Спектральный радиус - Spectral radius

В математика, то спектральный радиус из квадратная матрица или ограниченный линейный оператор является наибольшим абсолютным значением его собственные значения (т.е. супремум среди абсолютные значения элементов в его спектр ). Иногда его обозначают через ρ (·).

Матрицы

Позволять λ₁, ..., λ_п быть (настоящий или же сложный ) собственные значения матрицы А ∈ C^п×п. Тогда его спектральный радиус ρ(А) определяется как:

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$

В номер условия из ${\displaystyle A}$ можно выразить через спектральный радиус как ${\displaystyle \rho (A)\rho (A^{-1})}$.

Спектральный радиус - это своего рода точная нижняя грань всех норм матрицы. С одной стороны, ${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$ для каждого норма натуральной матрицы ${\displaystyle \|\cdot \|}$, а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что ${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$; оба этих результата показаны ниже. Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ для произвольных векторов ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$. Чтобы понять почему, позвольте ${\displaystyle r>1}$ произвольна и рассмотрим матрицу ${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$. В характеристический многочлен из ${\displaystyle C_{r}}$ является ${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$, следовательно, его собственные значения равны ${\displaystyle \pm 1}$, и поэтому ${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$. тем не мение ${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$, так ${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|}$ за ${\displaystyle \|\cdot \|}$ быть любым ${\displaystyle \ell ^{p}}$ норма на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Что еще позволяет ${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$ в качестве ${\displaystyle k\to \infty }$ в том, что ${\displaystyle C_{r}^{2}=I}$, изготовление ${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1}$ в качестве ${\displaystyle k\to \infty }$.

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ для всех ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$

делает держись, когда ${\displaystyle A}$ это Эрмитова матрица и ${\displaystyle \|\cdot \|}$ это Евклидова норма.

Графики

Спектральный радиус конечного график определяется как спектральный радиус его матрица смежности.

Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (т.е. существует некоторое действительное число C такая, что степень каждой вершины графа меньше, чем C). В этом случае для графика грамм определять:

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}$

Позволять γ быть оператором смежности грамм:

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}$

Спектральный радиус грамм определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ.

Верхняя граница

Верхние оценки спектрального радиуса матрицы

Следующее предложение показывает простую, но полезную оценку сверху спектрального радиуса матрицы:

Предложение. Позволять А ∈ C^п×п со спектральным радиусом ρ(А) и согласованная матричная норма ||⋅||. Тогда для каждого целого числа ${\displaystyle k\geqslant 1}$:

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Доказательство

Позволять (v, λ) быть собственный вектор -собственное значение пара для матрицы А. По субмультипликативному свойству матричной нормы мы получаем:

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}$

и с тех пор v ≠ 0 у нас есть

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$

и поэтому

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Верхние оценки спектрального радиуса графа

Существует множество оценок сверху спектрального радиуса графа с точки зрения его номера п вершин и их количество м краев. Например, если

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

куда ${\displaystyle 3\leq k\leq n}$ целое число, тогда^[1]

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$

Последовательность мощности

Теорема

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости степенной последовательности матрицы; а именно, справедлива следующая теорема:

Теорема. Позволять А ∈ C^п×п со спектральным радиусом ρ(А). потом ρ(А) < 1 если и только если

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$

С другой стороны, если ρ(А) > 1, ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$. Утверждение верно при любом выборе матричной нормы на C^п×п.

Доказательство теоремы

Предположим, что рассматриваемый предел равен нулю, мы покажем, что ρ(А) < 1. Позволять (v, λ) быть собственный вектор -собственное значение пара для А. С А^kv = λ^kv у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}$

и, поскольку по гипотезе v ≠ 0, мы должны иметь

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}$

откуда следует | λ | <1. Поскольку это должно быть верно для любого собственного значения λ, мы можем заключить, что ρ (А) < 1.

Теперь предположим радиус А меньше чем 1. От Нормальная форма Джордана теорема, мы знаем, что для всех А ∈ C^п×п, существуют V, J ∈ C^п×п с V неособое и J диагональ блока такая, что:

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$

с

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

куда

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$

Легко заметить, что

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$

и с тех пор J блочно-диагональный,

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

Теперь стандартный результат на k-сила ${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$ Блок Иордании заявляет, что для ${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$:

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$

Таким образом, если ${\displaystyle \rho (A)<1}$ тогда для всех я ${\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$. Следовательно, для всех я у нас есть:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$

что подразумевает

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$

Следовательно,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}$

С другой стороны, если ${\displaystyle \rho (A)>1}$, есть хотя бы один элемент в J который не остается ограниченным при увеличении k, что доказывает вторую часть утверждения.

Формула Гельфанда

Теорема

Следующая теорема дает спектральный радиус как предел нормы матрицы.

Теорема (формула Гельфанда; 1941). Для любого матричная норма ||⋅||, у нас есть

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.}$^[2].

Доказательство

Для любого ε > 0, сначала построим следующие две матрицы:

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$

Потом:

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$

Сначала применим предыдущую теорему к А₊:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$

Это означает, что согласно определению предела последовательности существует N₊ ∈ N такой, что для всех k ≥ N₊,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}$

так

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}}$

Применяя предыдущую теорему к А₋ подразумевает ${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$ не ограничен и существует N₋ ∈ N такое, что для всех k ≥ N₋,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}}$

так

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}}$

Позволять N = max {N₊, N₋}, тогда у нас есть:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }$

который по определению

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$

Следствия Гельфанда

Формула Гельфанда непосредственно приводит к оценке спектрального радиуса произведения конечного числа матриц, а именно, предполагая, что все они коммутируют, получаем

${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$

Собственно, если норма последовательный, доказательство показывает больше, чем тезис; фактически, используя предыдущую лемму, мы можем заменить в определении предела левую нижнюю границу самим спектральным радиусом и записать более точно:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbf {N} ,\forall k\geq N\quad \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }$

который по определению

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A)^{+},}$

где + означает приближение к пределу сверху.

Пример

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$

чьи собственные значения 5, 10, 10; по определению, ρ(А) = 10. В следующей таблице значения ${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$ для четырех наиболее часто используемых норм указаны в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы,${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$):

k	${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$	${\displaystyle \|.\|_{F}}$	${\displaystyle \|.\|_{2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Ограниченные линейные операторы

Для ограниченный линейный оператор А и норма оператора || · ||, снова имеем

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Ограниченный оператор (в комплексном гильбертовом пространстве) называется спектралоидный оператор если его спектральный радиус совпадает с его числовой радиус. Примером такого оператора является нормальный оператор.

Примечания и ссылки

1. Го, Цзи-Мин; Ван, Чжи-Вэнь; Ли, Синь (2019). «Точные верхние границы спектрального радиуса графа». Дискретная математика. 342 (9): 2559–2563. Дои:10.1016 / j.disc.2019.05.017.
2. Формула верна для любого Банахова алгебра; см. лемму IX.1.8 в Данфорд и Шварц 1963 и Lax 2002, стр. 195–197

Библиография

• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб (1963), Линейные операторы II. Спектральная теория: самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, Interscience Publishers, Inc.
• Лакс, Питер Д. (2002), Функциональный анализ, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-55604-1

Смотрите также

• Спектральный промежуток
• В Совместный спектральный радиус является обобщением спектрального радиуса на наборы матриц.
• Спектр матрицы
• Спектральная абсцисса