Спектр C * -алгебры - Spectrum of a C*-algebra

В математике спектр C * -алгебра или же двойственный к C * -алгебре А, обозначенный Â, это набор унитарная эквивалентность классы несводимый * -представления А. А *-представление π из А на Гильбертово пространство ЧАС является несводимый тогда и только тогда, когда нет замкнутого подпространства K отличается от ЧАС и {0}, инвариантный относительно всех операторов π (Икс) с Икс ∈ А. Мы неявно предполагаем, что неприводимое представление означает ненулевой неприводимое представление, что исключает тривиальные (т. е. тождественно 0) представления на одно-размерный пробелы. Как поясняется ниже, спектр Â также естественно топологическое пространство; это похоже на понятие спектр кольца.

Одним из наиболее важных применений этой концепции является предоставление понятия двойной объект для любого локально компактная группа. Этот двойной объект подходит для формулировки преобразование Фурье и Теорема Планшереля за унимодулярный отделяемый локально компактные группы типа I и теорема о разложении для произвольных представлений сепарабельных локально компактных групп типа I. Однако полученная теория двойственности для локально компактных групп намного слабее, чем Двойственность Таннаки – Крейна теория для компактные топологические группы или же Понтрягинская двойственность для локально компактных абелевский группы, обе из которых являются полными инвариантами. То, что двойственный инвариант не является полным, легко увидеть как двойственный к любой конечномерной полной матричной алгебре M_п(C) состоит из одной точки.

Примитивный спектр

В топология из Â можно определить несколькими эквивалентными способами. Сначала мы определим его с точки зрения примитивный спектр .

Примитивный спектр А это набор примитивные идеалы Прим (А) из А, где примитивный идеал - это ядро ​​неприводимого * -представления. Набор примитивных идеалов - это топологическое пространство с топология корпус-ядро (или же Топология Якобсона). Это определяется следующим образом: Если Икс набор примитивных идеалов, его закрытие корпуса является

${\displaystyle {\overline {X}}=\left\{\rho \in \operatorname {Prim} (A):\rho \supseteq \bigcap _{\pi \in X}\pi \right\}.}$

Замыкание ядра-оболочки легко показать как идемпотент операция, то есть

${\displaystyle {\overline {\overline {X}}}={\overline {X}},}$

и можно показать, что он удовлетворяет Аксиомы замыкания Куратовского. Как следствие, можно показать, что существует единственная топология τ на Prim (А) такое, что замыкание множества Икс по τ совпадает с замыканием ядра-оболочки Икс.

Поскольку унитарно эквивалентные представления имеют одно и то же ядро, отображение π ↦ ker (π) пропускается через сюръективный карта

${\displaystyle \operatorname {k} :{\hat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).}$

Мы используем карту k определить топологию на Â следующее:

Определение. Открытые наборы Â являются инверсными изображениями k⁻¹(U) открытых подмножеств U Прим (А). Это действительно топология.

Топология оболочечного ядра является аналогом некоммутативных колец Топология Зарисского для коммутативных колец.

Топология на Â индуцированная топология ядра-оболочки, имеет другие характеристики в терминах состояния из А.

Примеры

Коммутативные C * -алгебры

Трехмерная коммутативная C * -алгебра и ее идеалы. Каждый из 8 идеалов соответствует замкнутому подмножеству дискретного 3-точечного пространства (или открытому дополнению). Первобытные идеалы соответствуют закрытым синглтоны. Смотрите подробности на странице описания изображения.

Спектр коммутативной C * -алгебры А совпадает с Гельфанд дуал из А (не путать с двойной А ' банахова пространства А). В частности, предположим Икс это компактный Пространство Хаусдорфа. Тогда есть естественный гомеоморфизм

${\displaystyle \operatorname {I} :X\cong \operatorname {Prim} (\operatorname {C} (X)).}$

Это отображение определяется

${\displaystyle \operatorname {I} (x)=\{f\in \operatorname {C} (X):f(x)=0\}.}$

Я(Икс) - замкнутый максимальный идеал в C (Икс) так что на самом деле примитивно. Подробности доказательства см. В справочнике Диксмье. Для коммутативной C * -алгебры

${\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}$

C * -алгебра ограниченных операторов

Позволять ЧАС быть сепарабельным бесконечномерным Гильбертово пространство. L(ЧАС) имеет два замкнутых по норме * -идеала: я₀ = {0} и идеальный K = K(ЧАС) компактных операторов. Таким образом, как набор, Prim (L(ЧАС)) = {я₀, K}. Сейчас же

• {K} - это замкнутое подмножество Prim (L(ЧАС)).
• Закрытие {я₀} - это Prim (L(ЧАС)).

Таким образом, Prim (L(ЧАС)) - нехаусдорфово пространство.

Спектр L(ЧАС) с другой стороны намного больше. Существует много неэквивалентных неприводимых представлений с ядром K(ЧАС) или с ядром {0}.

Конечномерные C * -алгебры

Предполагать А является конечномерной C * -алгеброй. Это известно А изоморфна конечной прямой сумме полных матричных алгебр:

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{e\in \operatorname {min} (A)}Ae,}$

где min (А) - минимальные центральные проекции А. Спектр А канонически изоморфна min (А) с дискретная топология. Для конечномерных C * -алгебр также имеет место изоморфизм

${\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}$

Другие характеристики спектра

Топологию корпус-ядро легко описать абстрактно, но на практике для C * -алгебр, связанных с локально компактный топологические группы желательны другие характеристики топологии на спектре в терминах положительно определенных функций.

