Компактный оператор - Compact operator

В функциональный анализ, филиал математика, а компактный оператор это линейный оператор L из Банахово пространство Икс в другое банахово пространство Y, так что изображение под L любого ограниченного подмножества Икс это относительно компактный подмножество (имеет компактный закрытие ) из Y. Такой оператор обязательно является ограниченный оператор, и так непрерывно.^[1]

Любой ограниченный оператор L который имеет конечный классифицировать компактный оператор; действительно, класс компактных операторов является естественным обобщением класса операторы конечного ранга в бесконечномерном пространстве. Когда Y это Гильбертово пространство, верно, что любой компактный оператор является пределом операторов конечного ранга,^[2] так что класс компактных операторов может быть определен альтернативно как замыкание множества операторов конечного ранга в топология нормы. Верно ли это вообще для банаховых пространств ( свойство аппроксимации ) долгие годы был нерешенным вопросом; в 1973 г. Пер Энфло привел контрпример.^[3]

Истоки теории компактных операторов лежат в теории интегральные уравнения, где интегральные операторы предоставляют конкретные примеры таких операторов. Типичный Интегральное уравнение Фредгольма рождает компактный оператор K на функциональные пространства; свойство компактности показано равностепенная непрерывность. Метод аппроксимации операторами конечного ранга является основным при численном решении таких уравнений. Абстрактная идея Фредгольмов оператор происходит от этой связи.

Эквивалентные составы

Линейная карта Т : Икс → Y между двумя топологические векторные пространства как говорят компактный если существует окрестность U происхождения в Икс такой, что Т (U) относительно компактное подмножество Y.^[4]

Позволять Икс и Y быть нормированными пространствами и Т : Икс → Y линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• Т компактный оператор;
• образ единичного шара Икс под Т является относительно компактный в Y;
• образ любого ограниченного подмножества Икс под Т является относительно компактный в Y;
• существует район U из 0 в Икс и компактное подмножество ${\displaystyle V\subseteq Y}$ такой, что ${\displaystyle T(U)\subseteq V}$;
• для любой ограниченной последовательности ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ в Икс, последовательность ${\displaystyle (Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ содержит сходящуюся подпоследовательность.

Если вдобавок Y является банаховым, эти утверждения также эквивалентны:

• образ любого ограниченного подмножества Икс под Т является полностью ограниченный в Y.

Если линейный оператор компактен, то легко видеть, что он ограничен и, следовательно, непрерывен.

Важные свойства

В следующих, Икс, Y, Z, W - банаховы пространства, B (Икс, Y) - пространство ограниченных операторов из Икс к Y с норма оператора, К (Икс, Y) - пространство компактных операторов из Икс к Y, B (Икс) = B (Икс, Икс), К (Икс) = K (Икс, Икс), ${\displaystyle id_{X}}$ это оператор идентификации наИкс.

• K (Икс, Y) - замкнутое подпространство в B (Икс, Y) (в топологии нормы):^[5]
  • То есть предположим Т_п, п ∈ N, - последовательность компактных операторов из одного банахова пространства в другое, и предположим, что Т_п сходится к Т с уважением к норма оператора. потом Т также компактный.
• Наоборот, если Икс, Y являются гильбертовыми пространствами, то любой компактный оператор из Икс к Y является пределом операторов конечного ранга. Примечательно, что это неверно для общих банаховых пространств. Икс и Y.
• ${\displaystyle B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z).}$ В частности, K (Икс) образует двусторонний идеальный в B (Икс).
• Любой компактный оператор строго единичный, но не наоборот.^[6]
• Ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами компактен тогда и только тогда, когда его сопряженный компактен (Теорема Шаудера).
• Если Т : Икс → Y ограничено и компактно, то:
  • закрытие диапазона Т является отделяемый.^[5][7]
  • если диапазон Т закрыт в Y, то диапазон Т конечномерна.^[5][7]
• Если Икс является банаховым пространством и если существует обратимый ограниченный компактный оператор Т : Икс → Икс тогда Икс обязательно конечномерно.^[7]

Теперь предположим, что Т : Икс → Икс - ограниченный компактный линейный оператор, Икс является банаховым пространством, а ${\displaystyle T^{*}:X^{*}\to X^{*}}$ это прилегающий или же транспонировать из Т.

