Функциональное исчисление Бореля - Borel functional calculus

В функциональный анализ, филиал математика, то Функциональное исчисление Бореля это функциональное исчисление (то есть присвоение операторы из коммутативные алгебры к функциям, определенным на их спектры ), имеющий особенно широкую сферу применения.^[1][2] Так, например, если Т - оператор, применяющий функцию возведения в квадрат s → s² к Т дает оператор Т². Используя функциональное исчисление для больших классов функций, мы можем, например, строго определить «квадратный корень» из (отрицательного) Оператор лапласа −Δ или экспоненциальный ${\displaystyle e^{it\Delta }.}$

«Объем» здесь означает вид функция оператора что разрешено. Функциональное исчисление Бореля является более общим, чем непрерывное функциональное исчисление, и имеет другую направленность, чем голоморфное функциональное исчисление.

Точнее, функциональное исчисление Бореля позволяет применять произвольные Функция Бореля к самосопряженный оператор, таким образом, который обобщает применение полиномиальная функция.

Мотивация

Если Т является самосопряженным оператором на конечномерном внутреннее пространство продукта ЧАС, тогда ЧАС имеет ортонормированный базис {е₁, ..., е_ℓ} состоящий из собственные векторы из Т, то есть

${\displaystyle Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq \ell .}$

Таким образом, для любого положительного целого числа п,

${\displaystyle T^{n}e_{k}=\lambda _{k}^{n}e_{k}.}$

Если бы только многочлены от Т рассматриваются, то приходим к голоморфное функциональное исчисление. Более общие функции Т возможный? Да. Учитывая Функция Бореля час, можно определить оператор час(Т), указав его поведение на основе:

${\displaystyle h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.}$

В общем случае любой самосопряженный оператор Т является унитарно эквивалентный к оператору умножения; это означает, что для многих целей Т можно рассматривать как оператор

${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi (x)}$

действующий на L² некоторых измерить пространство. Область Т состоит из тех функций, для которых приведенное выше выражение находится в L². В этом случае аналогично можно определить

${\displaystyle [h(T)\psi ](x)=[h\circ f](x)\psi (x).}$

Для многих технических целей предыдущая формулировка достаточно хороша. Однако желательно сформулировать функциональное исчисление таким образом, чтобы было ясно, что оно не зависит от конкретного представления Т как оператор умножения. Это мы сделаем в следующем разделе.

Ограниченное функциональное исчисление

Формально ограниченное борелевское функциональное исчисление самосопряженного оператора Т на Гильбертово пространство ЧАС отображение, определенное на пространстве ограниченных комплекснозначных борелевских функций ж на реальной линии,

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{T}:L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\f\mapsto f(T)\end{cases}}}$

такие, что выполняются следующие условия

• π_Т является инволюция -сохраняющий и сохраняющий единицу гомоморфизм из кольца комплекснозначных ограниченных измеримых функций на р.
• Если ξ является элементом ЧАС, тогда

${\displaystyle \nu _{\xi }:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E})\xi ,\xi \rangle }$

это счетно-аддитивная мера на борелевских множествах р. В приведенной выше формуле 1_E обозначает индикаторная функция из E. Эти меры ν_ξ называются спектральные меры из Т.

• Если η обозначает отображение z → z на C, тогда:

${\displaystyle \pi _{T}\left([\eta +i]^{-1}\right)=[T+i]^{-1}.}$

Теорема. Любой самосопряженный оператор Т имеет уникальное функциональное исчисление Бореля.

Это определяет функциональное исчисление для ограниченный функции, применимые к возможно неограниченный самосопряженные операторы. Используя ограниченное функциональное исчисление, можно доказать часть Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах:

Теорема. Если А - самосопряженный оператор, то

${\displaystyle U_{t}=e^{itA},\qquad t\in \mathbb {R} }$

является однопараметрической сильно непрерывной унитарной группой, бесконечно малый генератор является я.

В качестве приложения мы рассматриваем Уравнение Шредингера, или, что то же самое, динамика квантово-механической системы. В нерелятивистский квантовая механика, то Гамильтониан оператор ЧАС моделирует общую энергия наблюдаемый квантово-механической системы S. Унитарная группа, порожденная iH соответствует временной эволюции S.

Мы также можем использовать функциональное исчисление Бореля для абстрактного решения некоторых линейных проблемы начального значения например, уравнение теплопроводности или уравнения Максвелла.

