Оператор позиции - Position operator

В квантовая механика, то оператор позиции это оператор что соответствует положению наблюдаемый из частица.

Когда оператор позиции рассматривается с достаточно широкой областью (например, пространство умеренные распределения ) его собственными значениями являются возможные векторы положения частицы.^[1]

В одном измерении, если по символу

${displaystyle |xangle }$

обозначим унитарный собственный вектор оператора положения, соответствующий собственному значению ${displaystyle x}$, тогда, ${displaystyle |xangle }$ представляет собой состояние частицы, в котором мы с уверенностью знаем, что сама частица находится в положении ${displaystyle x}$.

Поэтому, обозначая оператор позиции символом ${displaystyle X}$ - в литературе мы находим и другие символы для оператора позиции, например ${displaystyle Q}$ (из лагранжевой механики), ${displaystyle {hat {mathrm {x} }}}$ и так далее - мы можем написать

${displaystyle X|xangle =x|xangle }$,

для каждой реальной позиции ${displaystyle x}$.

Одна из возможных реализаций унитарного государства с позицией ${displaystyle x}$ - распределение дельты (функции) Дирака с центром в позиции ${displaystyle x}$, часто обозначаемый ${displaystyle delta _{x}}$.

В квантовой механике упорядоченное (непрерывное) семейство всех распределений Дирака, то есть семейство

${displaystyle delta =(delta _{x})_{xin mathbb {R} }}$,

называется (унитарным) базисом позиции (в одном измерении) просто потому, что он является (унитарным) собственным базисом оператора позиции ${displaystyle X}$.

Важно отметить, что существует только один линейный непрерывный эндоморфизм ${displaystyle X}$ на пространстве умеренных распределений такие, что

${displaystyle X(delta _{x})=xdelta _{x}}$,

для каждой реальной точки ${displaystyle x}$. Можно доказать, что единственный указанный выше эндоморфизм обязательно определяется формулой

${displaystyle X(psi )=mathrm {x} psi }$,

для любого умеренного распределения ${displaystyle psi }$, куда ${displaystyle mathrm {x} }$ обозначает координатную функцию позиционной линии, определяемую от реальной линии до комплексной плоскости как

${displaystyle mathrm {x} :mathbb {R} o mathbb {C} :xmapsto x.}$

Вступление

В одном измерении - для частицы, заключенной в прямую линию - квадратный модуль

${displaystyle |psi |^{2}=psi ^{*}psi }$ ,

нормированной квадратично интегрируемой волновой функции

${displaystyle psi :mathbb {R} o mathbb {C} }$,

представляет плотность вероятности найти частицу в некоторой позиции ${displaystyle x}$ реальной линии в определенное время.

Другими словами, если - в определенный момент времени - частица находится в состоянии, представленном квадратично интегрируемой волновой функцией ${displaystyle psi }$ и полагая волновую функцию ${displaystyle psi }$ быть одним из ${displaystyle L^{2}}$-норма равна 1,

${displaystyle |psi |^{2}=int _{-infty }^{+infty }|psi |^{2}dmathrm {x} =1,}$

тогда вероятность найти частицу в диапазоне положений ${displaystyle [a,b]}$ является

${displaystyle pi _{X}(psi )([a,b])=int _{a}^{b}|psi |^{2}dmathrm {x} .}$

Следовательно ожидаемое значение измерения позиции ${displaystyle X}$ для частицы значение

${displaystyle langle Xangle _{psi }=int _{mathbb {R} }mathrm {x} |psi |^{2}dmathrm {x} =int _{mathbb {R} }psi ^{*}mathrm {x} psi dmathrm {x} ,}$

куда:

1. предполагается, что частица находится в состоянии ${displaystyle psi }$;
2. функция ${displaystyle mathrm {x} |psi |^{2}}$ предполагается интегрируемым, т. е. класса ${displaystyle L^{1}}$;
3. мы указываем ${displaystyle mathrm {x} }$ координатная функция позиционной оси.

