Амплитуда вероятности - Probability amplitude

А волновая функция для одного электрон на 5д атомная орбиталь из атом водорода. На твердом теле показаны места, где электрон плотность вероятности выше определенного значения (здесь 0,02 нм⁻³): рассчитывается по амплитуде вероятности. В оттенок на цветной поверхности показан сложная фаза волновой функции.

В квантовая механика, а амплитуда вероятности это комплексное число используется при описании поведения систем. В модуль в квадрате этого количества представляет собой вероятность или же плотность вероятности.

Амплитуды вероятности обеспечивают связь между волновая функция (или, в более общем смысле, квантовое состояние вектор) системы и результаты наблюдений за этой системой, связь, впервые предложенная Макс Борн. Интерпретация значений волновой функции как амплитуды вероятности является столпом Копенгагенская интерпретация квантовой механики. Фактически, свойства пространства волновых функций использовались для физических предсказаний (например, выбросы от атомов находясь на определенных дискретных энергиях) до того, как была предложена какая-либо физическая интерпретация конкретной функции. Родился был награжден половиной 1954 г. Нобелевская премия по физике для этого понимания, и рассчитанная таким образом вероятность иногда называется «вероятностью рождения». Эти вероятностные концепции, а именно плотность вероятности и квантовые измерения, в то время яростно оспаривались физиками, работавшими над теорией, такими как Шредингер и Эйнштейн. Это источник загадочных последствий и философских трудностей в интерпретации квантовой механики - темы, которые продолжают обсуждаться и сегодня.

Обзор

Физический

Пренебрегая некоторыми техническими сложностями, проблема квантовое измерение есть поведение квантового состояния, для которого значение наблюдаемый $Q$ быть измеренным неуверенный. Такое состояние считается когерентная суперпозиция наблюдаемых собственные состояния, состояния, на которых значение наблюдаемого определяется однозначно для различных возможных значений наблюдаемого.

Когда измерение $Q$ сделано, система (под Копенгагенская интерпретация ) прыгает в одно из собственных состояний, возвращая собственное значение, принадлежащее этому собственному состоянию. Систему всегда можно описать линейная комбинация или же суперпозиция этих собственных состояний с неравными "веса". Интуитивно ясно, что собственные состояния с более тяжелыми «весами» с большей «вероятностью» будут созданы. В самом деле, в какое из вышеперечисленных собственных состояний переходит система, задается вероятностным законом: вероятность перехода системы в это состояние пропорциональна абсолютному значению квадрата соответствующего числового веса. Эти числовые веса называются амплитудами вероятностей, и это соотношение, используемое для вычисления вероятностей из заданных чистых квантовых состояний (таких как волновые функции), называется Родившееся правило.

Ясно, что сумма вероятностей, равная сумме абсолютных квадратов амплитуд вероятностей, должна равняться единице. нормализация (см. ниже) требование.

Если известно, что система находится в некотором собственном состоянии $Q$ (например, после наблюдения соответствующего собственного значения $Q$ ) вероятность наблюдения этого собственного значения становится равной 1 (определенной) для всех последующих измерений $Q$ (при условии, что между измерениями не действуют другие важные силы). Другими словами, амплитуды вероятности равны нулю для всех остальных собственных состояний и останутся равными нулю для будущих измерений. Если набор собственных состояний, к которым система может перейти при измерении $Q$ такой же, как набор собственных состояний для измерения $р$ , то последующие измерения либо $Q$ или же $р$ всегда дают одни и те же значения с вероятностью 1, независимо от порядка, в котором они применяются. Ни одно из измерений не влияет на амплитуды вероятности, и говорят, что наблюдаемые ездить.

Напротив, если собственные состояния $Q$ и $р$ различны, то измерение $р$ производит переход в состояние, которое не является собственным состоянием $Q$ . Следовательно, если известно, что система находится в некотором собственном состоянии $Q$ (все амплитуды вероятности равны нулю, кроме одного собственного состояния), то когда $р$ наблюдается изменение амплитуд вероятности. Второе, последующее наблюдение $Q$ больше не обязательно дает собственное значение, соответствующее начальному состоянию. Другими словами, амплитуды вероятностей для второго измерения $Q$ зависит от того, происходит ли это до или после измерения $р$ , и две наблюдаемые не ездить на работу.

