Квантовая вероятность - Quantum probability

Квантовая вероятность был разработан в 1980-х годах как некоммутативный аналог Колмогоровский теория случайные процессы.[1][2][3][4][5] Одна из его целей - прояснить математические основы квантовая теория и его статистическая интерпретация.[6][7]

Значительное недавнее приложение к физика является динамическим решением проблема квантового измерения,[8][9] давая конструктивные модели процессов квантового наблюдения, которые разрешают многие известные парадоксы из квантовая механика.

Некоторые недавние достижения основаны на квантовая фильтрация[10] и теория управления с обратной связью как приложения квантовое стохастическое исчисление.

Ортодоксальная квантовая механика

Православный квантовая механика имеет два, казалось бы, противоречивых математических описания:

  1. детерминированный унитарный эволюция во времени (регулируется Уравнение Шредингера ) и
  2. стохастический (случайный) коллапс волновой функции.

Большинство физиков не озабочены этой очевидной проблемой. Физическая интуиция обычно дает ответ, и только в нефизических системах (например, Кот Шредингера, изолированный атом) парадоксы кажутся.

Ортодоксальную квантовую механику можно переформулировать в квантово-вероятностной структуре, где квантовая фильтрация теория (см. Bouten et al.[11][12] для введения или Белавкин, 1970-е[13][14][15]) дает естественное описание процесса измерения. Эта новая структура инкапсулирует стандартные постулаты квантовой механики и, следовательно, всю науку, участвующую в ортодоксальных постулатах.

Мотивация

В классическом теория вероятности, информация резюмируется сигма-алгебра F событий в классическом вероятностное пространство (Ω, F,п). Например, F может быть σ-алгеброй σ (Икс) порожденная случайная переменная Икс, который содержит всю информацию о значениях, принимаемых Икс. Мы хотим описать квантовую информацию аналогичными алгебраическими терминами, чтобы уловить некоммутативные особенности и информацию, доступную в эксперименте. Подходящая алгебраическая структура для наблюдаемых или, в более общем смысле, операторов - это *-алгебра. A (unital) * - алгебра - это комплексное векторное пространство А операторов в гильбертовом пространстве ЧАС который

  • содержит личность я и
  • замкнута относительно композиции (умножения) и присоединена (инволюция) *): а ∈ А подразумевает а* ∈ А.

Штат п на А является линейным функционалом п : А → C (куда C это область сложные числа ) такое, что 0 ≤ п(а* а) для всех а ∈ А (позитив) и п(я) = 1 (нормализация). Проекция - это элемент п ∈ А такой, что п2 = п = п*.

Математическое определение

Основное определение квантовой вероятности - это квантовое вероятностное пространство, иногда также называемое алгебраическим или некоммутативным вероятностным пространством.

Определение: квантовое вероятностное пространство.

Квантовое вероятностное пространство - это пара (А, п), куда А это *-алгебра и п это состояние.

Это определение является обобщением определения вероятностного пространства в колмогоровской теории вероятностей в том смысле, что каждое (классическое) вероятностное пространство порождает квантовое вероятностное пространство, если А выбрана в качестве * -алгебры почти всюду ограниченных комплекснозначных измеримых функций[нужна цитата ].

Идемпотенты п ∈ А события в А, и п(п) дает вероятность события п.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Л. Аккарди; А. Фриджерио и Дж. Т. Льюис (1982). «Квантовые случайные процессы» (PDF). Publ. Res. Inst. Математика. Наука. 18 (1): 97–133. Дои:10.2977 / prims / 1195184017.
  2. ^ Р.Л. Хадсон, К. Партхасарати; Партасарати (1984). «Формула квантовой Ито и стохастические эволюции». Comm. Математика. Phys. 93 (3): 301–323. Bibcode:1984CMaPh..93..301H. Дои:10.1007 / BF01258530.
  3. ^ K.R. Партасарати (1992). Введение в квантовое стохастическое исчисление. Монографии по математике. 85. Базель: Birkhäuser Verlag.
  4. ^ Д. Войкулеску; К. Дикема; А. Ница (1992). Бесплатные случайные величины. Некоммутативный вероятностный подход к свободным произведениям с приложениями к случайным матрицам, операторным алгебрам и гармоническому анализу на свободных группах. Серия монографий CRM. 1. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
  5. ^ П.-А. Мейер (1993). Квантовая вероятность для вероятностников. Конспект лекций по математике. 1538.
  6. ^ Джон фон Нейман (1929). "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren". Mathematische Annalen. 102: 49–131. Дои:10.1007 / BF01782338.
  7. ^ Джон фон Нейман (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 38. Берлин: Springer.
  8. ^ Белавкин В.П. (1995). «Динамическая теория квантовых измерений и спонтанной локализации». Российский журнал математической физики. 3 (1): 3–24. arXiv:math-ph / 0512069. Bibcode:2005math.ph..12069B.
  9. ^ Белавкин В.П. (2000). «Динамическое решение проблемы квантовых измерений, причинности и парадоксов квантового века». Открытые системы и информационная динамика. 7 (2): 101–129. arXiv:Quant-ph / 0512187. Дои:10.1023 / А: 1009663822827.
  10. ^ Белавкин В.П. (1999). «Измерение, фильтрация и управление в квантовых открытых динамических системах». Доклады по математической физике. 43 (3): A405 – A425. arXiv:Quant-ph / 0208108. Bibcode:1999RpMP ... 43A.405B. CiteSeerX  10.1.1.252.701. Дои:10.1016 / S0034-4877 (00) 86386-7.
  11. ^ Бутен, Люк; Ван Гендель, Рамон; Джеймс, Мэтью Р. (2007). «Введение в квантовую фильтрацию». SIAM Journal по управлению и оптимизации. 46 (6): 2199–2241. arXiv:математика / 0601741. Дои:10.1137/060651239. ISSN  0363-0129.
  12. ^ Люк Бутен; Рамон ван Гендель; Мэтью Р. Джеймс (2009). «Дискретное приглашение к квантовой фильтрации и управлению с обратной связью». SIAM Обзор. 51 (2): 239–316. arXiv:математика / 0606118. Bibcode:2009SIAMR..51..239B. Дои:10.1137/060671504.
  13. ^ Белавкин В.П. (1972–1974). «Оптимальная линейная рандомизированная фильтрация сигналов квантовых бозонов». Проблемы теории управления и информации. 3 (1): 47–62.
  14. ^ Белавкин В.П. (1975). «Оптимальная множественная квантово-статистическая проверка гипотез». Стохастик. 1 (1–4): 315–345. Дои:10.1080/17442507508833114.
  15. ^ Белавкин В.П. (1978). «Оптимальная квантовая фильтрация маковских сигналов». Проблемы теории управления и информации. 7 (5): 345–360.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка