Ковариантная формулировка классического электромагнетизма - Covariant formulation of classical electromagnetism

Основная статья: Математические описания электромагнитного поля

В ковариантный формулировка классический электромагнетизм относится к способам записи законов классического электромагнетизма (в частности, Уравнения Максвелла и Сила Лоренца ) в форме, явно инвариантной относительно Преобразования Лоренца, в формализме специальная теория относительности используя прямолинейный инерциальные системы координат. Эти выражения упрощают доказательство того, что законы классического электромагнетизма принимают одинаковую форму в любой инерциальной системе координат, а также предоставляют способ перевода полей и сил из одной системы координат в другую. Однако это не так часто, как Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени или непрямолинейные системы координат.

В этой статье используется классическая трактовка тензоров и Соглашение о суммировании Эйнштейна повсюду и Метрика Минковского имеет вид diag (+1, −1, −1, −1). Там, где уравнения заданы как удерживаемые в вакууме, можно было бы вместо этого рассматривать их как формулировку уравнений Максвелла в терминах Всего заряд и ток.

Для более общего обзора отношений между классическим электромагнетизмом и специальной теорией относительности, включая различные концептуальные значения этой картины, см. Классический электромагнетизм и специальная теория относительности.

Ковариантные объекты

Предварительные четырехвекторы

Основная статья: Ковариация Лоренца

В этой статье для описания тел или частиц могут использоваться тензоры Лоренца следующих видов:

• четырехцилиндровый:

${displaystyle x^{alpha }=(ct,mathbf {x} )=(ct,x,y,z),.}$

• Четырехскоростной:

${displaystyle u^{alpha }=gamma (c,mathbf {u} ),}$

куда γ(ты) это Фактор Лоренца на 3-х скоростной ты.

• Четыре импульса:

${displaystyle p^{alpha }=(E/c,mathbf {p} )=m_{0}u^{alpha },}$

куда ${displaystyle mathbf {p} }$ 3-импульсный, ${displaystyle E}$ это полная энергия, и ${displaystyle m_{0}}$ является масса покоя.

• Четыре градиента

${displaystyle partial ^{u }={frac {partial }{partial x_{u }}}=left({frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}},-mathbf {abla } ight),,}$

• В д'Аламбертиан оператор обозначается ${displaystyle {partial }^{2}}$, ${displaystyle partial ^{2}={frac {1}{c^{2}}}{partial over partial t}{partial over partial t}-abla ^{2}}$.

Знаки в следующем тензорном анализе зависят от соглашение используется для метрический тензор. Используемое здесь соглашение (+ − − −), соответствующий Метрический тензор Минковского:

${displaystyle eta ^{mu u }={egin{pmatrix}1&0&0&0�&-1&0&0�&0&-1&0�&0&0&-1end{pmatrix}},}$

Электромагнитный тензор

Основная статья: Электромагнитный тензор

Электромагнитный тензор представляет собой комбинацию электрического и магнитного полей в ковариантную антисимметричный тензор записи которых являются величинами B-поля.^[1]

${displaystyle F_{alpha eta }=left({egin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0end{matrix}}ight),}$

и результатом повышения его показателей будет

${displaystyle F^{mu u },{stackrel {mathrm {def} }{=}},eta ^{mu alpha },F_{alpha eta },eta ^{eta u }=left({egin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/cE_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0end{matrix}}ight),.}$

куда E это электрическое поле, B то магнитное поле, и c то скорость света.

Четырехтоковый

Основная статья: Четырехтоковый

Четыре-ток - это контравариантный четырехвектор, объединяющий плотность электрического заряда ρ и плотность электрического тока j:

${displaystyle J^{alpha }=(cho ,mathbf {j} ),.}$

Четырехпотенциальный

Основная статья: Четырехпотенциальный

Электромагнитный четырехпотенциал - это ковариантный четырехвектор, содержащий электрический потенциал (также называемый скалярный потенциал ) ϕ и магнитный векторный потенциал (или же векторный потенциал ) А, следующим образом:

${displaystyle A^{alpha }=left(phi /c,mathbf {A} ight),.}$

Дифференциал электромагнитного потенциала равен

${displaystyle F_{alpha eta }=partial _{alpha }A_{eta }-partial _{eta }A_{alpha },.}$

На языке дифференциальные формы, что обеспечивает обобщение искривленных пространств-времени, это компоненты 1-формы ${displaystyle A=A_{alpha }dx^{alpha }}$ и 2-форма ${displaystyle F=dA={frac {1}{2}}F_{alpha eta }dx^{alpha }wedge dx^{eta }}$ соответственно. Здесь, ${displaystyle d}$ это внешняя производная и ${displaystyle wedge }$ то клин.

