Ток смещения - Displacement current

Эта статья про электрический ток смещения. Для магнитного тока смещения см. Магнитный ток § Магнитный ток смещения.

В электромагнетизм, плотность тока смещения это количество ∂D/∂т появляясь в Уравнения Максвелла который определяется скоростью изменения D, то электрическое поле смещения. Плотность тока смещения имеет те же единицы измерения, что и плотность электрического тока, и является источником магнитное поле как и фактический ток. Однако это не электрический ток движения. обвинения, но изменяющийся во времени электрическое поле. В физических материалах (в отличие от вакуума) также есть вклад от небольшого движения зарядов, связанных в атомах, называемого диэлектрическая поляризация.

Идея была задумана Джеймс Клерк Максвелл в его статье 1861 г. О физических силовых линиях, часть III в связи со смещением электрических частиц в диэлектрик средний. Максвелл добавил ток смещения к электрический ток срок в Циркулярный закон Ампера. В своей статье 1865 г. Динамическая теория электромагнитного поля. Максвелл использовал эту исправленную версию Циркулярный закон Ампера вывести уравнение электромагнитной волны. Этот вывод сейчас общепризнан как историческая веха в физике благодаря объединению электричества, магнетизма и оптики в одну единую теорию. Член тока смещения теперь рассматривается как решающее дополнение, которое завершает уравнения Максвелла, и необходимо для объяснения многих явлений, в особенности существования электромагнитные волны.

Объяснение

В электрическое поле смещения определяется как:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}\ .}$

куда:

ε₀ это диэлектрическая проницаемость свободного места

E это напряженность электрического поля

п это поляризация среды

Дифференцирование этого уравнения по времени определяет плотность тока смещения, который, следовательно, имеет две компоненты в диэлектрик:^[1](см. также раздел статьи "ток смещения"плотность тока ")

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {P}}}{\partial t}}\ .}$

Первый член справа присутствует в материальных средах и в свободном пространстве. Это не обязательно происходит из-за какого-либо фактического движения заряда, но у него действительно есть связанное магнитное поле, так же как ток возникает из-за движения заряда. Некоторые авторы применяют название ток смещения на первый срок сам по себе.^[2]

Второй член в правой части, называемый плотностью поляризационного тока, происходит от изменения поляризация отдельных молекул диэлектрического материала. Поляризация возникает, когда под воздействием электрическое поле, заряды в молекулах переместились из позиции точного уничтожения. Положительные и отрицательные заряды в молекулах разделяются, вызывая усиление состояния поляризации. п. Изменяющееся состояние поляризации соответствует движению заряда и, следовательно, эквивалентно току, отсюда и термин «ток поляризации».

Таким образом, ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}_{\boldsymbol {D}}=\iint _{\mathcal {S}}{\boldsymbol {J}}_{\boldsymbol {D}}\cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {S}}=\iint _{\mathcal {S}}{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}\cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{\mathcal {S}}{\boldsymbol {D}}\cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial \Phi _{D}}{\partial t}}\!}$

Эта поляризация представляет собой ток смещения, как это было первоначально задумано Максвеллом. Максвелл не рассматривал вакуум как материальную среду. Для Максвелла эффект п было просто изменить относительная диэлектрическая проницаемость ε_р в отношении D = ε_рε₀ E.

Современное обоснование тока смещения поясняется ниже.

Изотропный диэлектрический корпус

В случае очень простого диэлектрического материала учредительное отношение держит:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\varepsilon {\boldsymbol {E}}\ ,}$

где диэлектрическая проницаемость ε = ε₀ ε_р,

• ε_р - относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика и
• ε₀ это электрическая постоянная.

В этом уравнении использование ε учитывает поляризацию диэлектрика.

В скаляр значение тока смещения также может быть выражено через электрический поток:

${\displaystyle I_{\mathrm {D} }=\varepsilon {\frac {\partial \Phi _{E}}{\partial t}}.}$

Формы с точки зрения ε верны только для линейных изотропный материалы. В более общем смысле ε может быть заменен тензор, может зависеть от самого электрического поля и может иметь частотную зависимость (дисперсию).