Фактически топология на Â тесно связано с концепцией слабое сдерживание представлений, как показано следующим:

Теорема. Позволять S быть подмножеством Â. Тогда следующие утверждения для неприводимого представления π эквивалентны;

1. Класс эквивалентности π в Â находится в закрытии S
2. Каждое состояние, ассоциированное с π, имеет вид

${\displaystyle f_{\xi }(x)=\langle \xi \mid \pi (x)\xi \rangle }$

с || ξ || = 1, является слабым пределом состояний, связанных с представлениями в S.

Второе условие в точности означает, что π слабо содержится в S.

В Строительство ГНС является рецептом связывания состояний C * -алгебры А представлениям А. По одной из основных теорем, связанных с конструкцией ГНС, состояние ж является чистый тогда и только тогда, когда ассоциированное представление π_ж неприводимо. Более того, отображение κ: PureState (А) → Â определяется ж ↦ π_ж является сюръективным отображением.

Из предыдущей теоремы легко доказать следующее;

Теорема Отображение

${\displaystyle \kappa :\operatorname {PureState} (A)\to {\hat {A}}}$

заданная конструкцией GNS непрерывна и открыта.

Пространство Irr_п(А)

Есть еще одна характеристика топологии на Â которое возникает при рассмотрении пространства представлений как топологического пространства с подходящей топологией поточечной сходимости. Точнее, пусть п быть количественным числом и пусть ЧАС_п каноническое гильбертово пространство размерности п.

Irr_п(А) - пространство неприводимых * -представлений А на ЧАС_п с точечно-слабой топологией. С точки зрения сходимости сетей эта топология определяется формулой π_я → π; если и только если

${\displaystyle \langle \pi _{i}(x)\xi \mid \eta \rangle \to \langle \pi (x)\xi \mid \eta \rangle \quad \forall \xi ,\eta \in H_{n}\ x\in A.}$

Оказывается, эта топология на Irr_п(А) совпадает с точечно-сильной топологией, т. е. π_я → π тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \pi _{i}(x)\xi \to \pi (x)\xi \quad {\mbox{ normwise }}\forall \xi \in H_{n}\ x\in A.}$

Теорема. Позволять Â_п быть подмножеством Â состоящий из классов эквивалентности представлений, базовое гильбертово пространство которых имеет размерность п. Каноническое отображение Irr_п(А) → Â_п непрерывный и открытый. Особенно, Â_п можно рассматривать как фактор-топологическое пространство Irr_п(А) при унитарной эквивалентности.

Замечание. Соединение различных Â_п может быть довольно сложным.

Структура Макки – Бореля.

 является топологическим пространством и, следовательно, также может рассматриваться как Борелевское пространство. Известная гипотеза Дж. Макки предложил, чтобы отделяемый локально компактная группа имеет тип I тогда и только тогда, когда борелевское пространство стандартно, т.е.изоморфно (в категории борелевских пространств) нижележащему борелевскому пространству полное сепарабельное метрическое пространство. Макки назвал борелевские пространства с этим свойством гладкий. Эта гипотеза была доказана Джеймс Глимм для сепарабельных C * -алгебр в статье 1961 г., указанной в ссылках ниже.

Определение. Невырожденное * -представление π сепарабельной C * -алгебры А это факторное представление тогда и только тогда, когда центр алгебры фон Неймана, порожденный π (А) одномерно. C * -алгебра А имеет тип I тогда и только тогда, когда любое разделимое факторное представление А является конечным или счетным кратным неприводимого.

Примеры отделимых локально компактных групп грамм такое, что C * (грамм) имеет тип I связаны (настоящий) нильпотентный Группы Ли и подключен реальный полупростой Группы Ли. Таким образом Группы Гейзенберга все относятся к типу I. Компактные и абелевы группы также относятся к типу I.

Теорема. Если А отделима, Â гладко тогда и только тогда, когда А относится к типу I.

Результат влечет за собой далеко идущее обобщение структуры представлений сепарабельных C * -алгебр типа I и, соответственно, сепарабельных локально компактных групп типа I.

Алгебраические примитивные спектры

Смотрите также: Примитивный спектр

Поскольку C * -алгебра А это звенеть, можно также рассмотреть множество примитивные идеалы из А, куда А рассматривается алгебраически. Для кольца идеал примитивен тогда и только тогда, когда он аннигилятор из простой модуль. Оказывается, для C * -алгебры А, идеал алгебраически примитивен если и только если он примитивен в смысле, определенном выше.

Теорема. Позволять А - C * -алгебра. Любое алгебраически неприводимое представление А на комплексном векторном пространстве алгебраически эквивалентно топологически неприводимому * -представлению в гильбертовом пространстве. Топологически неприводимые * -представления в гильбертовом пространстве алгебраически изоморфны тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны.

Это следствие теоремы 2.9.5 из справочника Диксмье.

Если грамм является локально компактной группой, топология двойственного пространства группа C * -алгебра С * (грамм) из грамм называется Упала топология, названный в честь Дж. М. Г. Фелл.

Рекомендации

• Ж. Диксмье, Представительства Les C * -algèbres et leurs, Готье-Виллар, 1969.
• Дж. Глимм, C * -алгебры типа I, Анналы математики, том 73, 1961.
• Г. Макки, Теория представлений групп, Издательство Чикагского университета, 1955.