Электромагнитный тензор энергии-напряжения

Основная статья: Электромагнитный тензор энергии-напряжения

Электромагнитный тензор энергии-импульса можно интерпретировать как плотность потока четырехвектора импульса и представляет собой контравариантный симметричный тензор, который представляет собой вклад электромагнитных полей в общую тензор энергии-импульса:

${displaystyle T^{alpha eta }={egin{pmatrix}epsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/cS_{x}/c&-sigma _{xx}&-sigma _{xy}&-sigma _{xz}S_{y}/c&-sigma _{yx}&-sigma _{yy}&-sigma _{yz}S_{z}/c&-sigma _{zx}&-sigma _{zy}&-sigma _{zz}end{pmatrix}},,}$

куда ${displaystyle epsilon _{0}}$ это электрическая проницаемость вакуума, μ₀ это магнитная проницаемость вакуума, то Вектор Пойнтинга является

${displaystyle mathbf {S} ={frac {1}{mu _{0}}}mathbf {E} imes mathbf {B} }$

и Тензор напряжений Максвелла дан кем-то

${displaystyle sigma _{ij}=epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{frac {1}{mu _{0}}}B_{i}B_{j}-left({frac {1}{2}}epsilon _{0}E^{2}+{frac {1}{2mu _{0}}}B^{2}ight)delta _{ij},.}$

Тензор электромагнитного поля F строит электромагнитный тензор энергии-напряжения Т уравнением:

${displaystyle T^{alpha eta }={frac {1}{mu _{0}}}left(eta ^{alpha u }F_{u gamma }F^{gamma eta }+{frac {1}{4}}eta ^{alpha eta }F_{gamma u }F^{gamma u }ight)}$^[2]

куда η это Метрика Минковского тензор (с подписью (+ − − −)). Обратите внимание, что мы используем тот факт, что

${displaystyle epsilon _{0}mu _{0}c^{2}=1,,}$

что предсказывается уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла в вакууме

Основная статья: Уравнения Максвелла

В вакууме (или для микроскопических уравнений, не включая описания макроскопических материалов) уравнения Максвелла могут быть записаны в виде двух тензорных уравнений.

Два неоднородных уравнения Максвелла, Закон Гаусса и Закон Ампера (с поправкой Максвелла) объединить в (с (+ − − −) метрическая):^[3]

Гаусс –Ампер закон

${displaystyle partial _{alpha }F^{alpha eta }=mu _{0}J^{eta }}$

а однородные уравнения - Закон индукции Фарадея и Закон Гаусса для магнетизма объединить в форму:

Гаусс –Фарадей закон

${displaystyle partial _{alpha }({ frac {1}{2}}epsilon ^{alpha eta gamma delta }F_{gamma delta })=0}$

куда F^αβ это электромагнитный тензор, J^α это четырехканальный, ε^αβγδ это Символ Леви-Чивита, а индексы ведут себя согласно Соглашение о суммировании Эйнштейна.

Каждое из этих тензорных уравнений соответствует четырем скалярным уравнениям, по одному для каждого значения β.

С использованием антисимметричный тензор обозначения и запятые для частной производной (см. Исчисление Риччи ), второе уравнение также можно записать более компактно:

${displaystyle F_{[alpha eta ,gamma ]}=0.}$

В отсутствие источников уравнения Максвелла сводятся к:

${displaystyle partial ^{u }partial _{u }F^{alpha eta }, {stackrel {mathrm {def} }{=}} ,{partial }^{2}F^{alpha eta }, {stackrel {mathrm {def} }{=}} {1 over c^{2}}{partial ^{2}F^{alpha eta } over {partial t}^{2}}-abla ^{2}F^{alpha eta }=0,,}$

который является уравнение электромагнитной волны в тензоре напряженности поля.