Соответственно, квантово-механический оператор соответствующая наблюдаемой позиции ${displaystyle X}$ обозначается также

${displaystyle X={hat {mathrm {x} }}}$,

и определил

${displaystyle left({hat {mathrm {x} }}psi ight)(x)=xpsi (x),}$

для каждой волновой функции ${displaystyle psi }$ и за каждую точку ${displaystyle x}$ реальной линии.

В циркумфлекс над функцией ${displaystyle mathrm {x} }$ слева указывает на наличие оператора, так что это уравнение можно прочитать:

результат оператора позиции ${displaystyle X}$ действуя на любую волновую функцию ${displaystyle psi }$ равна координатной функции ${displaystyle mathrm {x} }$ умноженный на волновую функцию ${displaystyle psi }$.

Или проще,

Оператор ${displaystyle X}$ умножает любую волновую функцию ${displaystyle psi }$ координатной функцией ${displaystyle mathrm {x} }$.

Примечание 1. Для большей наглядности мы ввели координатную функцию

${displaystyle mathrm {x} :mathbb {R} o mathbb {C} :xmapsto x,}$

который просто погружает позиционную линию в комплексную плоскость, это не что иное, как каноническое вложение действительной прямой в комплексную плоскость.

Заметка 2. Ожидаемое значение оператора положения по волновой функции (состоянию) ${displaystyle psi }$ можно интерпретировать как скалярное произведение:

${displaystyle langle Xangle _{psi }=int _{mathbb {R} }mathrm {x} |psi |^{2}=int _{mathbb {R} }psi ^{*}(mathrm {x} psi )=langle psi |X(psi )angle ,}$

считая частицу в состоянии ${displaystyle psi in L^{2}}$ и предполагая функцию ${displaystyle mathrm {x} psi }$ быть классным ${displaystyle L^{2}}$ - откуда сразу следует, что функция ${displaystyle mathrm {x} |psi |^{2}}$ Интегрируема, т. Е. Класса ${displaystyle L^{1}}$.

Заметка 3. Строго говоря, наблюдаемая позиция ${displaystyle X}$ можно точечно определить как

${displaystyle left({hat {mathrm {x} }}psi ight)(x)=xpsi (x),}$

для каждой волновой функции ${displaystyle psi }$ и за каждую точку ${displaystyle x}$ действительной линии на волновые функции, которые являются точно определенными точками. В случае классов эквивалентности ${displaystyle psi in L^{2}}$ определение читается прямо следующим образом

${displaystyle {hat {mathrm {x} }}psi =mathrm {x} psi ,}$

для каждой волновой функции ${displaystyle psi in L^{2}}$.

Основные свойства

В приведенном выше определении, как сразу заметит внимательный читатель, не существует какой-либо четкой спецификации области и ко-области для оператора положения (в случае частицы, удерживаемой на линии). В литературе, более или менее явно, мы находим по существу три основных направления решения этой фундаментальной проблемы.

1. Оператор позиции определен на подпространстве ${displaystyle D_{X}}$ из ${displaystyle L^{2}}$ образованные этими классами эквивалентности ${displaystyle psi }$ чей продукт вложением ${displaystyle mathrm {x} }$ живет в космосе ${displaystyle L^{2}}$ также. В этом случае оператор позиции

   ${displaystyle X:D_{X} o L^{2}:psi mapsto mathrm {x} psi }$

   обнаруживает не непрерывную (неограниченную относительно топологии, индуцированной каноническим скалярным произведением ${displaystyle L^{2}}$), без собственных векторов, без собственных значений, следовательно, с пустым собственным спектром (набором его собственных значений).
2. Оператор позиции определен в пространстве ${displaystyle {mathcal {S}}_{1}}$ комплекснозначных функций Шварца (гладкие комплексные функции, определенные на вещественной прямой и быстро убывающие на бесконечности со всеми их производными). Произведение функции Шварца вложением ${displaystyle mathrm {x} }$ всегда живет в космосе ${displaystyle {mathcal {S}}_{1}}$, который является подмножеством ${displaystyle L^{2}}$. В этом случае оператор позиции

