Оператор трансфера - Transfer operator

Оператор трансфера отличается от гомоморфизм переноса.

В математика, то оператор передачи кодирует информацию о повторяющаяся карта и часто используется для изучения поведения динамические системы, статистическая механика, квантовый хаос и фракталы. Во всех обычных случаях наибольшее собственное значение равно 1, а соответствующий собственный вектор - это инвариантная мера системы.

Оператора трансфера иногда называют Оператор Рюэля, после Дэвид Рюэлль, или Оператор Рюэля – Перрона – Фробениуса, в отношении применимости Теорема Перрона – Фробениуса к определению собственные значения оператора.

Определение

Итерируемая функция, подлежащая изучению, представляет собой отображение ${ displaystyle f двоеточие X rightarrow X}$ для произвольного множества ${ displaystyle X}$ .

Оператор передачи определяется как оператор ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ действующий в пространстве функций ${ Displaystyle { Phi двоеточие X rightarrow mathbb {C} }}$ в качестве

{ Displaystyle ({ mathcal {L}} Phi) (x) = sum _ {y in f ^ {- 1} (x)} g (y) Phi (y)}

куда ${ displaystyle g двоеточие X rightarrow mathbb {C}}$ - вспомогательная оценочная функция. Когда ${ displaystyle f}$ имеет Якобиан детерминант ${ displaystyle | J |}$ , тогда ${ displaystyle g}$ обычно считается ${ displaystyle g = 1 / | J |}$ .

Приведенное выше определение передаточного оператора может быть показано как точечный предел теоретико-меры продвигать из грамм: по сути, трансфер оператор - это функтор прямого изображения в категории измеримые пространства. Левым сопряженным оператором Фробениуса – Перрона является оператор Оператор Купмана или же оператор композиции. Общая настройка обеспечивается Функциональное исчисление Бореля.

Как правило, оператор трансфера обычно интерпретируется как (левый)оператор смены действуя на сдвинуть пространство. Наиболее часто изучаемые сдвиги - это подсдвиги конечного типа. Сопряжение с оператором передачи также обычно интерпретируется как сдвиг вправо. К особенно хорошо изученным сдвигам вправо относятся Оператор Якоби и Матрица Гессенберга, оба из которых создают системы ортогональные многочлены через сдвиг вправо.

Приложения

В то время как итерация функции ${ displaystyle f}$ естественно приводит к изучению орбит точек X при итерации (изучение точечная динамика ) оператор переноса определяет, как (гладкие) карты развиваются при итерации. Таким образом, операторы передачи обычно появляются в физика проблемы, такие как квантовый хаос и статистическая механика, где внимание сосредоточено на временной эволюции гладких функций. В свою очередь, это имеет медицинские приложения для рациональный дизайн лекарств, через поле молекулярная динамика.

Часто бывает, что передаточный оператор положительный, имеет дискретные положительные действительные значения. собственные значения, причем наибольшее собственное значение равно единице. По этой причине оператор переноса иногда называют оператором Фробениуса – Перрона.

В собственные функции оператора переноса обычно являются фракталами. Когда логарифм передаточного оператора соответствует кванту Гамильтониан, собственные значения обычно будут расположены очень близко друг к другу, и поэтому даже очень узкий и тщательно выбранный ансамбль квантовых состояний будет охватывать большое количество очень разных фрактальных собственных состояний с ненулевым поддерживать по всему объему. Это может быть использовано для объяснения многих результатов классической статистической механики, включая необратимость времени и увеличение энтропия.

Трансфер-оператор Карта Бернулли ${ Displaystyle Ь (х) = 2x- lfloor 2x rfloor}$ точно решается и является классическим примером детерминированный хаос; дискретные собственные значения соответствуют Полиномы Бернулли. Этот оператор также имеет непрерывный спектр, состоящий из Дзета-функция Гурвица.

Трансфер-оператор карты Гаусса ${ Displaystyle ч (х) = 1 / х- lfloor 1 / x rfloor}$ называется Оператор Гаусса – Кузьмина – Вирсинга (GKW) и из-за своей необычайной сложности не решена полностью. Теория GKW восходит к гипотезе Гаусса о непрерывные дроби и тесно связан с Дзета-функция Римана.

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Оператор трансфера - Transfer operator

Содержание

Определение

Приложения

Смотрите также

Рекомендации