Для линейного изотропного диэлектрика поляризация п дан кем-то:

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\varepsilon _{0}\chi _{e}{\boldsymbol {E}}=\varepsilon _{0}(\varepsilon _{r}-1){\boldsymbol {E}}}$

куда χ_е известен как электрическая восприимчивость диэлектрика. Обратите внимание, что:

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}=(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}.}$

Необходимость

Далее следуют некоторые следствия тока смещения, которые согласуются с экспериментальным наблюдением и с требованиями логической согласованности теории электромагнетизма.

Обобщение кругового закона Ампера

Ток в конденсаторах

Пример, иллюстрирующий необходимость тока смещения, возникает в связи с конденсаторы без среды между пластинами. Рассмотрим зарядный конденсатор на рисунке. Конденсатор находится в цепи, которая вызывает появление одинаковых и противоположных зарядов на левой и правой пластинах, заряжая конденсатор и увеличивая электрическое поле между его пластинами. Фактический заряд не переносится через вакуум между пластинами. Тем не менее, между пластинами существует магнитное поле, как будто там тоже присутствует ток. Одно из объяснений состоит в том, что ток смещения я_D «течет» в вакууме, и этот ток создает магнитное поле в области между пластинами согласно Закон Ампера:^[3][4]

Электрически заряжаемый конденсатор с воображаемой цилиндрической поверхностью, окружающей левую пластину. Правая поверхность р лежит в пространстве между пластинами и левой поверхностью L лежит слева от левой пластины. На поверхность цилиндра не проникает ток проводимости р, а текущий я уходит через поверхность L. Последовательность закона Ампера требует наличия тока смещения я_D = Я течь по поверхности р.

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{D}\ .}$

куда

• ${\displaystyle \oint _{C}}$ закрытый линейный интеграл вокруг некоторой замкнутой кривой C.
• ${\displaystyle \mathbf {B} }$ это магнитное поле измеряется в теслас.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}\ }$ это вектор скалярное произведение.
• ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$ является бесконечно малый линейный элемент вдоль кривой C, то есть вектор с величиной, равной элементу длины C, и направление, заданное касательной к кривой C.
• ${\displaystyle \mu _{0}\!\ }$ это магнитная постоянная, также называемая проницаемостью свободного пространства.
• ${\displaystyle I_{D}\!\ }$ - чистый ток смещения, который проходит через небольшую поверхность, ограниченную кривой C.

Магнитное поле между пластинами такое же, как и вне пластин, поэтому ток смещения должен быть таким же, как ток проводимости в проводах, то есть

${\displaystyle I_{D}=I\ ,}$

что расширяет понятие тока за пределы простого переноса заряда.

Далее этот ток смещения связан с зарядкой конденсатора. Рассмотрим ток на воображаемой цилиндрической поверхности, окружающей левую пластину. Ток, скажем я, проходит наружу через левую поверхность L цилиндра, но ток проводимости (без переноса реальных зарядов) не пересекает правую поверхность р. Обратите внимание, что электрическое поле между пластинами E увеличивается по мере заряда конденсатора. То есть способом, описанным Закон Гаусса, при условии отсутствия диэлектрика между пластинами:

${\displaystyle Q(t)=\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {S}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\boldsymbol {E}}(t)\ ,}$

куда S относится к воображаемой цилиндрической поверхности. Предполагая конденсатор с параллельными пластинами с однородным электрическим полем и пренебрегая эффектами окантовки по краям пластин, согласно уравнение сохранения заряда

${\displaystyle I=-{\frac {dQ}{dt}}=-\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {\boldsymbol {S}}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}={S}\ \varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial E}{\partial t}}\right|_{R}\ ,}$

где первый член имеет отрицательный знак, потому что заряд покидает поверхность L (заряд уменьшается) последний член имеет положительный знак, поскольку единичный вектор поверхности р слева направо, а направление электрического поля справа налево, S это площадь поверхности р. Электрическое поле на поверхности L равен нулю, потому что поверхность L находится снаружи конденсатора. В предположении однородного распределения электрического поля внутри конденсатора плотность тока смещения J_D находится путем деления на площадь поверхности:

${\displaystyle J_{D}={\frac {I_{D}}{S}}={\frac {I}{S}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}={\frac {\partial D}{\partial t}}\ ,}$

куда я ток, покидающий цилиндрическую поверхность (который должен быть равен я_D) и J_D - поток заряда на единицу площади в цилиндрическую поверхность через грань р.