• Для любого Т ∈ K (Икс),  ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}-T}$ это Фредгольмов оператор индекса 0. В частности, ${\displaystyle \operatorname {Im} \,(\operatorname {Id} _{X}-T)}$ закрыто. Это существенно для развития спектральных свойств компактных операторов. Можно заметить сходство этого свойства с тем, что если M и N подпространства банахова пространства, где M закрыт и N конечномерно, то M + N тоже закрыто.
• Если S : Икс → Икс - любой линейный ограниченный оператор, то оба ${\displaystyle S\circ T}$ и ${\displaystyle T\circ S}$ компактные операторы.^[5]
• Если ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ тогда диапазон ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ закрыто и ядро ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ конечномерна, где ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}:X\to X}$ это тождественная карта.^[5]
• Если ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ то следующие числа конечны и равны:^[5]

${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {ker} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\operatorname {dim} X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\operatorname {dim} \operatorname {ker} \left(T*-\lambda \operatorname {Id} _{B^{*}}\right)=\operatorname {dim} X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)}$

• Если ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ и ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ тогда ${\displaystyle \lambda }$ является собственным значением обоих Т и ${\displaystyle T^{*}}$.^[5]
• Спектр Т, ${\displaystyle \sigma (T)}$, компактный, счетный, и имеет не более одного предельная точка, что обязательно будет 0.^[5]
• Если Икс бесконечномерно, то 0 принадлежит к спектру Т (т.е. ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$).^[5]
• Для каждого ${\displaystyle r>0}$, набор ${\displaystyle E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}}$ конечно и для любого ненулевого ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$, диапазон ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ это правильное подмножество из Икс.^[5]

Истоки теории интегральных уравнений

Важнейшим свойством компактных операторов является Альтернатива Фредгольма, утверждающий, что существование решения линейных уравнений вида

${\displaystyle (\lambda K+I)u=f\,}$

(где K - компактный оператор, f - заданная функция, а u - неизвестная функция, для которой необходимо решить) ведет себя так же, как и в конечных измерениях. В спектральная теория компактных операторов затем следует, и это связано с Фриджес Рис (1918). Он показывает, что компактный оператор K на бесконечномерном банаховом пространстве имеет спектр, который является либо конечным подмножеством C который включает 0, или спектр представляет собой счетно бесконечный подмножество C который имеет 0 в качестве единственного предельная точка. Более того, в любом случае ненулевые элементы спектра равны собственные значения из K с конечными кратностями (так что K - λя имеет конечномерную ядро для всех комплексных λ ≠ 0).

Важным примером компактного оператора является компактное вложение из Соболевские пространства, который вместе с Неравенство Гординга и Теорема Лакса – Милграма, можно использовать для преобразования эллиптическая краевая задача в интегральное уравнение Фредгольма.^[8] Тогда существование решения и спектральные свойства следуют из теории компактных операторов; в частности, эллиптическая краевая задача в ограниченной области имеет бесконечно много изолированных собственных значений. Одним из следствий этого является то, что твердое тело может колебаться только на отдельных частотах, задаваемых собственными значениями, и всегда существуют произвольно высокие частоты колебаний.

Компактные операторы из банахова пространства в себя образуют двусторонний идеальный в алгебра всех ограниченных операторов в пространстве. В самом деле, компактные операторы в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве образуют максимальный идеал, поэтому фактор-алгебра, известный как Калкина алгебра, является просто. В более общем смысле компактные операторы образуют идеальный оператор.

Компактный оператор в гильбертовых пространствах

Основная статья: Компактный оператор в гильбертовом пространстве

Для гильбертовых пространств другое эквивалентное определение компактных операторов дается следующим образом.