   ${displaystyle X:{mathcal {S}}_{1} o {mathcal {S}}_{1}:psi mapsto mathrm {x} psi }$

   показывает непрерывный (относительно канонической топологии ${displaystyle {mathcal {S}}_{1}}$), инъективный, без собственных векторов, без собственных значений, следовательно, с пустым собственным спектром (набором его собственных значений). Он (полностью) самосопряжен относительно скалярного произведения ${displaystyle L^{2}}$ в том смысле, что

   ${displaystyle langle X(psi )|phi angle =langle psi |X(phi )angle ,}$

   для каждого ${displaystyle psi }$ и ${displaystyle phi }$ принадлежащий его домену ${displaystyle {mathcal {S}}_{1}}$.
3. На практике это наиболее широко используемый вариант в литературе по квантовой механике, хотя никогда явно не подчеркивается. Оператор позиции определен в пространстве ${displaystyle {mathcal {S}}_{1}^{prime }}$ комплекснозначных умеренных распределений (топологическое двойственное функциональному пространству Шварца ${displaystyle {mathcal {S}}_{1}}$). Продукт умеренного распределения вложением ${displaystyle mathrm {x} }$ всегда живет в космосе ${displaystyle {mathcal {S}}_{1}^{prime }}$, который содержит ${displaystyle L^{2}}$. В этом случае оператор позиции

   ${displaystyle X:{mathcal {S}}_{1}^{prime } o {mathcal {S}}_{1}^{prime }:psi mapsto mathrm {x} psi }$

   показывает непрерывный (относительно канонической топологии ${displaystyle {mathcal {S}}_{1}^{prime }}$), сюръективный, наделенный полными наборами собственных векторов, действительными собственными значениями и собственным спектром (набором его собственных значений), равным вещественной прямой. Он самосопряжен относительно скалярного произведения ${displaystyle L^{2}}$ в том смысле, что его оператор транспонирования

   ${displaystyle {}^{t}X:{mathcal {S}}_{1} o {mathcal {S}}_{1}:phi mapsto mathrm {x} phi ,}$

   который является оператором положения в функциональном пространстве Шварца, является самосопряженным:

   ${displaystyle leftlangle left.,{}^{t}X(phi )ight|psi ightangle =leftlangle phi |,{}^{t}X(psi )ightangle ,}$

   для каждой (тестовой) функции ${displaystyle phi }$ и ${displaystyle psi }$ принадлежащий пространству ${displaystyle {mathcal {S}}_{1}}$.

Собственные состояния

В собственные функции оператора положения (в пространстве умеренных распределений), представленного в позиционное пространство, находятся Дельта-функции Дирака.

Неофициальное доказательство. Чтобы показать, что возможные собственные векторы оператора позиции обязательно должны быть дельта-распределениями Дирака, предположим, что ${displaystyle psi }$ является собственным состоянием оператора положения с собственным значением ${displaystyle x_{0}}$. Запишем уравнение на собственные значения в координатах положения,

${displaystyle {hat {mathrm {x} }}psi (x)=mathrm {x} psi (x)=x_{0}psi (x)}$

напоминая, что ${displaystyle {hat {mathrm {x} }}}$ просто умножает волновые функции на функцию ${displaystyle x}$, в представлении позиции. Поскольку функция ${displaystyle x}$ переменная, в то время как ${displaystyle x_{0}}$ константа, ${displaystyle psi }$ должен быть равен нулю везде, кроме точки ${displaystyle x_{0}}$. Ясно, что никакая непрерывная функция не удовлетворяет таким свойствам, более того, мы не можем просто определить волновую функцию как комплексное число в этой точке, потому что ее ${displaystyle L^{2}}$-norm будет 0, а не 1. Это говорит о необходимости «функционального объекта». концентрированный в момент ${displaystyle x_{0}}$ и с интегралом, отличным от 0: любое кратное дельте Дирака с центром в ${displaystyle x_{0}.lacksquare }$

Нормированное решение уравнения

${displaystyle mathrm {x} psi =x_{0}psi }$

является

${displaystyle psi (x)=delta (x-x_{0})}$ ,

или лучше

${displaystyle psi =delta _{x_{0}}}$ .