Комбинируя эти результаты, магнитное поле находится с использованием интегральной формы Закон Ампера с произвольным выбором контура при условии, что к плотности тока проводимости добавляется член плотности тока смещения (уравнение Ампера-Максвелла):^[5]

${\displaystyle \oint _{\partial S}{\boldsymbol {B}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}\left({\boldsymbol {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\right)\cdot d{\boldsymbol {S}}\,}$

Это уравнение говорит, что интеграл магнитного поля B вокруг петли ∂S равен интегрированному току J через любую поверхность, охватывающую петлю, плюс член тока смещения ε₀ ∂E / ∂t через поверхность.

Пример, показывающий две поверхности S₁ и S₂ которые имеют тот же ограничивающий контур ∂S. Тем не мение, S₁ пронизан током проводимости, а S₂ пронизан током смещения. Поверхность S₂ закрыт под пластиной конденсатора.

Как показано на рисунке справа, текущая поверхность пересечения S₁ полностью ток проводимости. Применение уравнения Ампера-Максвелла к поверхности S₁ дает:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}\,}$

Однако текущая поверхность пересечения S₂ это полностью ток смещения. Применяя этот закон к поверхности S₂, ограниченную точно такой же кривой ${\displaystyle \partial S}$, но лежит между пластинами, производит:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I_{D}}{2\pi r}}\,}$

Любая поверхность S₁ который пересекает провод имеет ток я проходя через это так Закон Ампера дает правильное магнитное поле. Однако вторая поверхность S₂ ограниченный той же петлей δS может проходить между пластинами конденсатора, поэтому через него не проходит ток. Без члена тока смещения закон Ампера дал бы нулевое магнитное поле для этой поверхности. Следовательно, без члена тока смещения закон Ампера дает противоречивые результаты, магнитное поле будет зависеть от поверхности, выбранной для интегрирования. Таким образом, член тока смещения ε₀ ∂E / ∂t необходим как второй элемент источника, который дает правильное магнитное поле, когда поверхность интегрирования проходит между пластинами конденсатора. Поскольку ток увеличивает заряд на пластинах конденсатора, электрическое поле между пластинами увеличивается, и скорость изменения электрического поля дает правильное значение для поля B найдено выше.

Математическая формулировка

В более математическом ключе те же результаты могут быть получены из основных дифференциальных уравнений. Рассмотрим для простоты немагнитную среду, в которой относительная магнитная проницаемость это единство, а сложность ток намагничивания (связанный ток) отсутствует, так что M= 0 и J=J_ж.Ток, выходящий из объема, должен равняться скорости уменьшения заряда в объеме. В дифференциальной форме это уравнение неразрывности становится:

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {J_{f}}}=-{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}\ ,}$

где левая часть представляет собой расхождение плотности свободного тока, а правая часть - скорость уменьшения плотности свободного заряда. Тем не мение, Закон Ампера в исходном виде гласит:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J}}_{f}\ ,}$

откуда следует, что расходимость текущего члена исчезает, что противоречит уравнению неразрывности. (Исчезновение расхождение является результатом математическая идентичность что констатирует расхождение завиток всегда равен нулю.) Этот конфликт устраняется добавлением тока смещения, как тогда:^[6][7]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}\right)\ ,}$

и

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \cdot }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \cdot D}}\right)\ ,}$

что согласуется с уравнением неразрывности из-за Закон Гаусса:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \cdot D}}=\rho _{f}\ .}$

Распространение волн

Добавленный ток смещения также приводит к распространению волн, принимая ротор уравнения для магнитного поля.^[8]

${\displaystyle {\boldsymbol {J_{D}}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}$

Подставляя эту форму для J в Закон Ампера и предполагая, что нет плотности связанного или свободного тока, способствующей J :

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J_{D}}}\ ,}$

с результатом:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \times E}}\ .}$

