Теорема Стоунса об однопараметрических унитарных группах - Stones theorem on one-parameter unitary groups

В математика, Теорема Стоуна на однопараметрический унитарные группы это основная теорема функциональный анализ который устанавливает взаимно однозначное соответствие между самосопряженные операторы на Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и однопараметрические семейства

${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

из унитарные операторы которые сильно непрерывный, т.е.

${\displaystyle \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ),}$

и являются гомоморфизмами, т. е.

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t+s}=U_{t}U_{s}.}$

Такие однопараметрические семейства обычно называют сильно непрерывные однопараметрические унитарные группы.

Теорема была доказана Маршалл Стоун  (1930, 1932 ), и Нейман (1932) показал, что требование, чтобы ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ быть сильно непрерывным, можно ослабить, чтобы сказать, что оно просто слабо измеримо, по крайней мере, когда гильбертово пространство сепарабельно.

Это впечатляющий результат, поскольку он позволяет определить производную отображения ${\displaystyle t\mapsto U_{t},}$ который только должен быть непрерывным. Это также связано с теорией Группы Ли и Алгебры Ли.

Официальное заявление

Формулировка теоремы следующая.^[1]

Теорема. Позволять ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ быть сильно непрерывный однопараметрическая унитарная группа. Тогда существует единственный (возможно, неограниченный) оператор ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$, который самосопряжен на ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}}$ и такой, что

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.}$

Область ${\displaystyle A}$ определяется

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.}$

Наоборот, пусть ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$ - (возможно, неограниченный) самосопряженный оператор на ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}.}$ Тогда однопараметрическое семейство ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ унитарных операторов, определяемых

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}:=e^{itA}}$

является сильно непрерывной однопараметрической группой.

В обеих частях теоремы выражение ${\displaystyle e^{itA}}$ определяется с помощью спектральная теорема для неограниченного самосопряженные операторы.

Оператор ${\displaystyle A}$ называется бесконечно малый генератор из ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}$ Более того, ${\displaystyle A}$ будет ограниченным оператором тогда и только тогда, когда операторнозначное отображение ${\displaystyle t\mapsto U_{t}}$ является норма -непрерывный.

Бесконечно малый генератор ${\displaystyle A}$ сильно непрерывной унитарной группы ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ может быть вычислено как

${\displaystyle A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},}$

с доменом ${\displaystyle A}$ состоящий из этих векторов ${\displaystyle \psi }$ для которого существует предел в топологии нормы. То есть, ${\displaystyle A}$ равно ${\displaystyle -i}$ раз производная от ${\displaystyle U_{t}}$ относительно ${\displaystyle t}$ в ${\displaystyle t=0}$. Часть утверждения теоремы состоит в том, что эта производная существует, т. Е. Что ${\displaystyle A}$ - плотно определенный самосопряженный оператор. Результат неочевиден даже в конечномерном случае, поскольку ${\displaystyle U_{t}}$ только предполагается (заранее) как непрерывный, а не дифференцируемый.

Пример

Семейство операторов перевода

${\displaystyle \left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)}$

- однопараметрическая унитарная группа унитарных операторов; инфинитезимальный генератор этого семейства является расширение дифференциального оператора

${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$

на пространстве непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций с компактная опора на ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Таким образом

${\displaystyle T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.}$

Другими словами, движение на линии создается оператор импульса.

Приложения

Теорема Стоуна имеет множество приложений в квантовая механика. Например, для изолированной квантово-механической системы с гильбертовым пространством состояний ЧАС, эволюция во времени является сильно непрерывной однопараметрической унитарной группой на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Инфинитезимальный генератор этой группы - система Гамильтониан.

Дальнейшая информация: Теорема Стоуна – фон Неймана и Группа Гейзенберга

Использование преобразования Фурье

Теорему Стоуна можно переформулировать, используя язык преобразование Фурье. Настоящая линия ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является локально компактной абелевой группой. Невырожденные * -представления группа C * -алгебра ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с сильно непрерывными унитарными представлениями ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ т.е. сильно непрерывные однопараметрические унитарные группы. С другой стороны, преобразование Фурье - это * -изоморфизм из ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ к ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ),}$ то ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра непрерывных комплекснозначных функций на вещественной прямой, обращающихся в нуль на бесконечности. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между сильно непрерывными однопараметрическими унитарными группами и * -представлениями группы ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$ Как и любое * -представление ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ однозначно соответствует самосопряженному оператору, теорема Стоуна верна.

Следовательно, процедура получения инфинитезимального генератора сильно непрерывной однопараметрической унитарной группы выглядит следующим образом:

• Позволять ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ - сильно непрерывное унитарное представление ${\displaystyle \mathbb {R} }$ на Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

• Интегрируйте это унитарное представление, чтобы получить невырожденное * -представление ${\displaystyle \rho }$ из ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ сначала определив

${\displaystyle \forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\qquad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)~U_{t}dt,}$

а затем расширение ${\displaystyle \rho }$ ко всем ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ по преемственности.

• Используйте преобразование Фурье, чтобы получить невырожденное * -представление ${\displaystyle \tau }$ из ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

• Посредством Теорема Рисса-Маркова., ${\displaystyle \tau }$ рождает проекционно-оценочная мера на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ это разрешение идентичности уникального самосопряженный оператор ${\displaystyle A}$, который может быть неограниченным.

• потом ${\displaystyle A}$ является бесконечно малым генератором ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}$

Точное определение ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ как следует. Рассмотрим * -алгебру ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} ),}$ непрерывные комплекснозначные функции на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с компактной опорой, где умножение дается свертка. Пополнение этой * -алгебры относительно ${\displaystyle L^{1}}$-норма является банаховой * -алгеброй, обозначаемой ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star ).}$ потом ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ определяется как обволакивающий ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра из ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star )}$, т.е. его завершение по максимально возможной ${\displaystyle C^{*}}$-норма. Нетривиальный факт, что с помощью преобразования Фурье ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ изоморфен ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$ Результатом в этом направлении является Лемма Римана-Лебега., что говорит о том, что преобразование Фурье отображает ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ к ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$

Обобщения

В Теорема Стоуна – фон Неймана обобщает теорему Стоуна на пара самосопряженных операторов, ${\displaystyle (P,Q)}$, удовлетворяя каноническое коммутационное соотношение, и показывает, что все они унитарно эквивалентны оператор позиции и оператор импульса на ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$

В Теорема Хилле – Иосиды обобщает теорему Стоуна на сильно непрерывные однопараметрические полугруппы схватки на Банаховы пространства.

Рекомендации

1. Зал 2013 Теорема 10.15.

Библиография

• Холл, B.C. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Neumann, J. von (1932), "Uber einen Satz von Herrn M. H. Stone", Анналы математики, Вторая серия (на немецком языке), Анналы математики, 33 (3): 567–573, Дои:10.2307/1968535, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968535
• Стоун, М. Х. (1930), "Линейные преобразования в гильбертовом пространстве. III. Операционные методы и теория групп", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, Национальная академия наук, 16 (2): 172–175, Дои:10.1073 / pnas.16.2.172, ISSN  0027-8424, JSTOR  85485, ЧВК  1075964, PMID  16587545
• Стоун, М. Х. (1932), "Об однопараметрических унитарных группах в гильбертовом пространстве", Анналы математики, 33 (3): 643–648, Дои:10.2307/1968538, JSTOR  1968538
• К. Йосида, Функциональный анализ, Springer-Verlag, (1968)