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

Основная статья: Условие калибровки Лоренца

В Условие калибровки Лоренца является лоренц-инвариантным калибровочным условием. (Это можно противопоставить другим калибровочные условия такой как Кулоновский калибр, который, если он держится в одном инерциальная система отсчета обычно не выполняется ни в каком другом). Он выражается в терминах четырехпотенциала следующим образом:

${displaystyle partial _{alpha }A^{alpha }=partial ^{alpha }A_{alpha }=0,.}$

В калибровке Лоренца микроскопические уравнения Максвелла могут быть записаны как:

${displaystyle {partial }^{2}A^{sigma }=mu _{0},J^{sigma },.}$

Сила Лоренца

Основная статья: Сила Лоренца

Заряженная частица

Сила Лоренца ж на заряженная частица (из обвинять q) в движении (мгновенная скорость v). В E поле и B поле различаются в пространстве и времени.

Электромагнитные (ЭМ) поля влияют на движение электрически заряженный вопрос: из-за Сила Лоренца. Таким образом, электромагнитные поля могут быть обнаружен (с приложениями в физика элементарных частиц, и природных явлений, таких как полярные сияния ). В релятивистской форме сила Лоренца использует тензор напряженности поля следующим образом.^[4]

Выражается в виде координировать время т, это:

${displaystyle {dp_{alpha } over {dt}}=q,F_{alpha eta },{frac {dx^{eta }}{dt}},}$

куда п_α - четырехмерный импульс, q это обвинять, и Икс^β это позиция.

Выражаясь в независимой от кадра форме, мы имеем четырехступенчатую

${displaystyle {frac {dp_{alpha }}{d au }},=q,F_{alpha eta },u^{eta },}$

куда ты^β - четырехскоростная, а τ это частица подходящее время, которое связано с координатным временем соотношением dt = γdτ.

Континуум заряда

Сила Лоренца на пространственный объем ж на непрерывном распределение заряда (плотность заряда ρ) в движении.

Смотрите также: механика сплошной среды

Плотность силы из-за электромагнетизма, пространственная часть которой является силой Лоренца, определяется выражением

${displaystyle f_{alpha }=F_{alpha eta }J^{eta }.!}$

и связана с электромагнитным тензором энергии-импульса соотношением

${displaystyle f^{alpha }=-{T^{alpha eta }}_{,eta }equiv -{frac {partial T^{alpha eta }}{partial x^{eta }}}.}$

Законы сохранения

Электрический заряд

В уравнение неразрывности:

${displaystyle {J^{alpha }}_{,alpha },{stackrel {mathrm {def} }{=}},partial _{alpha }J^{alpha },=,0,.}$

выражает сохранение заряда.

Электромагнитная энергия-импульс

Используя уравнения Максвелла, можно увидеть, что электромагнитный тензор энергии-напряжения (определенный выше) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, связывающему его с электромагнитным тензором и четырехвектором тока

${displaystyle {T^{alpha eta }}_{,eta }+F^{alpha eta }J_{eta }=0}$

или

${displaystyle eta _{alpha u }{T^{u eta }}_{,eta }+F_{alpha eta }J^{eta }=0,}$

который выражает сохранение количества движения и энергии за счет электромагнитных взаимодействий.

Ковариантные объекты в материи

Свободные и связанные четырехтоки

Чтобы решить приведенные здесь уравнения электромагнетизма, необходимо добавить информацию о том, как рассчитать электрический ток, J^ν Часто бывает удобно разделить ток на две части, свободный ток и связанный ток, которые моделируются разными уравнениями;

${displaystyle J^{u }={J^{u }}_{ ext{free}}+{J^{u }}_{ ext{bound}},,}$

куда

${displaystyle {J^{u }}_{ ext{free}}=(cho _{ ext{free}},mathbf {J} _{ ext{free}})=left(cabla cdot mathbf {D} ,- {frac {partial mathbf {D} }{partial t}}+abla imes mathbf {H} ight),,}$

${displaystyle {J^{u }}_{ ext{bound}}=(cho _{ ext{bound}},mathbf {J} _{ ext{bound}})=left(- cabla cdot mathbf {P} ,{frac {partial mathbf {P} }{partial t}}+abla imes mathbf {M} ight),.}$

Макроскопические уравнения Максвелла были использованы, кроме того, определения электрическое перемещение D и магнитная напряженность ЧАС:

${displaystyle mathbf {D} =epsilon _{0}mathbf {E} +mathbf {P} ,}$

${displaystyle mathbf {H} ={frac {1}{mu _{0}}}mathbf {B} -mathbf {M} ,.}$

куда M это намагничивание и п то электрическая поляризация.