Тем не мение,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {B}}\ ,}$

ведущий к волновое уравнение:^[9]

${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=\nabla ^{2}{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {B}}\ ,}$

где используется векторная идентичность, которая выполняется для любого векторного поля V(р, т):

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times V}}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla \cdot V}}\right)-\nabla ^{2}{\boldsymbol {V}}\ ,}$

и тот факт, что расходимость магнитного поля равна нулю. Идентичное волновое уравнение для электрического поля можно найти, взяв завиток:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times E}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \times }}{\boldsymbol {B}}=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\boldsymbol {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {E}}\right)\ .}$

Если J, P и ρ равны нулю, результат:

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {E}}\ .}$

Электрическое поле можно выразить в общем виде:

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\ ,}$

куда φ это электрический потенциал (который может быть выбран для удовлетворения Уравнение Пуассона ) и А это векторный потенциал (т.е. магнитный векторный потенциал, не путать с площадью поверхности, так как А обозначается в другом месте). В ∇φ Компонент в правой части является компонентом закона Гаусса, и это компонент, который имеет отношение к аргументу сохранения заряда, приведенному выше. Второй член в правой части относится к уравнению электромагнитной волны, потому что это член, который вносит вклад в завиток из E. Из-за векторной идентичности, которая говорит завиток из градиент равно нулю, ∇φ не способствует ∇×E.

История и интерпретация

Ток смещения Максвелла был постулирован в части III его статьи 1861 г.О физических силовых линиях '. Немногие темы современной физики вызывают столько же путаницы и недопонимания, как ток смещения.^[10] Частично это связано с тем, что Максвелл использовал море молекулярных вихрей в своем выводе, в то время как современные учебники основываются на том, что ток смещения может существовать в свободном пространстве. Вывод Максвелла не связан с современным выводом тока смещения в вакууме, который основан на согласованности между Закон Ампера для магнитного поля и уравнение неразрывности для электрического заряда.

Цель Максвелла изложена им в (Часть I, стр. 161):

Теперь я предлагаю изучить магнитные явления с механической точки зрения и определить, какие напряжения или движения в среде способны вызывать наблюдаемые механические явления.

Он осторожно указывает, что лечение - это аналогия:

Автор этого метода представления не пытается объяснить происхождение наблюдаемых сил эффектами, вызванными этими деформациями в упругом твердом теле, но использует математические аналогии двух задач, чтобы помочь воображению в изучении обеих. .

В части III, касающейся тока смещения, он говорит

Я считал вращающееся вещество веществом определенных ячеек, разделенных друг от друга клеточными стенками, состоящими из частиц, которые очень малы по сравнению с ячейками, и что это происходит благодаря движениям этих частиц и их касательному действию на вещество в клетках, что вращение передается от одной клетки к другой.

Очевидно, Максвелл руководил намагничиванием, хотя в том же введении ясно говорится о диэлектрической поляризации.

Максвелл заключил, используя уравнение Ньютона для скорости звука (Линии силы, Часть III, уравнение (132)), что «свет состоит из поперечных волн в одной и той же среде, которая является причиной электрических и магнитных явлений».

Но хотя приведенные выше цитаты указывают на магнитное объяснение тока смещения, например, основанное на расхождении вышеупомянутых завиток Уравнение, объяснение Максвелла в конечном итоге подчеркивает линейную поляризацию диэлектриков:

Это смещение ... является началом тока ... Величина смещения зависит от природы тела и от электродвижущей силы, так что если час это смещение, р электродвижущая сила, и E коэффициент, зависящий от природы диэлектрика:

${\displaystyle R=-4\pi \mathrm {E} ^{2}h\ ;}$

и если р величина электрического тока из-за смещения

${\displaystyle r={\frac {dh}{dt}}\ ,}$

Эти соотношения не зависят от какой-либо теории о механизме диэлектриков; но когда мы находим электродвижущую силу, вызывающую электрическое смещение в диэлектрике, и когда мы обнаруживаем, что диэлектрик восстанавливается из своего состояния электрического смещения ... мы не можем не рассматривать явления как явления упругого тела, поддающегося давлению и восстанавливающего свою форму когда давление снято. - Часть III - Теория молекулярных вихрей в применении к статическому электричеству , стр. 14–15

