Электромагнитный тензор - Electromagnetic tensor

Объяснение и значение индексных обозначений в этой статье см. Обозначения Эйнштейна и антисимметричный тензор.

«Напряженность электромагнитного поля» перенаправляется сюда. Не следует путать с Напряженность электрического поля или же Напряженность магнитного поля.

В электромагнетизм, то электромагнитный тензор или же тензор электромагнитного поля (иногда называют тензор напряженности поля, Тензор Фарадея или же Бивектор Максвелла) - математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени. Тензор поля был впервые использован после четырехмерного тензор формулировка специальная теория относительности был представлен Герман Минковски. Тензор позволяет очень кратко записать связанные физические законы.

Определение

Электромагнитный тензор, условно обозначаемый F, определяется как внешняя производная из электромагнитный четырехпотенциальный, А, дифференциальная 1-форма:^[1][2]

${\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}$

Следовательно, F это дифференциальная 2-форма Т. Е. Антисимметричное тензорное поле ранга 2 - на пространстве Минковского. В компонентной форме

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

куда ${\displaystyle \partial }$ это четырехступенчатый и ${\displaystyle A}$ это четырехпотенциальный.

Единицы СИ для уравнений Максвелла и Знаковое соглашение физика частиц для подпись из Пространство Минковского (+ − − −), будет использоваться в этой статье.

Связь с классическими полями

В электрический и магнитные поля можно получить из компонент электромагнитного тензора. Отношения проще всего в Декартовы координаты:

${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$

куда c это скорость света, и

${\displaystyle B_{i}=-{\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}F^{jk},}$

куда ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ это Тензор Леви-Чивиты. Это дает поля в определенной системе отсчета; при изменении системы отсчета компоненты электромагнитного тензора будут преобразовывать ковариантно, а поля в новом фрейме будут предоставлены новыми компонентами.

В контравариантном матрица форма,

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

Ковариантная форма имеет вид снижение индекса,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\mu \alpha }F^{\alpha \beta }\eta _{\beta \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

Тензор Фарадея Ходж Дуал является

${\displaystyle {G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}}$

С этого момента в этой статье, когда упоминаются электрические или магнитные поля, предполагается декартова система координат, а электрическое и магнитное поля относятся к системе отсчета системы координат, как в уравнениях выше.

Характеристики

Матричная форма тензора поля дает следующие свойства:^[3]

1. Антисимметрия:

   ${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$

2. Шесть независимых компонентов: В декартовых координатах это просто три пространственные компоненты электрического поля (E_Икс, E_у, E_z) и магнитное поле (B_Икс, B_у, B_z).
3. Внутренний продукт: Если сформировать внутреннее произведение тензора напряженности поля a Инвариант Лоренца сформирован

   ${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)}$

   означает, что это число не меняется с единицы точка зрения другому.
4. Псевдоскалярный инвариант: Произведение тензора ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ с этими Ходж Дуал ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ дает Инвариант Лоренца:

   ${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$

   куда ${\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$ это ранг-4 Символ Леви-Чивита. Знак вышеизложенного зависит от условного обозначения символа Леви-Чивита. Используемое здесь соглашение ${\displaystyle \epsilon _{0123}=-1}$.
5. Детерминант:

   ${\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$

   который пропорционален квадрату указанного выше инварианта.

Значимость

Этот тензор упрощает и сокращает Уравнения Максвелла как четыре уравнения векторного исчисления в два уравнения тензорного поля. В электростатика и электродинамика, Закон Гаусса и Обходной закон Ампера соответственно:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }$

и сведем к неоднородному уравнению Максвелла:

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$, куда ${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$ это четырехканальный.

В магнитостатика и магнитодинамика, Закон Гаусса для магнетизма и Уравнение Максвелла – Фарадея соответственно:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =0}$

которые сводятся к Бьянки идентичность:

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

или используя обозначение индекса в квадратных скобках^{[примечание 1]} для антисимметричной части тензора:

${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$

Относительность

Основная статья: Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

Тензор поля получил свое название от того факта, что электромагнитное поле подчиняется тензорный закон преобразования, это общее свойство физических законов было признано после появления специальная теория относительности. Эта теория предусматривала, что все законы физики должны иметь одинаковую форму во всех системах координат - это привело к введению тензоры. Тензорный формализм также приводит к математически более простому представлению физических законов.

Неоднородное уравнение Максвелла приводит к уравнение неразрывности:

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}$

подразумевая сохранение заряда.

Вышеупомянутые законы Максвелла можно обобщить до искривленное пространство-время просто заменив частные производные с ковариантные производные:

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}=0}$ и ${\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

где точка с запятой обозначение представляет собой ковариантную производную в отличие от частной производной. Эти уравнения иногда называют искривленное пространство уравнения Максвелла. Опять же, второе уравнение подразумевает сохранение заряда (в искривленном пространстве-времени):

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}$

Лагранжева формулировка классического электромагнетизма

Смотрите также: Классическая теория поля

Классический электромагнетизм и Уравнения Максвелла может быть получено из действие:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}$

куда

${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x\;}$ над пространством и временем.

Это означает Лагранжиан плотность

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}}$

Два средних члена в скобках такие же, как и два внешних члена, поэтому плотность лагранжиана равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}$

Подставив это в Уравнение Эйлера – Лагранжа. движения для поля:

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}$

Таким образом, уравнение Эйлера – Лагранжа принимает следующий вид:

${\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}$

Величина в скобках выше - это просто тензор поля, так что это, наконец, упрощается до

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}$

Это уравнение - еще один способ записать два неоднородных Уравнения Максвелла (а именно, Закон Гаусса и Обходной закон Ампера ) с помощью замен:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}}$

куда я, j, k принимают значения 1, 2 и 3.

Гамильтонова форма

В Гамильтониан плотность может быть получена с помощью обычного соотношения,

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}}$.

Квантовая электродинамика и теория поля

Основные статьи: Квантовая электродинамика и квантовая теория поля

В Лагранжиан из квантовая электродинамика выходит за рамки классического лагранжиана, установленного в теории относительности, и включает в себя создание и уничтожение фотонов (и электронов):

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$

где первая часть в правой части, содержащая Спинор Дирака ${\displaystyle \psi }$, представляет Поле Дирака. В квантовая теория поля он используется в качестве шаблона для тензора калибровочного поля. Будучи задействованным в дополнение к лагранжиану локального взаимодействия, он воспроизводит свою обычную роль в КЭД.

Смотрите также

• Классификация электромагнитных полей
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Электромагнитный тензор энергии-напряжения
• Тензор напряженности глюонного поля
• Исчисление Риччи
• Вектор Римана – Зильберштейна

Примечания

1. ^ По определению,

   ${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba})}$

   Так что если

   ${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

   тогда

   ${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_{\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \alpha }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }-\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{[\gamma }F_{\alpha \beta ]}\end{aligned}}}$

1. Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co. ISBN  0-7167-0344-0.
2. Д. Дж. Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN  978-81-7758-293-2.
3. Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co. ISBN  0-7167-0344-0.

Рекомендации

• Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики. Oxford University Press. ISBN  0-19-514665-4.
• Джексон, Джон Д. (1999). Классическая электродинамика. John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-30932-X.
• Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Издательство "Персей". ISBN  0-201-50397-2.