В функциональный анализ , раздел математики, Теорема Голдстайна , названный в честь Герман Голдстайн , утверждается следующим образом:
Теорема Голдстайна. Позволять Икс быть Банахово пространство , то образ замкнутого единичного шара B ⊂ Икс B ′′двумерное пространство Икс ′′слабый* -плотный .Заключение теоремы неверно для топологии нормы, что можно увидеть, рассматривая банахово пространство вещественных последовательностей, сходящихся к нулю, c 0 ℓ∞
Доказательство Лемма Для всех Икс ″ ∈ B ″ { displaystyle x '' in B ''} φ 1 , … , φ п ∈ Икс ′ { displaystyle varphi _ {1}, ldots, varphi _ {n} in X '} δ > 0 { displaystyle delta> 0} Икс ∈ ( 1 + δ ) B { displaystyle x in (1+ delta) B} φ я ( Икс ) = Икс ″ ( φ я ) { Displaystyle varphi _ {я} (х) = х '' ( varphi _ {я})} 1 ≤ я ≤ п { Displaystyle 1 Leq я Leq п}
Доказательство леммы По сюръективности
{ Φ : Икс → C п , Икс ↦ ( φ 1 ( Икс ) , ⋯ , φ п ( Икс ) ) { displaystyle { begin {case} Phi: X to mathbf {C} ^ {n}, x mapsto left ( varphi _ {1} (x), cdots, varphi _ { n} (x) right) end {case}}} мы можем найти Икс ∈ Икс { displaystyle x in X} φ я ( Икс ) = Икс ″ ( φ я ) { Displaystyle varphi _ {я} (х) = х '' ( varphi _ {я})} 1 ≤ я ≤ п { Displaystyle 1 Leq я Leq п}
Теперь позвольте
Y := ⋂ я кер φ я = кер Φ . { displaystyle Y: = bigcap _ {i} ker varphi _ {i} = ker Phi.} Каждый элемент z ∈ (Икс + Y ) ∩ (1 + δ )B z ∈ ( 1 + δ ) B { displaystyle z in (1+ delta) B} φ я ( z ) = z ″ ( φ я ) { Displaystyle varphi _ {я} (г) = г '' ( varphi _ {я})}
Предположим от противного, что он пуст. потом расстояние (Икс , Y ) ≥ 1 + δ и по Теорема Хана – Банаха существует линейная форма φ ∈ Икс ′φ |Y φ (Икс ) ≥ 1 + δ ||φ ||Икс ′ . потом φ ∈ span {φ 1 , ..., φп [1]
1 + δ ≤ φ ( Икс ) = Икс ″ ( φ ) ≤ ‖ φ ‖ Икс ′ ‖ Икс ″ ‖ Икс ″ ≤ 1 , { displaystyle 1+ delta leq varphi (x) = x '' ( varphi) leq | varphi | _ {X '} left | x' ' right | _ {X' '} leq 1,} что является противоречием.
Доказательство теоремы Исправить Икс ″ ∈ B ″ { displaystyle x '' in B ''} φ 1 , … , φ п ∈ Икс ′ { displaystyle varphi _ {1}, ldots, varphi _ {n} in X '} ϵ > 0 { displaystyle epsilon> 0}
U := { у ″ ∈ Икс ″ : | ( Икс ″ − у ″ ) ( φ я ) | < ϵ , 1 ≤ я ≤ п } . { displaystyle U: = {y '' in X '': | (x '' - y '') ( varphi _ {i}) | < epsilon, 1 leq i leq n }. } Позволять J : Икс → Икс ″ { displaystyle J: X rightarrow X ''} J ( Икс ) = Ev Икс { displaystyle J (x) = { text {Ev}} _ {x}} Ev Икс ( φ ) = φ ( Икс ) { displaystyle { text {Ev}} _ {x} ( varphi) = varphi (x)} Икс { displaystyle x} U { displaystyle U} [2] J ( B ) ∩ U ≠ ∅ { Displaystyle J (B) cap U neq varnothing} U { displaystyle U} δ > 0 { displaystyle delta> 0} Икс ∈ ( 1 + δ ) B { displaystyle x in (1+ delta) B} Ev Икс ∈ U { displaystyle { text {Ev}} _ {x} in U} J ( B ) ⊂ B ″ { Displaystyle J (B) подмножество B ''} Ev Икс ∈ ( 1 + δ ) J ( B ) ∩ U { displaystyle { text {Ev}} _ {x} in (1+ delta) J (B) cap U} 1 1 + δ Ev Икс ∈ J ( B ) { displaystyle { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} in J (B)} δ > 0 { displaystyle delta> 0} 1 1 + δ Ev Икс ∈ J ( B ) ∩ U { displaystyle { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} in J (B) cap U}
Непосредственно проверяя, имеем
| [ Икс ″ − 1 1 + δ Ev Икс ] ( φ я ) | = | φ я ( Икс ) − 1 1 + δ φ я ( Икс ) | = δ 1 + δ | φ я ( Икс ) | { displaystyle left | left [x '' - { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} right] ( varphi _ {i}) right | = left | varphi _ {i} (x) - { frac {1} {1+ delta}} varphi _ {i} (x) right | = { frac { delta} {1 + delta}} | varphi _ {i} (x) |} Обратите внимание, что мы можем выбрать M { displaystyle M} ‖ φ я ‖ Икс ′ ≤ M { Displaystyle | varphi _ {я} | _ {X '} leq M} 1 ≤ я ≤ п { Displaystyle 1 Leq я Leq п} [3] ‖ Икс ‖ Икс ≤ ( 1 + δ ) { Displaystyle | х | _ {X} leq (1+ delta)} δ { displaystyle delta} δ M < ϵ { displaystyle delta M < epsilon}
δ 1 + δ | φ я ( Икс ) | ≤ δ 1 + δ ‖ φ я ‖ Икс ′ ‖ Икс ‖ Икс ≤ δ ‖ φ я ‖ Икс ′ ≤ δ M < ϵ . { displaystyle { frac { delta} {1+ delta}} | varphi _ {i} (x) | leq { frac { delta} {1+ delta}} | varphi _ { i} | _ {X '} | x | _ {X} leq delta | varphi _ {i} | _ {X'} leq delta M < epsilon.} Отсюда получаем 1 1 + δ Ev Икс ∈ J ( B ) ∩ U { displaystyle { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} in J (B) cap U}
Смотрите также Рекомендации ^ Рудин, Вальтер. Функциональный анализ (Второе изд.). Лемма 3.9. С. 63–64. CS1 maint: location (связь) ^ Рудин, Вальтер. Функциональный анализ (Второе изд.). Уравнение (3) и замечание после него. п. 69. CS1 maint: location (связь) ^ Фолланд, Джеральд. Реальный анализ: современные методы и их применение (Второе изд.). Предложение 5.2. С. 153–154. CS1 maint: location (связь) Пространства Теоремы Операторы Алгебры Открытые проблемы Приложения Дополнительные темы
![{ displaystyle left | left [x '' - { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} right] ( varphi _ {i}) right | = left | varphi _ {i} (x) - { frac {1} {1+ delta}} varphi _ {i} (x) right | = { frac { delta} {1 + delta}} | varphi _ {i} (x) |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625ca508f07cece07f2c5cf22e3a0f9cdaea2b62)