Математическая

В формальной обстановке любой система в квантовой механике описывается состоянием, которое является вектор $| Ψ⟩$ , проживающий в абстрактном сложный векторное пространство, называемое Гильбертово пространство. Он может быть бесконечным или конечным.размерный. Обычное представление этого гильбертова пространства - специальное функциональное пространство, называется $L 2 (Икс)$ , на определенном наборе $Икс$ , то есть либо конфигурационное пространство или дискретный набор.

Для измеримая функция ${ displaystyle psi}$ , условие ${ displaystyle psi in L ^ {2} (X)}$ указывает, что должен применяться конечно ограниченный интеграл:

{ Displaystyle int limits _ {X} | psi (x) | ^ {2} , mathrm {d} mu (x) < infty;}

это интеграл определяет квадрат норма из $ψ$ . Если эта норма равна 1, тогда

{ displaystyle int limits _ {X} | psi (x) | ^ {2} , mathrm {d} mu (x) = 1.}

Фактически это означает, что любой элемент $L 2 (Икс)$ нормы 1 определяет вероятностная мера на $Икс$ и неотрицательный настоящий выражение $| ψ (Икс) | 2$ определяет ее Производная Радона – Никодима по стандартной мере $μ$ .

Если стандартная мера $μ$ на $Икс$ является неатомный, такой как Мера Лебега на реальная линия, или на трехмерное пространство, или аналогичные меры по коллекторы, затем функция с действительным знаком $| ψ (Икс) | 2$ называется плотность вероятности; смотрите подробности ниже. Если стандартная мера на $Икс$ состоит из атомы только (мы будем называть такие множества $Икс$ дискретный), и определяет меру любого $Икс \in Икс$ равно 1,^[1] тогда интеграл по $Икс$ просто сумма^[2] и $| ψ (Икс) | 2$ определяет значение вероятностной меры на множестве ${Икс$ }, другими словами, вероятность что квантовая система находится в состоянии $Икс$ . Как амплитуды и вектор связаны, можно понять с помощью стандартная основа из $L 2 (Икс)$ , элементы которого будем обозначать $| Икс ⟩$ или же $⟨ Икс |$ (видеть обозначение бюстгальтера для обозначения угловых скобок). В этой основе

{ Displaystyle psi (x) = langle x | psi rangle}

задает координатное представление абстрактного вектора $| Ψ⟩$ .

Математически многие $L 2$ представления гильбертова пространства системы могут существовать. Мы будем рассматривать не произвольную, а удобный один для наблюдаемого $Q$ обсуждаемый. Удобное конфигурационное пространство $Икс$ такова, что каждая точка $Икс$ дает некое уникальное значение $Q$ . Для дискретных $Икс$ это означает, что все элементы стандартного базиса собственные векторы из $Q$ . Другими словами, $Q$ должен быть диагональ в этой основе. потом ${ Displaystyle psi (х)}$ "амплитуда вероятности" для собственного состояния $⟨ Икс |$ . Если это соответствует не-выродиться собственное значение $Q$ , тогда ${ displaystyle | psi (x) | ^ {2}}$ дает вероятность соответствующего значения $Q$ для начального состояния $| Ψ⟩$ .

Для недискретных $Икс$ не может быть таких состояний как $⟨ Икс |$ в $L 2 (Икс)$ , но разложение в некотором смысле возможно; видеть спектральная теория и Спектральная теорема для точного объяснения.

Волновые функции и вероятности

Если конфигурационное пространство $Икс$ непрерывно (что-то вроде реальная линия или евклидово пространство, см. над ), то действительных квантовых состояний, соответствующих конкретным $Икс \in Икс$ , а вероятность того, что система находится «в состоянии $Икс$ " будет всегда быть нулевым. Архетипическим примером этого является $L 2 (р)$ пространство, построенное с помощью одномерного Мера Лебега; он используется для изучения движения в одно измерение. Это представление бесконечномерного гильбертова пространства соответствует спектральному разложению оператор координат: $⟨ Икс | Q | Ψ⟩ = Икс \cdot ⟨ Икс | Ψ⟩, Икс \in р$ в этом примере. Хотя нет таких векторов, как $⟨ Икс |$ , собственно говоря, выражение $⟨ Икс | Ψ⟩$ можно сделать осмысленным, например, с помощью спектральной теории.

