Ковариантная формулировка классического электромагнетизма - Covariant formulation of classical electromagnetism
В ковариантный формулировка классический электромагнетизм относится к способам записи законов классического электромагнетизма (в частности, Уравнения Максвелла и Сила Лоренца ) в форме, явно инвариантной относительно Преобразования Лоренца, в формализме специальная теория относительности используя прямолинейный инерциальные системы координат. Эти выражения упрощают доказательство того, что законы классического электромагнетизма принимают одинаковую форму в любой инерциальной системе координат, а также предоставляют способ перевода полей и сил из одной системы координат в другую. Однако это не так часто, как Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени или непрямолинейные системы координат.
В этой статье используется классическая трактовка тензоров и Соглашение о суммировании Эйнштейна повсюду и Метрика Минковского имеет вид diag (+1, −1, −1, −1). Там, где уравнения заданы как удерживаемые в вакууме, можно было бы вместо этого рассматривать их как формулировку уравнений Максвелла в терминах Всего заряд и ток.
Для более общего обзора отношений между классическим электромагнетизмом и специальной теорией относительности, включая различные концептуальные значения этой картины, см. Классический электромагнетизм и специальная теория относительности.
Ковариантные объекты
Предварительные четырехвекторы
В этой статье для описания тел или частиц могут использоваться тензоры Лоренца следующих видов:
- куда γ(ты) это Фактор Лоренца на 3-х скоростной ты.
- куда 3-импульсный, это полная энергия, и является масса покоя.
- В д'Аламбертиан оператор обозначается , .
Знаки в следующем тензорном анализе зависят от соглашение используется для метрический тензор. Используемое здесь соглашение (+ − − −), соответствующий Метрический тензор Минковского:
Электромагнитный тензор
Электромагнитный тензор представляет собой комбинацию электрического и магнитного полей в ковариантную антисимметричный тензор записи которых являются величинами B-поля.[1]
и результатом повышения его показателей будет
куда E это электрическое поле, B то магнитное поле, и c то скорость света.
Четырехтоковый
Четыре-ток - это контравариантный четырехвектор, объединяющий плотность электрического заряда ρ и плотность электрического тока j:
Четырехпотенциальный
Электромагнитный четырехпотенциал - это ковариантный четырехвектор, содержащий электрический потенциал (также называемый скалярный потенциал ) ϕ и магнитный векторный потенциал (или же векторный потенциал ) А, следующим образом:
Дифференциал электромагнитного потенциала равен
На языке дифференциальные формы, что обеспечивает обобщение искривленных пространств-времени, это компоненты 1-формы и 2-форма соответственно. Здесь, это внешняя производная и то клин.
Электромагнитный тензор энергии-напряжения
Электромагнитный тензор энергии-импульса можно интерпретировать как плотность потока четырехвектора импульса и представляет собой контравариантный симметричный тензор, который представляет собой вклад электромагнитных полей в общую тензор энергии-импульса:
куда это электрическая проницаемость вакуума, μ0 это магнитная проницаемость вакуума, то Вектор Пойнтинга является
и Тензор напряжений Максвелла дан кем-то
Тензор электромагнитного поля F строит электромагнитный тензор энергии-напряжения Т уравнением:
куда η это Метрика Минковского тензор (с подписью (+ − − −)). Обратите внимание, что мы используем тот факт, что
что предсказывается уравнениями Максвелла.
Уравнения Максвелла в вакууме
В вакууме (или для микроскопических уравнений, не включая описания макроскопических материалов) уравнения Максвелла могут быть записаны в виде двух тензорных уравнений.
Два неоднородных уравнения Максвелла, Закон Гаусса и Закон Ампера (с поправкой Максвелла) объединить в (с (+ − − −) метрическая):[3]
а однородные уравнения - Закон индукции Фарадея и Закон Гаусса для магнетизма объединить в форму:
куда Fαβ это электромагнитный тензор, Jα это четырехканальный, εαβγδ это Символ Леви-Чивита, а индексы ведут себя согласно Соглашение о суммировании Эйнштейна.
Каждое из этих тензорных уравнений соответствует четырем скалярным уравнениям, по одному для каждого значения β.
С использованием антисимметричный тензор обозначения и запятые для частной производной (см. Исчисление Риччи ), второе уравнение также можно записать более компактно:
В отсутствие источников уравнения Максвелла сводятся к:
который является уравнение электромагнитной волны в тензоре напряженности поля.
Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца
В Условие калибровки Лоренца является лоренц-инвариантным калибровочным условием. (Это можно противопоставить другим калибровочные условия такой как Кулоновский калибр, который, если он держится в одном инерциальная система отсчета обычно не выполняется ни в каком другом). Он выражается в терминах четырехпотенциала следующим образом:
В калибровке Лоренца микроскопические уравнения Максвелла могут быть записаны как:
Сила Лоренца
Заряженная частица

Электромагнитные (ЭМ) поля влияют на движение электрически заряженный вопрос: из-за Сила Лоренца. Таким образом, электромагнитные поля могут быть обнаружен (с приложениями в физика элементарных частиц, и природных явлений, таких как полярные сияния ). В релятивистской форме сила Лоренца использует тензор напряженности поля следующим образом.[4]
Выражается в виде координировать время т, это:
куда пα - четырехмерный импульс, q это обвинять, и Иксβ это позиция.
Выражаясь в независимой от кадра форме, мы имеем четырехступенчатую
куда тыβ - четырехскоростная, а τ это частица подходящее время, которое связано с координатным временем соотношением dt = γdτ.