Доказательство. Здесь мы строго доказываем, что

${displaystyle mathrm {x} delta _{x_{0}}=x_{0}delta _{x_{0}}}$.

Действительно, вспоминая, что произведение любой функции на распределение Дирака с центром в точке - это значение функции в этой точке, умноженное на само распределение Дирака, мы немедленно получаем

${displaystyle mathrm {x} delta _{x_{0}}=mathrm {x} (x_{0})delta _{x_{0}}=x_{0}delta _{x_{0}}.lacksquare }$

Значение дельта-волны Дирака. Хотя такие состояния Дирака физически нереализуемы и, строго говоря, они не являются функциями, распределение Дирака с центром в ${displaystyle x_{0}}$ можно рассматривать как «идеальное состояние», положение которого точно известно (любое измерение положения всегда возвращает собственное значение ${displaystyle x_{0}}$). Следовательно, по принцип неопределенности, об импульсе такого состояния ничего не известно.

Три измерения

Обобщение на три измерения несложно.

Волновая функция пространства-времени теперь ${displaystyle psi (mathbf {r} ,t)}$ и математическое ожидание оператора позиции ${displaystyle {hat {mathbf {r} }}}$ в государстве ${displaystyle psi }$ является

${displaystyle leftlangle {hat {mathbf {r} }}ightangle _{psi }=int mathbf {r} |psi |^{2}d^{3}mathbf {r} }$

где интеграл берется по всему пространству. Оператор позиции

${displaystyle mathbf {hat {r}} psi =mathbf {r} psi }$

Импульсное пространство

Обычно в квантовой механике под представлением в импульсном пространстве мы подразумеваем представление состояний и наблюдаемых относительно канонического унитарного импульсного базиса

${displaystyle eta =left(left[(2pi hbar )^{-{frac {1}{2}}}e^{(iota /hbar )(mathrm {x} |p)}ight]ight)_{pin mathbb {R} }}$.

В импульсное пространство, оператор позиции в одном измерении представлен следующим дифференциальным оператором

${displaystyle left({hat {mathrm {x} }}ight)_{P}=ihbar {frac {d}{dmathrm {p} }}=i{frac {d}{dmathrm {k} }}}$,

куда:

• представление оператора положения в импульсном базисе естественным образом определяется формулой ${displaystyle left({hat {mathrm {x} }}ight)_{P}(psi )_{P}=left({hat {mathrm {x} }}psi ight)_{P}}$, для каждой волновой функции (умеренное распределение) ${displaystyle psi }$;
• ${displaystyle mathrm {p} }$ представляет координатную функцию на линии импульса и функцию волнового вектора ${displaystyle mathrm {k} }$ определяется ${displaystyle mathrm {k} =mathrm {p} /hbar }$.

Формализм в ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} ,mathbb {C} )}$

Рассмотрим, например, случай бесспиновый частица движется в одном пространственном измерении (то есть по линии). В пространство состояний для такой частицы содержит L² -Космос (Гильбертово пространство ) ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} ,mathbb {C} )}$ из комплексный и квадратично интегрируемый (с уважением к Мера Лебега ) функции на реальная линия.

