом деле не обозначает внутренний продукт (поскольку час и Икс принадлежат двум разным пространствам), но это удобный злоупотребление обозначениями ввиду Теорема Камерона – Мартина. По этой причине многие авторы^{[нужна цитата ]} предпочитаю писать <час, −>^∼(Икс) или же я(час)(Икс) вместо использования более компактного, но потенциально запутанного <час, Икс>^∼ обозначение.

Смотрите также

Другие стохастические интегралы:

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Интеграл Пэли – Винера - Paley–Wiener integral

Определение

Смотрите также

Рекомендации