Уравнение Паули - Pauli equation

В квантовая механика, то Уравнение Паули или же Уравнение Шредингера – Паули формулировка Уравнение Шредингера за спин-½ частиц, который учитывает взаимодействие частиц вращение с внешним электромагнитное поле. Это не-релятивистский предел Уравнение Дирака и может использоваться там, где частицы движутся со скоростью намного меньшей, чем скорость света, так что релятивистскими эффектами можно пренебречь. Его сформулировал Вольфганг Паули в 1927 г.^[1]

Уравнение

Для частицы массы ${displaystyle m}$ и электрический заряд ${displaystyle q}$, в электромагнитное поле описанный магнитный векторный потенциал ${displaystyle mathbf {A} }$ и электрический скалярный потенциал ${displaystyle phi }$, уравнение Паули гласит:

Уравнение Паули (Общее)

${displaystyle left[{frac {1}{2m}}({oldsymbol {sigma }}cdot (mathbf {p} -qmathbf {A} ))^{2}+qphi ight]|psi angle =ihbar {frac {partial }{partial t}}|psi angle }$

Здесь ${displaystyle {oldsymbol {sigma }}=(sigma _{x},sigma _{y},sigma _{z})}$ являются Операторы Паули собраны в вектор для удобства, и ${displaystyle mathbf {p} =-ihbar abla }$ это оператор импульса. Состояние системы, ${displaystyle |psi angle }$ (написано в Обозначение Дирака ), можно рассматривать как двухкомпонентную спинор волновая функция, или вектор столбца (после выбора основы):

${displaystyle |psi angle =psi _{+}|!uparrow angle +psi _{-}|!downarrow angle ,{stackrel {cdot }{=}},{egin{bmatrix}psi _{+}psi _{-}end{bmatrix}}}$.

В Гамильтонов оператор является матрицей 2 × 2 из-за Операторы Паули.

${displaystyle {hat {H}}={frac {1}{2m}}left[{oldsymbol {sigma }}cdot (mathbf {p} -qmathbf {A} )ight]^{2}+qphi }$

Замена в Уравнение Шредингера дает уравнение Паули. Этот гамильтониан похож на классический гамильтониан для заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. Видеть Сила Лоренца для подробностей этого классического случая. В кинетическая энергия термин для свободной частицы в отсутствие электромагнитного поля просто ${displaystyle {frac {mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$ куда ${displaystyle mathbf {p} }$ это кинетический импульс, а в присутствии электромагнитного поля - минимальное сцепление ${displaystyle mathbf {Pi } =mathbf {p} -qmathbf {A} }$, где сейчас ${displaystyle mathbf {Pi } }$ это кинетический импульс и ${displaystyle mathbf {p} }$ это канонический импульс.

Операторы Паули могут быть удалены из члена кинетической энергии с помощью Векторная идентичность Паули:

${displaystyle ({oldsymbol {sigma }}cdot mathbf {a} )({oldsymbol {sigma }}cdot mathbf {b} )=mathbf {a} cdot mathbf {b} +i{oldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {a} imes mathbf {b} ight)}$

Отметим, что в отличие от вектора дифференциальный оператор ${displaystyle mathbf {p} -qmathbf {A} =-ihbar abla -qmathbf {A} }$ имеет ненулевое перекрестное произведение с самим собой. Это можно увидеть, рассматривая перекрестное произведение, примененное к скалярной функции ${displaystyle psi }$:

${displaystyle left[left(mathbf {p} -qmathbf {A} ight) imes left(mathbf {p} -qmathbf {A} ight)ight]psi =-qleft[mathbf {p} imes left(mathbf {A} psi ight)+mathbf {A} imes left(mathbf {p} psi ight)ight]=iqhbar left[abla imes left(mathbf {A} psi ight)+mathbf {A} imes left(abla psi ight)ight]=iqhbar left[psi left(abla imes mathbf {A} ight)-mathbf {A} imes left(abla psi ight)+mathbf {A} imes left(abla psi ight)ight]=iqhbar mathbf {B} psi }$

куда ${displaystyle mathbf {B} =abla imes mathbf {A} }$ - магнитное поле.