Тензор намагниченности-поляризации

Связанный ток получается из п и M поля, образующие антисимметричный контравариантный тензор намагниченности-поляризации ^[1]

${displaystyle {mathcal {M}}^{mu u }={egin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0end{pmatrix}},}$

который определяет связанный ток

${displaystyle {J^{u }}_{ ext{bound}}=partial _{mu }{mathcal {M}}^{mu u },.}$

Тензор электрического смещения

Если это сочетается с F^μν мы получаем антисимметричный контравариантный тензор электромагнитных смещений, который объединяет D и ЧАС следующие поля:

${displaystyle {mathcal {D}}^{mu u }={egin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}cD_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0end{pmatrix}}.}$

Три тензора поля связаны соотношением:

${displaystyle {mathcal {D}}^{mu u }={frac {1}{mu _{0}}}F^{mu u }-{mathcal {M}}^{mu u },}$

что эквивалентно определениям D и ЧАС поля, указанные выше.

Уравнения Максвелла в веществе

В результате Закон Ампера,

${displaystyle mathbf {abla } imes mathbf {H} =mathbf {J} _{ ext{free}}+{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}}$,

и Закон Гаусса,

${displaystyle mathbf {abla } cdot mathbf {D} =ho _{ ext{free}}}$,

объединить в одно уравнение:

Гаусс –Ампер закон (дело)

${displaystyle {J^{u }}_{ ext{free}}=partial _{mu }{mathcal {D}}^{mu u }}$

Связанный ток и свободный ток, как определено выше, автоматически и отдельно сохраняются.

${displaystyle partial _{u }{J^{u }}_{ ext{bound}}=0,}$

${displaystyle partial _{u }{J^{u }}_{ ext{free}}=0,.}$

Материальные уравнения

Основная статья: Материальное уравнение

Вакуум

В вакууме определяющие соотношения между тензором поля и тензором смещения следующие:

${displaystyle mu _{0}{mathcal {D}}^{mu u }=eta ^{mu alpha }F_{alpha eta }eta ^{eta u },.}$

Антисимметрия сводит эти 16 уравнений всего к шести независимым уравнениям. Потому что обычно определяют F^μν к

${displaystyle F^{mu u }=eta ^{mu alpha }F_{alpha eta }eta ^{eta u },}$

материальные уравнения могут в вакуум, в сочетании с законом Гаусса – Ампера, чтобы получить:

${displaystyle partial _{eta }F^{alpha eta }=mu _{0}J^{alpha }.!}$

Электромагнитный тензор энергии-импульса через смещение равен:

${displaystyle T_{alpha }{}^{pi }=F_{alpha eta }{mathcal {D}}^{pi eta }-{frac {1}{4}}delta _{alpha }^{pi }F_{mu u }{mathcal {D}}^{mu u },}$

куда δ_α^π это Дельта Кронекера. Когда верхний указатель опускается с помощью η, он становится симметричным и является частью источника гравитационного поля.

Линейное недисперсное вещество

Таким образом, мы уменьшили проблему моделирования тока, J^ν к двум (надеюсь) более простым задачам - моделирование свободного тока, J^ν_{свободный} и моделирование намагниченности и поляризации, ${displaystyle {mathcal {M}}^{mu u }}$. Например, в простейших материалах на низких частотах

${displaystyle mathbf {J} _{ ext{free}}=sigma mathbf {E} ,}$

${displaystyle mathbf {P} =epsilon _{0}chi _{e}mathbf {E} ,}$

${displaystyle mathbf {M} =chi _{m}mathbf {H} ,}$

где один находится в мгновенно движущейся инерциальной системе отсчета материала, σ это его электрическая проводимость, χ_е это его электрическая восприимчивость, и χ_м это его магнитная восприимчивость.

Учредительные отношения между ${displaystyle {mathcal {D}}}$ и F тензоры, предложенные Минковский для линейных материалов (то есть E является пропорциональный к D и B пропорционально ЧАС), находятся:^[5]

${displaystyle {mathcal {D}}^{mu u }u_{u }=c^{2}epsilon F^{mu u }u_{u }}$

${displaystyle {star {mathcal {D}}^{mu u }}u_{u }={frac {1}{mu }}{star F^{mu u }}u_{u }}$

куда ты - четырехскоростная скорость материала, ε и μ соответственно являются собственными диэлектрическая проницаемость и проницаемость материала (т. е. в опоре материала), ${displaystyle star }$ и обозначает Ходж Дуал.