Оператор позиции в ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} ,mathbb {C} )}$,

${displaystyle Q:D_{Q} o L^{2}(mathbb {R} ,mathbb {C} ):psi mapsto mathrm {q} psi ,}$

поточечно определяется:^[2][3]

${displaystyle Q(psi )(x)=xpsi (x)=mathrm {q} (x)psi (x),}$

для каждого поточечно определенного квадратичного интегрируемого класса ${displaystyle psi in D_{Q}}$ и для каждого действительного числа x с доменом

${displaystyle D_{Q}=left{psi in L^{2}({mathbb {R} })mid mathrm {q} psi in L^{2}({mathbb {R} })ight},}$

куда ${displaystyle mathrm {q} :mathbb {R} o mathbb {C} }$ координатная функция, отправляющая каждую точку ${displaystyle xin mathbb {R} }$ себе.

Поскольку все непрерывные функции с компактная опора роды D (Q), Q является плотно определенный. Q, будучи простым умножением на Икс, это самосопряженный оператор, таким образом удовлетворяя требованию квантово-механической наблюдаемой.

Сразу из определения можно вывести, что спектр состоит из всего реальная линия и это Q имеет чисто непрерывный спектр, поэтому нет дискретных собственные значения.

Аналогично определяется трехмерный случай. Мы сохраним предположение об одномерности в следующем обсуждении.

Теория измерений в ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} ,mathbb {C} )}$

Как и в любом квантовомеханическом наблюдаемый, чтобы обсудить позицию измерение, нам необходимо вычислить спектральное разрешение оператора положения

${displaystyle X:D_{X} o L^{2}(mathbb {R} ,mathbb {C} ):psi mapsto mathrm {x} psi }$

который

${displaystyle X=int _{mathbb {R} } lambda dmu _{X}(lambda )=int _{mathbb {R} } mathrm {x} mu _{X}=mu _{X}(mathrm {x} ),}$

куда ${displaystyle mu _{X}}$ - так называемая спектральная мера оператора положения.

Поскольку оператор ${displaystyle X}$ это просто оператор умножения на функцию вложения ${displaystyle mathrm {x} }$, его спектральное разрешение простое.

Для Борелевское подмножество ${displaystyle B}$ реальной линии, пусть ${displaystyle chi _{B}}$ обозначить индикаторная функция из ${displaystyle B}$. Мы видим, что проекционно-оценочная мера

${displaystyle mu _{X}:{mathcal {B}}(mathbb {R} ) o mathrm {Pr} ^{perp }left(L^{2}(mathbb {R} ,mathbb {C} )ight)}$

дан кем-то

${displaystyle mu _{X}(B)(psi )=chi _{B}psi ,}$

т.е. ортогональная проекция ${displaystyle mu _{X}(B)}$ - оператор умножения на индикаторную функцию ${displaystyle B}$.

Следовательно, если система готовится в состоянии ${displaystyle psi }$, то вероятность измеренного положения частицы, принадлежащей Набор Бореля ${displaystyle B}$ является

${displaystyle |mu _{X}(B)(psi )|^{2}=|chi _{B}psi |^{2}=int _{B}|psi |^{2} mu =pi _{X}(psi )(B),}$

куда ${displaystyle mu }$ - мера Лебега на прямой.

После любого измерения, направленного на обнаружение частицы в подмножестве B, волновая функция рушится либо

${displaystyle {frac {mu _{X}(B)psi }{|mu _{X}(B)psi |}}={frac {chi _{B}psi }{|chi _{B}psi |}}}$

или же

${displaystyle {frac {(1-chi _{B})psi }{|(1-chi _{B})psi |}}}$,

куда ${displaystyle |cdot |}$ норма гильбертова пространства на ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} ,mathbb {C} )}$.

Смотрите также

• Положение и импульсное пространство
• Оператор моментума
• Оператор трансляции (квантовая механика)

Рекомендации

1. Аткинс, П. (1974). Quanta: Справочник концепций. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-855493-1.
2. МакМахон, Д. (2006). Демистификация квантовой механики (2-е изд.). Мак Гроу Хилл. ISBN  0 07 145546 9.
3. Peleg, Y .; Pnini, R .; Zaarur, E .; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  978-0071623582.