Уравнения Ефименко - Jefimenkos equations

В электромагнетизм, Уравнения Ефименко (названный в честь Олег Д. Ефименко ) дай электрическое поле и магнитное поле из-за распределения электрические заряды и электрический ток в пространстве, что учитывает задержку распространения (замедленное время ) полей за счет конечного скорость света и релятивистские эффекты. Поэтому их можно использовать для движущийся заряды и токи. Это общие решения Уравнения Максвелла для любого произвольного распределения зарядов и токов.^[1]

Уравнения

Электрические и магнитные поля

Векторы положения р и р′ Используется в расчете

Уравнения Ефименко дают электрическое поле E и магнитное поле B произведенный произвольным распределением заряда или тока, плотность заряда ρ и плотность тока J:^[2]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\rho (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\times {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}$

куда р′ - точка в распределение заряда, р точка в пространстве, и

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

это замедленное время. Есть аналогичные выражения для D и ЧАС.^[3]

Эти уравнения являются зависящим от времени обобщением Закон Кулона и Закон Био – Савара к электродинамика, которые изначально были верны только для электростатический и магнитостатический поля и установившиеся токи.

Происхождение от запаздывающих потенциалов

Уравнения Ефименко можно найти^[2] от запаздывающие потенциалы φ и А:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\\&\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\end{aligned}}}$

какие решения Уравнения Максвелла в потенциальной формулировке, а затем подставив в определения электромагнитные потенциалы самих себя:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

и используя соотношение

${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$

заменяет потенциалы φ и А по полям E и B.

Формула Хевисайда – Фейнмана

Объяснение переменных, относящихся к формуле Хевисайда – Фейнмана.

В Формула Хевисайда – Фейнмана, также известная как формула Ефименко – Фейнмана, представляет собой частный случай уравнений Ефименко, полученных, когда источником является одиночный точечный электрический заряд. В основном это известно из Лекции Фейнмана по физике, где он использовался для введения и описания происхождения электромагнитное излучение.^[4] Формула дает естественное обобщение Закон Кулона для случаев, когда исходный заряд движется:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {-q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}+{\frac {r'}{c}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {e} _{r'}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {B} =-\mathbf {e} _{r'}\times {\frac {\mathbf {E} }{c}}}$

Здесь, ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ - электрическое и магнитное поля соответственно, ${\displaystyle q}$ это электрический заряд, ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ это диэлектрическая проницаемость вакуума и ${\displaystyle c}$ это скорость света. Вектор ${\displaystyle \mathbf {e} _{r'}}$ - единичный вектор, указывающий от наблюдателя на заряд, и ${\displaystyle r'}$ расстояние между наблюдателем и зарядом. Поскольку электромагнитное поле распространяется со скоростью света, обе эти величины оцениваются на замедленное время ${\displaystyle t-r'/c}$.

Иллюстрация положения запаздывающего заряда для частицы, движущейся в одном пространственном измерении: наблюдатель видит частицу там, где она была, а не там, где она находится.

Первый член в формуле для ${\displaystyle \mathbf {E} }$ представляет собой закон Кулона для статического электрического поля. Второй член - это производная по времени первого кулоновского члена, умноженная на ${\displaystyle {\frac {r'}{c}}}$ что является временем распространения электрического поля. Эвристически это можно рассматривать как «попытку» природы предсказать, каким будет настоящее поле, путем линейной экстраполяции на настоящее время.^[4] Последний член, пропорциональный второй производной от единичный вектор направления ${\displaystyle e_{r'}}$, чувствителен к движению заряда перпендикулярно линии визирования. Можно показать, что электрическое поле, создаваемое этим членом, пропорционально ${\displaystyle a_{t}/r'}$, куда ${\displaystyle a_{t}}$ - поперечное ускорение в запаздывающем времени. Поскольку он уменьшается только при ${\displaystyle 1/r'}$ с расстоянием по сравнению со стандартом ${\displaystyle 1/r'^{2}}$ Кулумбическое поведение, этот термин отвечает за дальнодействующее электромагнитное излучение, вызванное ускоряющим зарядом.

Формула Хевисайда – Фейнмана может быть получена из Уравнения Максвелла используя технику запаздывающий потенциал. Это позволяет, например, получить Формула лармора на общую мощность излучения ускоряющего заряда.