Для полного уравнения Паули тогда получаем^[2]

Уравнение Паули (стандартная форма)

${displaystyle {hat {H}}|psi angle =left[{frac {1}{2m}}left[left(mathbf {p} -qmathbf {A} ight)^{2}-qhbar {oldsymbol {sigma }}cdot mathbf {B} ight]+qphi ight]|psi angle =ihbar {frac {partial }{partial t}}|psi angle }$

Слабые магнитные поля

В случае постоянного и однородного магнитного поля можно разложить ${ extstyle (mathbf {p} -qmathbf {A} )^{2}}$ используя симметричную калибровку ${ extstyle mathbf {A} ={frac {1}{2}}mathbf {B} imes mathbf {r} }$, куда ${ extstyle mathbf {r} }$ это оператор позиции. Мы получаем

${displaystyle (mathbf {p} -qmathbf {A} )^{2}=|mathbf {p} |^{2}-q(mathbf {r} imes mathbf {p} )cdot mathbf {B} +{frac {1}{4}}q^{2}left(|mathbf {B} |^{2}|mathbf {r} |^{2}-|mathbf {B} cdot mathbf {r} |^{2}ight)approx mathbf {p} ^{2}-qmathbf {L} cdot mathbf {B} ,,}$

куда ${ extstyle mathbf {L} }$ это частица угловой момент и мы пренебрегли членами в квадрате магнитного поля ${ extstyle B^{2}}$. Следовательно, получаем

Уравнение Паули (слабые магнитные поля)

${displaystyle left[{frac {1}{2m}}left[left(|mathbf {p} |^{2}-q(mathbf {L} +2mathbf {S} )cdot mathbf {B} ight)ight]+qphi ight]|psi angle =ihbar {frac {partial }{partial t}}|psi angle }$

куда ${ extstyle mathbf {S} =hbar {oldsymbol {sigma }}/2}$ это вращение частицы. Фактор 2 перед вращением известен как дираковский грамм-фактор. Срок в ${ extstyle mathbf {B} }$, имеет вид ${ extstyle -{oldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} }$ которое является обычным взаимодействием между магнитным моментом ${ extstyle {oldsymbol {mu }}}$ и магнитное поле, как в Эффект Зеемана.

Для электрона заряда ${ extstyle -e}$ в изотропном постоянном магнитном поле можно дополнительно уменьшить уравнение, используя полный угловой момент ${ extstyle mathbf {J} =mathbf {L} +mathbf {S} }$ и Теорема Вигнера-Эккарта. Таким образом, мы находим

${displaystyle left[{frac {|mathbf {p} |^{2}}{2m}}+mu _{m {B}}g_{J}m_{j}|mathbf {B} |-ephi ight]|psi angle =ihbar {frac {partial }{partial t}}|psi angle }$

куда ${ extstyle mu _{m {B}}={frac {ehbar }{2m}}}$ это Магнетон Бора и ${ extstyle m_{j}}$ это магнитное квантовое число относится к ${ extstyle mathbf {J} }$. Период, термин ${ extstyle g_{J}}$ известен как G-фактор Ланде, и здесь

${displaystyle g_{J}={frac {3}{2}}+{frac {{frac {3}{4}}-ell (ell +1)}{2j(j+1)}},}$^[а]

куда ${displaystyle ell }$ это орбитальное квантовое число относится к ${displaystyle L^{2}}$ и ${displaystyle j}$ полное орбитальное квантовое число, связанное с ${displaystyle J^{2}}$.

Из уравнения Дирака

Уравнение Паули - это нерелятивистский предел Уравнение Дирака, релятивистское квантовое уравнение движения для частиц со спином 1/2.^[3]

Вывод

Уравнение Дирака можно записать как:

${displaystyle mathrm {i} ,hbar ,partial _{t},left({egin{array}{c}psi _{1}psi _{2}end{array}}ight)=c,left({egin{array}{c}{oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol {Pi }},psi _{2}{oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol {Pi }},psi _{1}end{array}}ight)+q,phi ,left({egin{array}{c}psi _{1}psi _{2}end{array}}ight)+mc^{2},left({egin{array}{c}psi _{1}-psi _{2}end{array}}ight)}$,

куда ${ extstyle partial _{t}={frac {partial }{partial t}}}$ и ${displaystyle psi _{1},psi _{2}}$ двухкомпонентные спинор, образуя биспинор.

