Временная эволюция - Time evolution

Временная эволюция изменение состояния вызвано прохождением время, применимые к системам с внутренним состоянием (также называемые системы с отслеживанием состояния). В этой формулировке время не обязательно должен быть непрерывным параметром, но может быть дискретный или даже конечный. В классическая физика, временная эволюция коллекции твердые тела регулируется принципами классическая механика. В своей наиболее примитивной форме эти принципы выражают взаимосвязь между силами, действующими на тела, и их ускорением, определяемым Законы движения Ньютона. Эти принципы также могут быть выражены более абстрактно: Гамильтонова механика или же Лагранжева механика.

Концепция эволюции во времени может быть применима и к другим системам с отслеживанием состояния. Например, работа Машина Тьюринга можно рассматривать как изменение состояния управления машиной во времени вместе с состоянием ленты (или, возможно, нескольких лент), включая положение головки чтения-записи (или головок) машины. В этом случае время дискретно.

Системы с отслеживанием состояния часто имеют двойное описание в терминах состояний или в терминах наблюдаемый значения. В таких системах эволюция во времени также может относиться к изменению наблюдаемых значений. Это особенно актуально в квантовая механика где Картина Шредингера и Картинка Гейзенберга являются (в основном) эквивалентными описаниями эволюции во времени.

Операторы эволюции во времени

Рассмотрим систему с пространством состояний Икс для которых эволюция детерминированный и обратимый. Для конкретности предположим также, что время является параметром, который колеблется во множестве действительные числа р. Тогда эволюция во времени дается семьей биективный государственные преобразования

${\displaystyle \operatorname {F} _{t,s}:X\rightarrow X\quad \forall t,s\in \mathbb {R} }$

F_{т, s}(Икс) - состояние системы в момент времени т, состояние которого во время s является Икс. Имеет место следующее тождество

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).}$

Чтобы понять, почему это правда, предположим Икс ∈ Икс состояние во времени s. Тогда по определению F, F_{т, s}(Икс) - состояние системы в момент времени т и, следовательно, применяя определение еще раз, F_{ты, т}(F_{т, s}(Икс)) состояние в момент времени ты. Но это тоже F_{ты, s}(Икс).

В некоторых контекстах математической физики отображения F_{т, s} называются «операторами распространения» или просто пропагаторы. В классическая механика пропагаторами являются функции, оперирующие фазовое пространство физической системы. В квантовая механика, пропагаторы обычно унитарные операторы на Гильбертово пространство. Пропагаторы можно выразить как по расписанию экспоненты интегрированного гамильтониана. Асимптотические свойства временной эволюции задаются матрица рассеяния.^[1]

Пространство состояний с выделенным пропагатором также называется динамическая система.

Сказать, что эволюция во времени однородна, означает, что

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{u-t,0}\quad \forall u,t\in \mathbb {R} .}$

В случае однородной системы отображения G_т = F_т,0 образуют однопараметрический группа преобразований Икс, то есть

${\displaystyle \operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.}$

Для необратимых систем операторы распространения F_{т, s} определяются всякий раз, когда т ≥ s и удовлетворяют тождеству распространения

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).\quad u\geq t\geq s.}$

В однородном случае пропагаторы являются экспонентами гамильтониана.

В квантовой механике

в Картина Шредингера, то Гамильтонов оператор генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ состояние системы во время ${\displaystyle t}$, тогда

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

Это Уравнение Шредингера. Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени (${\displaystyle t=0}$), если ${\displaystyle H}$ не зависит от времени, то унитарный оператор эволюции во времени

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

Смотрите также

• Стрела времени
• Симметрия перевода времени
• Гамильтонова система
• Пропагатор
• Оператор временной эволюции
• Гамильтониан (теория управления)

Рекомендации

1. Лекция 1 {{|}} Квантовые запутывания, часть 1 (Стэнфорд) (видео). Стэнфорд, Калифорния: Стэнфорд. 2 октября 2006 г.. Получено 5 сентября, 2020 - через YouTube.

Общие ссылки

• Amann, H .; Arendt, W .; Neubrander, F .; Nicaise, S .; фон Белов, J. (2008), Аманн, Герберт; Арендт, Вольфганг; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк М.; Никез, Серж; фон Белов, Иоахим (ред.), Функциональный анализ и эволюционные уравнения: объем Гюнтера Люмера, Базель: Биркхойзер, Дои:10.1007/978-3-7643-7794-6, ISBN  978-3-7643-7793-9, МИСТЕР  2402015.
• Jerome, J. W .; Полицци, Е. (2014), "Дискретизация зависящих от времени квантовых систем: распространение оператора эволюции в реальном времени", Применимый анализ, 93 (12): 2574–2597, arXiv:1309.3587, Дои:10.1080/00036811.2013.878863, S2CID  17905545.
• Лэнфорд, О. Э. (1975), "Временная эволюция больших классических систем", в Moser J. (ed.), Динамические системы, теория и приложения, Конспект лекций по физике, 38, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 1–111, Дои:10.1007/3-540-07171-7_1, ISBN  978-3-540-37505-0.
• Lanford, O.E .; Лебовиц, Дж. Л. (1975), "Временная эволюция и эргодические свойства гармонических систем", в Мозер Дж. (Ред.), Динамические системы, теория и приложения, Конспект лекций по физике, 38, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 144–177, Дои:10.1007/3-540-07171-7_3, ISBN  978-3-540-37505-0.

• Люмер, Гюнтер (1994), «Уравнения эволюции. Решения нерегулярных задач эволюции с помощью обобщенных решений и обобщенных начальных значений. Приложения к моделям периодических скачков», Annales Universitatis Saraviensis, Серия Mathematicae, 5 (1), МИСТЕР  1286099.