Как правило, это тот случай, когда движение частицы описывается в позиционном пространстве, где соответствующая функция амплитуды вероятности $ψ$ это волновая функция.

Если функция $ψ \in L 2 (Икс), ‖ ψ ‖ = 1$ представляет квантовое состояние вектор $| Ψ⟩$ , то действительное выражение $| ψ (Икс) | 2$ , это зависит от $Икс$ , образует функция плотности вероятности данного государства. Разница в функция плотности от простой числовой вероятности означает, что нужно интегрировать эту функцию квадрата модуля по некоторым (небольшим) областям в $Икс$ для получения значений вероятности - как было сказано выше, система не может находиться в каком-либо состоянии $Икс$ с положительной вероятностью. Это дает как амплитуде, так и функции плотности a физическое измерение, в отличие от безразмерной вероятности. Например, для 3-х мерный волновая функция, амплитуда имеет размерность [L^−3/2], где L - длина.

Обратите внимание, что как для непрерывных, так и для бесконечных дискретных случаев не каждый измеримый, или даже гладкая функция (т.е. возможная волновая функция) определяет элемент $L 2 (Икс)$ ; видеть Нормализация, ниже.

Дискретные амплитуды

Когда набор $Икс$ дискретна (см. над ), векторы $| Ψ⟩$ представлен гильбертовым пространством $L 2 (Икс)$ просто вектор-столбец состоит из «амплитуд» и индексированный к $Икс$ Иногда их называют волновыми функциями дискретной переменной. $Икс \in Икс$ . Дискретные динамические переменные используются в таких задачах, как частица в идеализированной отражающей коробке и квантовый гармонический осциллятор. Компоненты вектора будем обозначать $ψ (Икс)$ для единообразия с предыдущим случаем; может быть как конечное, так и бесконечное число компонент в зависимости от гильбертова пространства. В этом случае, если вектор $| Ψ⟩$ имеет норму 1, то $| ψ (Икс) | 2$ это просто вероятность того, что квантовая система находится в состоянии $Икс$ . Он определяет дискретное распределение вероятностей на $Икс$ .

Дискретную амплитуду вероятности можно рассматривать как основная частота^{[нужна цитата ]} в частотной области вероятности (сферические гармоники ) в целях упрощения М-теория расчеты трансформации.

Примеры

Возьмем простейший содержательный пример дискретного случая: квантовая система, которая может находиться в два возможных состояния: например, поляризация из фотон. Когда поляризация измеряется, это может быть горизонтальное состояние. ${ displaystyle | H rangle}$ или вертикальное состояние ${ displaystyle | V rangle}$ . Пока его поляризация не будет измерена, фотон может находиться в суперпозиция обоих этих состояний, поэтому его состояние ${ displaystyle | psi rangle}$ можно было бы записать как:

{ displaystyle | psi rangle = alpha | H rangle + beta | V rangle}

Амплитуды вероятности ${ displaystyle | psi rangle}$ для государств ${ displaystyle | H rangle}$ и ${ displaystyle | V rangle}$ находятся ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ соответственно. Когда измеряется поляризация фотона, результирующее состояние бывает либо горизонтальным, либо вертикальным. Но в случайном эксперименте вероятность горизонтальной поляризации равна ${ displaystyle alpha ^ {2}}$ , а вероятность вертикальной поляризации равна ${ displaystyle beta ^ {2}}$ .

Поэтому, например, фотон в состоянии ${ displaystyle | psi rangle = { sqrt { frac {1} {3}}} | H rangle -i { sqrt { frac {2} {3}}} | V rangle}$ будет иметь вероятность ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ выходить горизонтально поляризованным, и вероятность ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ выходить вертикально поляризованным, когда ансамбль замеров сделаны. Однако порядок таких результатов совершенно случайный.

Нормализация

В приведенном выше примере измерение должно давать либо $| ЧАС ⟩$ или же $| V ⟩$ , поэтому общая вероятность измерения $| ЧАС ⟩$ или же $| V ⟩$ должно быть 1. Это приводит к ограничению, которое $α 2 + β 2 = 1$ ; в более общем смысле сумма квадратов модулей амплитуд вероятностей всех возможных состояний равна одному. Если понимать «все возможные состояния» как ортонормированный базис, что имеет смысл в дискретном случае, то это условие совпадает с объясненным условием норма-1. над.

Всегда можно разделить любой ненулевой элемент гильбертова пространства на его норму и получить нормализованный вектор состояния. Не всякая волновая функция принадлежит гильбертову пространству $L 2 (Икс)$ , хотя. Волновые функции, удовлетворяющие этому ограничению, называются нормализуемый.

В Волновое уравнение Шредингера, описывающий состояния квантовых частиц, имеет решения, которые описывают систему и точно определяют, как состояние меняется со временем. Предположим, что волновая функция $ψ 0 (Икс, т)$ является решением волнового уравнения, дающим описание частицы (положение $Икс$ , На время $т$ ). Если волновая функция квадратично интегрируемый, т.е.

{ displaystyle int _ { mathbf {R} ^ {n}} | psi _ {0} ( mathbf {x}, t_ {0}) | ^ {2} , mathrm {d mathbf { x}} = a ^ {2} < infty}

для некоторых $т 0$ , тогда $ψ = ψ 0 / а$ называется нормализованная волновая функция. По стандарту Копенгагенская интерпретация, нормализованная волновая функция дает амплитуды вероятности для положения частицы. Следовательно, в данный момент $т 0$ , $ρ (Икс) = | ψ (Икс, т 0) | 2$ это функция плотности вероятности положения частицы. Таким образом, вероятность того, что частица находится в объеме $V$ в $т 0$ является

{ Displaystyle mathbf {P} (V) = int _ {V} rho ( mathbf {x}) , mathrm {d mathbf {x}} = int _ {V} | psi ( mathbf {x}, t_ {0}) | ^ {2} , mathrm {d mathbf {x}}.}

Обратите внимание, что если какое-либо решение $ψ 0$ к волновому уравнению нормируется в какой-то момент $т 0$ , то $ψ$ определенное выше всегда нормализовано, так что

{ displaystyle rho _ {t} ( mathbf {x}) = left | psi ( mathbf {x}, t) right | ^ {2} = left | { frac { psi _ { 0} ( mathbf {x}, t)} {a}} right | ^ {2}}

всегда является функцией плотности вероятности для всех $т$ . Это ключ к пониманию важности этой интерпретации, потому что для данной постоянной частицы масса, исходный $ψ (Икс, 0)$ и потенциал, то Уравнение Шредингера полностью определяет последующую волновую функцию, и вышеизложенное затем дает вероятности местоположения частицы во все последующие моменты времени.

Законы расчета вероятностей событий

А. При условии естественного развития системы (что под Копенгагенская интерпретация означает, что система не подлежит измерению) применяются следующие законы:

Вероятность (или плотность вероятности в пространстве местоположения / импульса) события - это квадрат абсолютного значения амплитуды вероятности для события: ${ Displaystyle P = | phi | ^ {2}}$ .
Если есть несколько взаимоисключающий, неразличимые альтернативы, в которых может произойти событие (или, в реалистичных интерпретациях волновой функции, несколько волновых функций существуют для пространственно-временного события), амплитуды вероятностей всех этих возможностей складываются, чтобы дать амплитуду вероятности для этого события: ${ displaystyle phi = sum _ {i} phi _ {i}; P = | phi | ^ {2} = left | sum _ {i} phi _ {i} right | ^ { 2}}$ .
Если для какой-либо альтернативы существует последовательность суб-событий, то амплитуда вероятности для этой альтернативы является произведением амплитуды вероятности для каждого суб-события: ${ displaystyle phi _ {APB} = phi _ {AP} phi _ {PB}}$ .
Незапутанные состояния составной квантовой системы имеют амплитуды, равные произведению амплитуд состояний составляющих систем: ${ displaystyle phi _ { rm {system}} ( alpha, beta, gamma, delta, ldots) = phi _ {1} ( alpha) phi _ {2} ( beta) phi _ {3} ( gamma) phi _ {4} ( delta) ldots}$ . Увидеть # Композитные системы раздел для получения дополнительной информации.