Используя следующий анзац:

${displaystyle left({egin{array}{c}psi _{1}psi _{2}end{array}}ight)=mathrm {e} ^{-displaystyle i{frac {mc^{2}t}{hbar }}}left({egin{array}{c}psi chi end{array}}ight)}$,

с двумя новыми спинорами ${displaystyle psi ,chi }$, уравнение принимает вид

${displaystyle ihbar partial _{t}left({egin{array}{c}psi chi end{array}}ight)=c,left({egin{array}{c}{oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol {Pi }},chi {oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol {Pi }},psi end{array}}ight)+q,phi ,left({egin{array}{c}psi chi end{array}}ight)+left({egin{array}{c}0-2,mc^{2},chi end{array}}ight)}$.

В нерелятивистском пределе ${displaystyle partial _{t}chi }$ а кинетическая и электростатическая энергии малы по сравнению с энергией покоя ${displaystyle mc^{2}}$.

Таким образом

${displaystyle chi approx {frac {{oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol {Pi }},psi }{2,mc}},.}$

Подставляя в верхнюю компоненту уравнения Дирака, находим уравнение Паули (общий вид):

${displaystyle mathrm {i} ,hbar ,partial _{t},psi =left[{frac {({oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol {Pi }})^{2}}{2,m}}+q,phi ight]psi .}$

Муфта Паули

Уравнение Паули выводится следующим образом: минимальное сцепление, что обеспечивает грамм-фактор грамм= 2. Большинство элементарных частиц имеют аномальные грамм-факторы, отличные от 2. В домене релятивистский квантовая теория поля, определяется неминимальная связь, иногда называемая связью Паули, чтобы добавить аномальный фактор

${displaystyle p_{mu } o p_{mu }-qA_{mu }+asigma _{mu u }F^{mu u }}$

куда ${displaystyle p_{mu }}$ это четырехимпульсный оператор ${displaystyle A_{mu }}$ если электромагнитный четырехпотенциальный, ${displaystyle a}$ это аномальный магнитный дипольный момент, ${displaystyle F^{mu u }=partial ^{mu }A^{u }-partial ^{u }A^{mu }}$ является электромагнитный тензор, и ${ extstyle sigma _{mu u }={frac {i}{2}}[gamma _{mu },gamma _{u }]}$ - спиновые лоренцевы матрицы и коммутатор гамма-матрицы ${displaystyle gamma ^{mu }}$.^[4][5] В контексте нерелятивистской квантовой механики вместо работы с уравнением Шредингера связь Паули эквивалентна использованию уравнения Паули (или постулированию Zeeman Energy ) для любого грамм-фактор.

Смотрите также

• Полуклассическая физика
• Атомная, молекулярная и оптическая физика
• Групповое сокращение
• Разложение Гордона

Сноски

1. Используемая здесь формула предназначена для частицы со спином 1/2, с грамм-фактор ${ extstyle g_{S}=2}$ и орбитальный грамм-фактор ${ extstyle g_{L}=1}$.

Рекомендации

1. Паули, Вольфганг (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik (на немецком). 43 (9–10): 601–623. Bibcode:1927ZPhy ... 43..601P. Дои:10.1007 / BF01397326. ISSN  0044-3328. S2CID  128228729.
2. Bransden, BH; Иоахайн, CJ (1983). Физика атомов и молекул (1-е изд.). Прентис Холл. п. 638–638. ISBN  0-582-44401-2.
3. Грейнер, Уолтер (2012-12-06). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения. Springer. ISBN  978-3-642-88082-7.
4. Дас, Ашок (2008). Лекции по квантовой теории поля. World Scientific. ISBN  978-981-283-287-0.
5. Барут, А.О .; МакЭван, Дж. (Январь 1986 г.). «Четыре состояния безмассового нейтрино со связью Паули за счет спин-калибровочной инвариантности». Письма по математической физике. 11 (1): 67–72. Bibcode:1986ЛМАФ..11 ... 67Б. Дои:10.1007 / BF00417466. ISSN  0377-9017. S2CID  120901078.

Книги

• Швабль, Франц (2004). Quantenmechanik I. Springer. ISBN  978-3540431060.
• Швабль, Франц (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer. ISBN  978-3540259046.
• Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Фрэнк Лало (2006). Квантовая механика 2. Уайли, Дж. ISBN  978-0471569527.