Лемма Рисса - Rieszs lemma

О другом результате, который иногда называют леммой Рисса, см. Теорема Рисса о представлении.

Для получения дополнительных теорем, которые называются теоремой Рисса, см. Теорема Рисса.

Лемма Рисса (после Фриджес Рис ) это лемма в функциональный анализ. Он определяет (часто легко проверяемые) условия, которые гарантируют, что подпространство в нормированное векторное пространство является плотный. Лемму также можно назвать Лемма Рисса или же Неравенство Рисса. Его можно рассматривать как замену ортогональности, когда он не находится во внутреннем пространстве продукта.

Результат

Лемма Рисса. Позволять Икс быть нормированным пространством, Y - собственное замкнутое подпространство в Икс и α - действительное число с 0 <α <1. Тогда существует Икс в Икс с |Икс| = 1 такое, что |Икс − у| ≥ α для всех у в Y.^[1]

Замечание 1. В конечномерном случае равенство может быть достигнуто. Другими словами, существует Икс единичной нормы такая, что d(Икс, Y) = 1. Когда размерность Икс конечно, единичный шар B ⊂ Икс компактный. Также функция расстояния d(· , Y) непрерывно. Следовательно, его изображение на единичном шаре B должно быть компактным подмножеством действительной прямой, что доказывает утверждение.

Замечание 2. Пространство ℓ_∞ всех ограниченных последовательностей показывает, что лемма неверна при α = 1.

Доказательства можно найти в текстах по функциональному анализу, таких как Kreyszig. An онлайн-доказательство от профессора Пола Гарретта доступен.

Некоторые последствия

В спектральные свойства компактных операторов действующие в банаховом пространстве аналогичны матрицам. Лемма Рисса важна для установления этого факта.

Лемма Рисса гарантирует, что любое бесконечномерное нормированное пространство содержит последовательность единичных векторов {Икс_п} с ${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|>\alpha }$ для 0 < α <1. Это полезно для демонстрации отсутствия определенных меры на бесконечномерных Банаховы пространства. Лемма Рисса также показывает, что тождественный оператор в банаховом пространстве Икс компактно тогда и только тогда, когда Икс конечномерна.^[2]

Эту лемму можно также использовать для характеристики конечномерных нормированных пространств: если X - нормированное векторное пространство, то X конечномерно тогда и только тогда, когда замкнутый единичный шар в X компактен.

Характеристика конечной размерности

Основная статья: Теорема Ф. Рисса

Лемму Рисса можно применить непосредственно, чтобы показать, что единичный мяч бесконечномерного нормированного пространства Икс никогда компактный: Взять элемент Икс₁ из единичной сферы. Выбирать Икс_п из единичной сферы такие, что

${\displaystyle d(x_{n},Y_{n-1})>\alpha }$ для константы 0 < α <1, где Y_п−1 - линейная оболочка {Икс₁ ... Икс_п−1} и ${\displaystyle d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|}$.

Четко {Икс_п} не содержит сходящейся подпоследовательности, и отсюда следует некомпактность единичного шара.

В более общем плане, если топологическое векторное пространство Икс является локально компактный, то она конечномерна. Верно и обратное. А именно, если топологическое векторное пространство конечномерно, оно локально компактно.^[3]. Следовательно, локальная компактность характеризует конечномерность. Этот классический результат также приписывается Риссу. Краткое доказательство можно набросать следующим образом: пусть C - компактная окрестность 0 ∈ Икс. По компактности есть c₁, ..., c_п ∈ C такой, что

${\displaystyle C\subset \bigcup _{i=1}^{n}\;\left(c_{i}+{\frac {1}{2}}C\right).}$

Мы утверждаем, что конечномерное подпространство Y охватывает {c_я} плотно в Икс, или, что то же самое, его закрытие Икс. С Икс представляет собой объединение скалярных кратных C, достаточно показать, что C ⊂ Y. Теперь по индукции

${\displaystyle C\subset Y+{\frac {1}{2^{m}}}C}$

для каждого м. Но компакты ограниченный, так C заключается в закрытии Y. Это доказывает результат. По поводу другого доказательства, основанного на теореме Хана-Банаха, см. ^[4].

Смотрите также

• Теорема Ф. Рисса

Рекомендации

1. Rynne, Bryan P .; Янгсон, Мартин А. (2008). Линейный функциональный анализ (2-е изд.). Лондон: Спрингер. п. 47. ISBN  978-1848000049.
2. Крейсциг (1978 г., Теорема 2.5-3, 2.5-5)
3. https://terrytao.wordpress.com/2011/05/24/locally-compact-topological-vector-spaces/
4. https://www.emis.de/journals/PM/51f2/pm51f205.pdf/

• Крейсциг, Эрвин (1978), Вводный функциональный анализ с приложениями, Джон Уайли и сыновья, ISBN  0-471-50731-8