Закон 2 аналогичен закону закон сложения вероятностей, только вероятность заменяется амплитудой вероятности. Точно так же Закон 4 аналогичен закону умножения вероятностей для независимых событий; обратите внимание, что это не для запутанные состояния.

B. Когда проводится эксперимент для выбора между несколькими альтернативами, те же законы выполняются для соответствующих вероятностей: ${ Displaystyle Р = сумма _ {я} | фи _ {я} | ^ {2}}$ .

При условии, что известны амплитуды вероятностей событий, связанных с экспериментом, приведенные выше законы обеспечивают полное описание квантовых систем с точки зрения вероятностей.

Вышеуказанные законы уступают место формулировка интеграла по путям квантовой механики, в формализме, разработанном знаменитым физиком-теоретиком Ричард Фейнман. Такой подход к квантовой механике образует ступеньку к подходу интеграла по путям к квантовая теория поля.

В контексте эксперимента с двумя щелями

Амплитуды вероятностей имеют особое значение, потому что они действуют в квантовой механике как эквивалент обычных вероятностей со многими аналогичными законами, как описано выше. Например, в классическом двухщелевой эксперимент, электроны выстреливаются случайным образом в две щели, и ставится под сомнение распределение вероятности обнаружения электронов во всех частях большого экрана, помещенного за щелями. Интуитивно понятный ответ: $п (через любую щель) = п (через первую щель) + п (через вторую щель)$ , куда $п (мероприятие)$ вероятность этого события. Это очевидно, если предположить, что электрон проходит через любую щель. Когда у природы нет способа различить, через какую щель прошел электрон (гораздо более жесткое условие, чем просто «это не наблюдается»), наблюдаемое распределение вероятностей на экране отражает картина интерференции что характерно для световых волн. Если предположить, что вышеуказанный закон верен, то эту закономерность невозможно объяснить. Нельзя сказать, что частицы проходят через какую-либо щель, и простое объяснение не работает. Однако правильное объяснение заключается в связи амплитуд вероятности с каждым событием. Это пример случая А, описанного в предыдущей статье. Комплексные амплитуды, которые представляют электрон, проходящий через каждую щель ( $ψ первый$ и $ψ второй$ ) следуют закону именно ожидаемой формы: $ψ общий = ψ первый + ψ второй$ . Это принцип квантовая суперпозиция. Вероятность, которая является модуль в квадрате амплитуды вероятности следует интерференционной картине при условии, что амплитуды комплексные:

{ displaystyle P = | psi _ { rm {first}} + psi _ { rm {second}} | ^ {2} = | psi _ { rm {first}} | ^ {2} + | psi _ { rm {second}} | ^ {2} +2 | psi _ { rm {first}} || psi _ { rm {second}} | cos ( varphi _ {1 } - varphi _ {2}).}

Здесь, ${ displaystyle varphi _ {1}}$ и ${ displaystyle varphi _ {2}}$ являются аргументы из $ψ первый$ и $ψ второй$ соответственно. Чисто реальная формулировка имеет слишком мало измерений для описания состояния системы с учетом суперпозиции. То есть без аргументов амплитуд мы не можем описать фазозависимую интерференцию. Решающий термин ${ displaystyle 2 | psi _ { rm {first}} || psi _ { rm {second}} | cos ( varphi _ {1} - varphi _ {2})}$ называется «интерференционным членом», и его бы не было, если бы мы сложили вероятности.

Однако можно выбрать эксперимент, в котором экспериментатор наблюдает, через какую щель проходит каждый электрон. Тогда применяется случай B из вышеприведенной статьи, и интерференционная картина на экране не наблюдается.