Континуум заряда

Плотность силы из-за электромагнетизма, пространственная часть которой является силой Лоренца, определяется выражением
и связана с электромагнитным тензором энергии-импульса соотношением
Законы сохранения
Электрический заряд
выражает сохранение заряда.
Электромагнитная энергия-импульс
Используя уравнения Максвелла, можно увидеть, что электромагнитный тензор энергии-напряжения (определенный выше) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, связывающему его с электромагнитным тензором и четырехвектором тока
или
который выражает сохранение количества движения и энергии за счет электромагнитных взаимодействий.
Ковариантные объекты в материи
Свободные и связанные четырехтоки
Чтобы решить приведенные здесь уравнения электромагнетизма, необходимо добавить информацию о том, как рассчитать электрический ток, Jν Часто бывает удобно разделить ток на две части, свободный ток и связанный ток, которые моделируются разными уравнениями;
куда
Макроскопические уравнения Максвелла были использованы, кроме того, определения электрическое перемещение D и магнитная напряженность ЧАС:
куда M это намагничивание и п то электрическая поляризация.
Тензор намагниченности-поляризации
Связанный ток получается из п и M поля, образующие антисимметричный контравариантный тензор намагниченности-поляризации [1]
который определяет связанный ток
Тензор электрического смещения
Если это сочетается с Fμν мы получаем антисимметричный контравариантный тензор электромагнитных смещений, который объединяет D и ЧАС следующие поля:
Три тензора поля связаны соотношением:
что эквивалентно определениям D и ЧАС поля, указанные выше.
Уравнения Максвелла в веществе
В результате Закон Ампера,
- ,
и Закон Гаусса,
- ,
объединить в одно уравнение:
Связанный ток и свободный ток, как определено выше, автоматически и отдельно сохраняются.
Материальные уравнения
Вакуум
В вакууме определяющие соотношения между тензором поля и тензором смещения следующие:
Антисимметрия сводит эти 16 уравнений всего к шести независимым уравнениям. Потому что обычно определяют Fμν к
материальные уравнения могут в вакуум, в сочетании с законом Гаусса – Ампера, чтобы получить:
Электромагнитный тензор энергии-импульса через смещение равен:
куда δαπ это Дельта Кронекера. Когда верхний указатель опускается с помощью η, он становится симметричным и является частью источника гравитационного поля.
Линейное недисперсное вещество
Таким образом, мы уменьшили проблему моделирования тока, Jν к двум (надеюсь) более простым задачам - моделирование свободного тока, Jνсвободный и моделирование намагниченности и поляризации, . Например, в простейших материалах на низких частотах
где один находится в мгновенно движущейся инерциальной системе отсчета материала, σ это его электрическая проводимость, χе это его электрическая восприимчивость, и χм это его магнитная восприимчивость.
Учредительные отношения между и F тензоры, предложенные Минковский для линейных материалов (то есть E является пропорциональный к D и B пропорционально ЧАС), находятся:[5]
куда ты - четырехскоростная скорость материала, ε и μ соответственно являются собственными диэлектрическая проницаемость и проницаемость материала (т. е. в опоре материала), и обозначает Ходж Дуал.
Лагранжиан классической электродинамики
Вакуум
В Лагранжиан Плотность для классической электродинамики складывается из двух компонентов: компонента поля и компонента источника:
В термине взаимодействия четырехток следует понимать как сокращение многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей в терминах их переменных; четыре-ток сам по себе не является фундаментальным полем.
В Уравнения Лагранжа для плотности электромагнитного лагранжиана можно сформулировать так:
Отмечая
- ,
выражение внутри квадратной скобки:
Второй член
Следовательно, уравнения движения электромагнитного поля имеют вид
которое является одним из приведенных выше уравнений Максвелла.
Иметь значение
Отделяя свободные токи от связанных токов, можно записать плотность лагранжиана по-другому:
Используя уравнение Лагранжа, уравнения движения для можно вывести.
Эквивалентное выражение в нерелятивистской векторной записи:
Смотрите также
- Ковариантная классическая теория поля
- Электромагнитный тензор
- Уравнение электромагнитной волны
- Потенциал Льенара – Вихерта для заряда в произвольном движении
- Проблема с подвижным магнитом и проводником
- Неоднородное уравнение электромагнитной волны
- Proca действие
- Квантовая электродинамика
- Релятивистский электромагнетизм
- Штюкельберг действие
- Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана
Примечания и ссылки
- ^ а б Вандерлинде, Джек (2004), классическая теория электромагнетизма, Springer, стр. 313–328, ISBN 9781402026997
- ^ Классическая электродинамика, Джексон, 3-е издание, стр. 609
- ^ Классическая электродинамика Джексона, 3-е издание, глава 11 Специальная теория относительности
- ^ Сделано предположение, что никакие силы, кроме тех, которые возникают в E и B присутствуют, то есть нет гравитационный, слабый или сильный силы.
- ^ Д.Дж. Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Дорлинг Киндерсли. п. 563. ISBN 81-7758-293-3.
дальнейшее чтение
- Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория. Нью-Йорк: Корона. ISBN 0-517-02961-8.
- Миснер, Чарльз; Thorne, Kip S .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0.
- Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей (четвертое исправленное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.
- Р. П. Фейнман; Ф. Б. Моринго; В. Г. Вагнер (1995). Лекции Фейнмана по гравитации. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-62734-5.