Теорема Голдстайна - Goldstine theorem

В функциональный анализ, раздел математики, Теорема Голдстайна, названный в честь Герман Голдстайн, утверждается следующим образом:

Теорема Голдстайна. Позволять Икс быть Банахово пространство, то образ замкнутого единичного шара BИкс при каноническом вложении в замкнутый единичный шар B′′ из двумерное пространство Икс ′′ является слабый* -плотный.

Заключение теоремы неверно для топологии нормы, что можно увидеть, рассматривая банахово пространство вещественных последовательностей, сходящихся к нулю, c0, и его би-дуальное пространство .

Доказательство

Лемма

Для всех , и , существует такой, что для всех .

Доказательство леммы

По сюръективности

мы можем найти с за .

Теперь позвольте

Каждый элемент z ∈ (Икс + Y) ∩ (1 + δ)B удовлетворяет и , поэтому достаточно показать, что пересечение непусто.

Предположим от противного, что он пуст. потом расстояние (Икс, Y) ≥ 1 + δ и по Теорема Хана – Банаха существует линейная форма φИкс ′ такой, что φ|Y = 0, φ(Икс) ≥ 1 + δ и ||φ||Икс ′ = 1. потом φ ∈ span {φ1, ..., φп} [1] и поэтому

что является противоречием.

Доказательство теоремы

Исправить , и . Осмотрите набор

Позволять - вложение, определяемое , куда оценка на карта. Наборы формы формируют основу для слабой * топологии,[2] поэтому плотность следует, если мы можем показать для всех таких . Приведенная выше лемма говорит, что для всех существует такой, что . С , у нас есть . Мы можем масштабировать, чтобы получить . Цель состоит в том, чтобы показать, что для достаточно малого , у нас есть .

Непосредственно проверяя, имеем

.

Обратите внимание, что мы можем выбрать достаточно большой, чтобы за .[3] Также обратите внимание, что . Если мы выберем так что , то имеем

Отсюда получаем по желанию.


Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Рудин, Вальтер. Функциональный анализ (Второе изд.). Лемма 3.9. С. 63–64.CS1 maint: location (связь)
  2. ^ Рудин, Вальтер. Функциональный анализ (Второе изд.). Уравнение (3) и замечание после него. п. 69.CS1 maint: location (связь)
  3. ^ Фолланд, Джеральд. Реальный анализ: современные методы и их применение (Второе изд.). Предложение 5.2. С. 153–154.CS1 maint: location (связь)