Лагранжиан классической электродинамики

Вакуум

В Лагранжиан Плотность для классической электродинамики складывается из двух компонентов: компонента поля и компонента источника:

${displaystyle {mathcal {L}},=,{mathcal {L}}_{mathrm {field} }+{mathcal {L}}_{mathrm {int} }=-{frac {1}{4mu _{0}}}F^{alpha eta }F_{alpha eta }-A_{alpha }J^{alpha },.}$

В термине взаимодействия четырехток следует понимать как сокращение многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей в терминах их переменных; четыре-ток сам по себе не является фундаментальным полем.

В Уравнения Лагранжа для плотности электромагнитного лагранжиана ${displaystyle {mathcal {L}}(A_{alpha },partial _{eta }A_{alpha }),}$ можно сформулировать так:

${displaystyle partial _{eta }left[{frac {partial {mathcal {L}}}{partial (partial _{eta }A_{alpha })}}ight]-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial A_{alpha }}}=0,.}$

Отмечая

${displaystyle F_{mu u }=partial _{mu }A_{u }-partial _{u }A_{mu },}$,

выражение внутри квадратной скобки:

${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial {mathcal {L}}}{partial (partial _{eta }A_{alpha })}}&=- {frac {1}{4mu _{0}}} {frac {partial (F_{mu u }eta ^{mu lambda }eta ^{u sigma }F_{lambda sigma })}{partial (partial _{eta }A_{alpha })}}&=- {frac {1}{4mu _{0}}} eta ^{mu lambda }eta ^{u sigma }left(F_{lambda sigma }(delta _{mu }^{eta }delta _{u }^{alpha }-delta _{u }^{eta }delta _{mu }^{alpha })+F_{mu u }(delta _{lambda }^{eta }delta _{sigma }^{alpha }-delta _{sigma }^{eta }delta _{lambda }^{alpha })ight)&=- {frac {F^{eta alpha }}{mu _{0}}},.end{aligned}}}$

Второй член

${displaystyle {frac {partial {mathcal {L}}}{partial A_{alpha }}}=-J^{alpha },.}$

Следовательно, уравнения движения электромагнитного поля имеют вид

${displaystyle {frac {partial F^{eta alpha }}{partial x^{eta }}}=mu _{0}J^{alpha },.}$

которое является одним из приведенных выше уравнений Максвелла.

Иметь значение

Отделяя свободные токи от связанных токов, можно записать плотность лагранжиана по-другому:

${displaystyle {mathcal {L}},=,-{frac {1}{4mu _{0}}}F^{alpha eta }F_{alpha eta }-A_{alpha }J_{ ext{free}}^{alpha }+{frac {1}{2}}F_{alpha eta }{mathcal {M}}^{alpha eta },.}$

Используя уравнение Лагранжа, уравнения движения для ${displaystyle {mathcal {D}}^{mu u }}$ можно вывести.

Эквивалентное выражение в нерелятивистской векторной записи:

${displaystyle {mathcal {L}},=,{frac {1}{2}}left(epsilon _{0}E^{2}-{frac {1}{mu _{0}}}B^{2}ight)-phi ,ho _{ ext{free}}+mathbf {A} cdot mathbf {J} _{ ext{free}}+mathbf {E} cdot mathbf {P} +mathbf {B} cdot mathbf {M} ,.}$

Смотрите также

• Ковариантная классическая теория поля
• Электромагнитный тензор
• Уравнение электромагнитной волны
• Потенциал Льенара – Вихерта для заряда в произвольном движении
• Проблема с подвижным магнитом и проводником
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Proca действие
• Квантовая электродинамика
• Релятивистский электромагнетизм
• Штюкельберг действие
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Примечания и ссылки

1. Вандерлинде, Джек (2004), классическая теория электромагнетизма, Springer, стр. 313–328, ISBN  9781402026997
2. Классическая электродинамика, Джексон, 3-е издание, стр. 609
3. Классическая электродинамика Джексона, 3-е издание, глава 11 Специальная теория относительности
4. Сделано предположение, что никакие силы, кроме тех, которые возникают в E и B присутствуют, то есть нет гравитационный, слабый или сильный силы.
5. Д.Дж. Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Дорлинг Киндерсли. п. 563. ISBN  81-7758-293-3.

дальнейшее чтение

• Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория. Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8.
• Миснер, Чарльз; Thorne, Kip S .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0344-0.
• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей (четвертое исправленное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7.
• Р. П. Фейнман; Ф. Б. Моринго; В. Г. Вагнер (1995). Лекции Фейнмана по гравитации. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-62734-5.