Оператор ${\displaystyle T}$ на бесконечномерном Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

как говорят компактный если это можно записать в виде

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,,}$

куда ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ и ${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots }$ являются ортонормированными множествами (не обязательно полными), и ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ последовательность положительных чисел с пределом нуля, называемая сингулярные значения оператора. Сингулярные значения могут накапливать только на нуле. Если последовательность становится стационарной в нуле, то есть ${\displaystyle \lambda _{N+k}=0}$ для некоторых ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,}$ и каждый ${\displaystyle k=1,2,\dots }$, то оператор имеет конечный ранг, т.е., конечномерный диапазон и может быть записан как

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,.}$

Кронштейн ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ - скалярное произведение в гильбертовом пространстве; сумма в правой части сходится по операторной норме.

Важным подклассом компактных операторов является класс трассировки или ядерные операторы.

Полностью непрерывные операторы

Позволять Икс и Y - банаховы пространства. Ограниченный линейный оператор Т : Икс → Y называется полностью непрерывный если для каждого слабо сходящийся последовательность ${\displaystyle (x_{n})}$ из Икс, последовательность ${\displaystyle (Tx_{n})}$ сходится по норме в Y (Конвей 1985, §VI.3). Компактные операторы в банаховом пространстве всегда полностью непрерывны. Если Икс это рефлексивное банахово пространство, то каждый вполне непрерывный оператор Т : Икс → Y компактный.

Несколько сбивает с толку, что компактные операторы иногда называются «полностью непрерывными» в более ранней литературе, даже если они не обязательно являются полностью непрерывными по определению этой фразы в современной терминологии.

Примеры

• Каждый оператор конечного ранга компактен.
• За ${\displaystyle \ell ^{p}}$ и последовательность (т_п) стремящаяся к нулю, оператор умножения (Tx)_п = т_п Икс_п компактный.
• Для некоторых фиксированных грамм ∈ C([0, 1]; р), определим линейный оператор Т из C([0, 1]; р) к C([0, 1]; р) к

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Что оператор Т действительно компактно следует из Теорема Асколи.

• В более общем смысле, если Ω - любая область в р^п и интегральное ядро k : Ω × Ω →р это Ядро Гильберта-Шмидта, то оператор Т на L²(Ω;р) определяется

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$

компактный оператор.

• К Лемма Рисса, тождественный оператор является компактным тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.^[9]

Смотрите также

• Компактное встраивание
• Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• Альтернатива Фредгольма
• Интегральные уравнения Фредгольма
• Фредгольмов оператор
• Спектральная теория компактных операторов
• Строго сингулярный оператор

Примечания

1. Конвей 1985, Раздел 2.4
2. Конвей 1985, Раздел 2.4
3. Энфло 1973
4. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 98.
5. Рудин 1991 С. 103-115.
6. Н.Л. Карозерс, Краткий курс теории банахового пространства, (2005) Студенческие тексты Лондонского математического общества 64, Cambridge University Press.
7. Конвей 1990 С. 173-177.
8. Уильям Маклин, Сильно эллиптические системы и граничные интегральные уравнения, Cambridge University Press, 2000
9. Крейсциг 1978, Теоремы 2.5-3, 2.5-5.

Рекомендации

• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа. Springer-Verlag. Раздел 2.4. ISBN  978-3-540-96042-3.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Энфло, П. (1973). «Контрпример к проблеме приближения в банаховых пространствах». Acta Mathematica. 130 (1): 309–317. Дои:10.1007 / BF02392270. ISSN  0001-5962. МИСТЕР  0402468.
• Крейсциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-50731-4.
• Кутателадзе, С.С. (1996). Основы функционального анализа. Тексты по математическим наукам. 12 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 292. ISBN  978-0-7923-3898-7.
• Лакс, Питер (2002). Функциональный анализ. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-55604-6. OCLC  47767143.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Ренарди, М .; Роджерс, Р. С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике. 13 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ISBN  978-0-387-00444-0. (Раздел 7.5)
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.