Обсуждение

Существует широко распространенная интерпретация уравнений Максвелла, указывающая на то, что пространственно изменяющиеся электрические и магнитные поля могут вызывать изменение друг друга во времени, что приводит к распространению электромагнитной волны.^[5] (электромагнетизм ). Однако уравнения Ефименко показывают альтернативную точку зрения.^[6] Ефименко говорит: «... ни уравнения Максвелла, ни их решения не указывают на существование причинно-следственных связей между электрическим и магнитным полями. Следовательно, мы должны заключить, что электромагнитное поле - это двойственная сущность, всегда имеющая электрическую и магнитную составляющие, одновременно создаваемые их общие источники: переменные во времени электрические заряды и токи ».^[7]

Как указал Макдональдс,^[8] Уравнения Ефименко, кажется, впервые появляются в 1962 г. во втором издании Панофски и Филлипс классический учебник.^[9] Дэвид Гриффитс, однако, поясняет, что «самое раннее явное утверждение, о котором я знаю, было сделано Олегом Ефименко в 1966 году», и характеризует уравнения в учебнике Панофски и Филлипса только как «тесно связанные выражения».^[2] В соответствии с Эндрю Зангвилл, уравнения, аналогичные уравнениям Ефименко, но в Фурье частотная область были впервые получены Джордж Адольф Шотт в своем трактате «Электромагнитное излучение» (University Press, Cambridge, 1912).^[10]

Существенные особенности этих уравнений легко заметить, а именно: правые части включают "запаздывающее" время, которое отражает "причинность" выражений. Другими словами, левая часть каждого уравнения фактически "вызвана" правой частью, в отличие от обычных дифференциальных выражений для уравнений Максвелла, где обе стороны имеют место одновременно. В типичных выражениях для уравнений Максвелла нет сомнений в том, что обе стороны равны друг другу, но, как отмечает Ефименко, «... поскольку каждое из этих уравнений связывает величины, одновременные во времени, ни одно из этих уравнений не может представлять причинную связь. "^[11] Вторая особенность заключается в том, что выражение для E не зависит от B наоборот. Следовательно, невозможно E и B поля будут «создавать» друг друга. Плотность заряда и плотность тока создают и то, и другое.

Смотрите также

• Потенциал Льенара – Вихерта

Примечания

1. Олег Д. Ефименко, Электричество и магнетизм: введение в теорию электрических и магнитных полей, Appleton-Century-Crofts (Нью-Йорк - 1966). 2-е изд .: Электретный научный (Звездный городок - 1989), ISBN  978-0-917406-08-9. Смотрите также: Дэвид Дж. Гриффитс, Марк А. Хилд, Зависящие от времени обобщения законов Био – Савара и Кулона., Американский журнал физики 59 (2) (1991), 111-117.
2. Введение в электродинамику (3-е издание), Д. Дж. Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007 г., ISBN  81-7758-293-3.
3. Олег Д. Ефименко, Решения уравнений Максвелла для электрического и магнитного полей в произвольных средах, Американский журнал физики 60 (10) (1992), 899–902.
4. Фейнман, Р. П., Р. Б. Лейтон и М. Сэндс, 1965 г., Лекции Фейнмана по физике, Vol. я, Эддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс
5. Кинслер, П. (2011). «Как быть причинным: время, пространство-время и спектры». Евро. J. Phys. 32 (6): 1687. arXiv:1106.1792. Bibcode:2011EJPh ... 32,1687K. Дои:10.1088/0143-0807/32/6/022. S2CID  56034806.
6. Олег Д. Ефименко, Причинная связь Электромагнитная индукция и гравитация2-е изд .: Электретный научный (Звездный городок - 2000) Глава 1, разд. 1-4, стр. 16 ISBN  0-917406-23-0.
7. Олег Д. Ефименко, Причинная связь Электромагнитная индукция и гравитация2-е изд .: Электретный научный (Звездный городок - 2000) Глава 1, разд. 1-5, стр. 16 ISBN  0-917406-23-0.
8. Кирк Т. Макдональд, Связь между выражениями для зависящих от времени электромагнитных полей, данными Ефименко, Панофски и Филлипсом, Американский журнал физики 65 (11) (1997), 1074-1076.
9. Вольфганг К. Х. Панофски, Мельба Филлипс, Классическое электричество и магнетизм, Addison-Wesley (2-е изд - 1962 г.), раздел 14.3. Электрическое поле записывается в несколько иной, но полностью эквивалентной форме. Перепечатка: Dover Publications (2005), ISBN  978-0-486-43924-2.
10. Эндрю Зангвилл, Современная электродинамика, Cambridge University Press, 1-е издание (2013 г.), стр. 726-727, 765
11. Олег Д. Ефименко, Причинная связь Электромагнитная индукция и гравитация2-е изд .: Электретный научный (Звездный городок - 2000) Глава 1, разд. 1-1, стр. 6 ISBN  0-917406-23-0.