Можно пойти дальше в разработке эксперимента, в котором экспериментатор избавляется от этой информации «какой путь» с помощью "квантовый ластик". Тогда, согласно Копенгагенская интерпретация, снова применяется случай A, и картина интерференции восстанавливается.^[3]

Сохранение вероятностей и уравнение неразрывности

Интуитивно понятно, поскольку нормализованная волновая функция остается нормализованной при эволюции в соответствии с волновым уравнением, будет существовать связь между изменением плотности вероятности положения частицы и изменением амплитуды в этих положениях.

Определить ток вероятности (или флюс) $j$ в качестве

{ displaystyle mathbf {j} = { hbar over m} {1 over {2i}} left ( psi ^ {*} nabla psi - psi nabla psi ^ {*} right ) = { hbar over m} operatorname {Im} left ( psi ^ {*} nabla psi right),}

измеряется в единицах (вероятность) / (площадь × время).

Тогда ток удовлетворяет уравнению

{ displaystyle nabla cdot mathbf {j} + { partial over partial t} | psi | ^ {2} = 0.}

Плотность вероятности равна ${ displaystyle rho = | psi | ^ {2}}$ , это уравнение и есть уравнение неразрывности, возникающие во многих ситуациях в физике, где нам нужно описать локальное сохранение величин. Лучший пример - классическая электродинамика, где $j$ соответствует плотности тока, соответствующей электрическому заряду, а плотность - это плотность заряда. Соответствующее уравнение неразрывности описывает локальную сохранение сборов.^{[требуется разъяснение ]}

Композитные системы

Для двух квантовых систем с пространствами $L 2 (Икс 1)$ и $L 2 (Икс 2)$ и данные состояния $| Ψ 1 ⟩$ и $| Ψ 2 ⟩$ соответственно их комбинированное состояние $| Ψ 1 ⟩ \otimes | Ψ 2 ⟩$ можно выразить как $ψ 1 (Икс 1) ψ 2 (Икс 2)$ функция на $Икс 1 \times Икс 2$ , что даетпроизведение соответствующих вероятностных мер. Другими словами, амплитуды не-запутанный составное состояние товары исходных амплитуд, и соответствующие наблюдаемые на системах 1 и 2 ведут себя на этих состояниях как независимые случайные величины. Это усиливает вероятностную интерпретацию изложенного над.

Амплитуды в операторах

Описанная выше концепция амплитуд актуальна для векторов квантовых состояний. Он также используется в контексте унитарные операторы которые важны в теория рассеяния, особенно в виде S-матрицы. В то время как модули векторных компонент в квадрате для данного вектора дают фиксированное распределение вероятностей, модули матричные элементы в квадрате интерпретируются как вероятности перехода как в случайном процессе. Как конечномерный единичный вектор задает конечное распределение вероятностей, конечномерное унитарная матрица задает вероятности перехода между конечным числом состояний. Обратите внимание, что столбцы унитарной матрицы, как векторы, имеют норму 1.

«Переходное» толкование может применяться к $L 2$ s также на недискретных пространствах.

Смотрите также

Сноски

^ Случай атомной меры на $Икс$ с $μ ({Икс}) \neq 1$ не интересно, потому что такие $Икс$ который $μ ({Икс}) = 0$ не используются $L 2 (Икс)$ и может быть отброшен, тогда как для $Икс$ положительных мер ценность $μ ({Икс})$ фактически вопрос изменения масштаба $ψ (Икс)$ . Из-за этого тривиального исправления этот случай практически никогда не рассматривался физиками.
^ Если $Икс$ является счетный, то интеграл - это сумма бесконечная серия.
^ Недавний эксперимент 2013 года дает представление о правильной физической интерпретации таких явлений. Информация действительно может быть получена, но тогда электрон как бы прошел все возможные пути одновременно. (Определенный ансамбль реалистичные интерпретации волновой функции могут предполагать такое сосуществование во всех точках орбитали.) Ср. Schmidt, L. Ph. H .; и другие. (2013). "Передача импульса к свободно плавающей двойной щели: реализация мысленного эксперимента из дебатов Эйнштейна-Бора" (PDF). Письма с физическими проверками. 111 (10): 103201. Bibcode:2013PhRvL.111j3201S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.111.103201. PMID 25166663. S2CID 2725093.