Существование функционального исчисления

Существование отображения со свойствами функционального исчисления требует доказательства. В случае ограниченного самосопряженного оператора Т, существование борелевского функционального исчисления элементарно можно показать следующим образом:

Первый переход от полинома к непрерывное функциональное исчисление используя Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Ключевым фактом здесь является то, что для ограниченного самосопряженного оператора Т и многочлен п,

${\displaystyle \|p(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|p(\lambda )|.}$

Следовательно, отображение

${\displaystyle p\mapsto p(T)}$

- изометрия и плотно определенный гомоморфизм на кольце полиномиальных функций. Расширение за счет непрерывности определяет ж(Т) для непрерывной функции ж в спектре Т. В Теорема Рисса-Маркова затем позволяет перейти от интегрирования непрерывных функций к спектральные меры, и это функциональное исчисление Бореля.

В качестве альтернативы непрерывное исчисление можно получить с помощью Преобразование Гельфанда, в контексте коммутативных банаховых алгебр. Расширение до измеримых функций достигается применением Рисса-Маркова, как указано выше. В этой формулировке Т может быть нормальный оператор.

Учитывая оператора Т, диапазон непрерывного функционального исчисления час → час(Т) - (абелева) C * -алгебра C(Т) создано Т. Функциональное исчисление Бореля имеет больший диапазон, то есть замыкание C(Т) в слабая операторная топология, а (все еще абелева) алгебра фон Неймана.

Общее функциональное исчисление

Мы также можем определить функциональное исчисление для необязательно ограниченных борелевских функций час; результатом является оператор, который в общем случае не может быть ограничен. Используя умножение на функцию ж модель самосопряженного оператора, заданная спектральной теоремой, это умножение на композицию час с ж.

Теорема. Позволять Т быть самосопряженным оператором на ЧАС, час действительнозначная борелевская функция на р. Есть уникальный оператор S такой, что

${\displaystyle \operatorname {dom} S=\left\{\xi \in H:h\in L_{\nu _{\xi }}^{2}(\mathbb {R} )\right\}}$

${\displaystyle \langle S\xi ,\xi \rangle =\int _{\mathbb {R} }h(t)\ d\nu _{\xi }(t),\quad {\mbox{for}}\quad \xi \in \operatorname {dom} S}$

Оператор S предыдущей теоремы обозначается час(Т).

В более общем смысле, функциональное исчисление Бореля существует также для (ограниченных) нормальных операторов.

Разрешение личности

Позволять Т - самосопряженный оператор. Если E является борелевским подмножеством р, и 1_E это индикаторная функция из E, тогда 1_E(Т) - самосопряженная проекция на ЧАС. Тогда отображение

${\displaystyle \Omega :E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)}$

это проекционно-оценочная мера называется разрешение личности для самосопряженного оператора Т. Мера р относительно Ω - тождественный оператор на ЧАС. Другими словами, единичный оператор может быть выражен как спектральный интеграл ${\displaystyle \textstyle {I=\int 1\,d\Omega }}$. Иногда термин «разрешение тождества» также используется для описания этого представления тождественного оператора как спектрального интеграла.

В случае дискретной меры (в частности, когда ЧАС конечномерна), ${\displaystyle \textstyle {I=\int 1\,d\Omega }}$ можно записать как

${\displaystyle I=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|}$

в обозначениях Дирака, где каждый ${\displaystyle |i\rangle }$ является нормированным собственным вектором Т. Набор ${\displaystyle \{|i\rangle \}}$ является ортонормированным базисом ЧАС.

В физической литературе, используя вышеизложенное как эвристику, переходят к случаю, когда спектральная мера больше не дискретна, и записывают разрешение тождества как

${\displaystyle I=\int d|i\rangle \langle i|}$

и говорить о «непрерывной основе» или «континууме базисных состояний», ${\displaystyle \{|i\rangle \}}$ Математически, если не дано строгое обоснование, это выражение чисто формальное.

Рекомендации

1. Кадисон, Ричард V .; Рингроуз, Джон Р. (1997). Основы теории операторных алгебр: Том 1. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0819-2.
2. Рид, Майкл; Саймон, Барри (1981). Методы современной математической физики. Академическая пресса. ISBN  0-12-585050-6.