С некоторым изменением символов (и единиц измерения) в сочетании с результатами, выведенными в разделе "Ток в конденсаторах" : г → J, R → −E и материальная постоянная E⁻² → 4π ε_рε₀ эти уравнения принимают знакомую форму для конденсатора с параллельными пластинами с однородным электрическим полем и без учета эффектов окантовки по краям пластин:

${\displaystyle J={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{4\pi \mathrm {E} ^{2}}}{\mathit {E}}={\frac {d}{dt}}\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}{\mathit {E}}={\frac {d}{dt}}{\mathit {D}}\ .}$

Когда дело дошло до вывода уравнения электромагнитной волны из тока смещения в его статье 1865 года Динамическая теория электромагнитного поля., он обошел проблему ненулевой расходимости, связанной с законом Гаусса и диэлектрическим смещением, исключив член Гаусса и выведя волновое уравнение исключительно для вектора соленоидального магнитного поля.

Акцент Максвелла на поляризации отвлек внимание на цепь электрического конденсатора и привел к распространенному мнению, что Максвелл задумал ток смещения, чтобы поддерживать сохранение заряда в цепи электрического конденсатора. Существует множество спорных представлений о мышлении Максвелла, начиная от его предполагаемого желания усовершенствовать симметрию уравнений поля до стремления достичь совместимости с уравнением неразрывности.^[11][12]

Смотрите также

• Уравнение электромагнитной волны
• Закон Ампера
• Емкость

Рекомендации

1. Джон Д. Джексон (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. п.238. ISBN  978-0-471-30932-1.
2. Например, см. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Пирсон / Аддисон Уэсли. п.323. ISBN  978-0-13-805326-0. и Тай Л Чоу (2006). Введение в электромагнитную теорию. Джонс и Бартлетт. п. 204. ISBN  978-0-7637-3827-3.
3. Стюарт Б. Палмер, Мирча С. Рогальский (1996). Высшая физика в университете. Тейлор и Фрэнсис. п. 214. ISBN  978-2-88449-065-8.
4. Раймонд А. Сервей, Джон В. Джуэтт (2006). Принципы физики. Томсон Брукс / Коул. п. 807. ISBN  978-0-534-49143-7.
5. Фейнман, Ричард П .; Роберт Лейтон; Мэтью Сэндс (1963). Лекции Фейнмана по физике, Vol. 2. Массачусетс, США: Аддисон-Уэсли. С. 18–4. ISBN  978-0-201-02116-5.
6. Раймонд Боннет, Шейн Клод (1995). Введение в распространение электромагнитных волн и антенны. Тейлор и Фрэнсис. п. 16. ISBN  978-1-85728-241-2.
7. Дж. С. Слейтер и Н. Х. Франк (1969). Электромагнетизм (Перепечатка изд. 1947 г.). Courier Dover Publications. п. 84. ISBN  978-0-486-62263-7.
8. Дж. С. Слейтер и Н. Х. Франк (1969). Электромагнетизм (указ. соч. ред.). п. 91. ISBN  978-0-486-62263-7.
9. Дж. Биллингем, Эй Си Кинг (2006). Волновое движение. Издательство Кембриджского университета. п. 182. ISBN  978-0-521-63450-2.
10. Дэниел М. Сигель (2003). Инновация в электромагнитной теории Максвелла. Издательство Кембриджского университета. п. 85. ISBN  978-0-521-53329-4.
11. Пол Дж. Нахин (2002). Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена гения-электрика викторианской эпохи. Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 109. ISBN  978-0-8018-6909-9.
12. Вячеслав Степин (2002). Теоретические знания. Springer. п. 202. ISBN  978-1-4020-3045-1.

Документы Максвелла

• На линиях силы Фарадея Статья Максвелла 1855 г.
• О физических силовых линиях Статья Максвелла 1861 г.
• Динамическая теория электромагнитного поля. Статья Максвелла 1864 г.

дальнейшее чтение

• AM Bork Максвелл, ток смещения и симметрия (1963)
• AM Bork Максвелл и уравнение электромагнитной волны (1967)