Четыре градиента - Four-gradient

В дифференциальная геометрия, то четырехступенчатый (или же 4-градиентный) ${\displaystyle \mathbf {\partial } }$ это четырехвекторный аналог градиент ${\displaystyle {\vec {\mathbf {\nabla } }}}$ из векторное исчисление.

В специальная теория относительности И в квантовая механика, четырехмерный градиент используется для определения свойств и отношений между различными физическими четырехвекторами и тензоры.

Обозначение

В этой статье используется (+ − − −) метрическая подпись.

SR и GR - сокращения для специальная теория относительности и общая теория относительности соответственно.

(${\displaystyle c}$) указывает скорость света в вакууме.

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$ это квартира пространство-время метрика SR.

В физике есть альтернативные способы написания четырехвекторных выражений:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$ это четырехвекторный стиль, который обычно более компактен и может использовать векторные обозначения, (например, внутреннее произведение "точка"), всегда используя полужирный верхний регистр для представления четырехвектора и полужирный нижний регистр для представления векторов с тремя пробелами, например ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$. Большинство правил векторов в трех пространствах имеют аналоги в четырехвекторной математике.

${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$ это Исчисление Риччи стиль, в котором используется обозначение тензорного индекса и полезен для более сложных выражений, особенно тех, которые включают тензоры с более чем одним индексом, например ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$.

Латинский тензорный индекс изменяется в пределах {1, 2, 3}, и представляет собой трехмерный вектор, например ${\displaystyle A^{i}=(a^{1},a^{2},a^{3})={\vec {\mathbf {a} }}}$.

Греческий тензорный индекс колеблется в {0, 1, 2, 3}, и представляет собой 4-вектор, например ${\displaystyle A^{\mu }=(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3})=\mathbf {A} }$.

В физике СТО обычно используется краткая смесь, например ${\displaystyle \mathbf {A} =(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }})}$, куда ${\displaystyle a^{0}}$ представляет собой временную составляющую и ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$ представляет собой пространственную 3-компонентную.

Тензорное сокращение, используемое в Метрика Минковского может пойти в любую сторону (см. Обозначения Эйнштейна ):^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$

Определение

4-градиентные ковариантные компоненты, компактно записанные в четырехвекторный и Исчисление Риччи обозначения:^[2][3]

${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$

В запятая в последней части выше ${\displaystyle {}_{,\mu }}$ подразумевает частичная дифференциация по 4 позиции ${\displaystyle X^{\mu }}$.

Контравариантные компоненты:^[4][5]

${\displaystyle \mathbf {\partial } =\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$

Альтернативные символы для ${\displaystyle \partial _{\alpha }}$ находятся ${\displaystyle \Box }$ и D (несмотря на то что ${\displaystyle \Box }$ также может означать ${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$, то оператор Даламбера ).

В GR необходимо использовать более общие метрический тензор ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$, а тензор ковариантная производная ${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$, (не путать с векторным 3-градиентным ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$).

Ковариантная производная ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ включает 4-градиентный ${\displaystyle \partial _{\nu }}$ плюс пространство-время кривизна эффекты через Символы Кристоффеля ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

В строгий принцип эквивалентности можно сформулировать как:^[6]

«Любой физический закон, который может быть выражен в тензорной записи в СТО, имеет точно такую ​​же форму в локально инерциальной системе отсчета искривленного пространства-времени». 4-градиентные запятые (,) в SR просто заменяются на ковариантные производные точки с запятой (;) в GR, причем связь между ними осуществляется с помощью Символы Кристоффеля. Это известно в физике относительности как «правило от запятой к точке с запятой».

Так, например, если ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ в SR, то ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$ в гр.

На (1,0) -тензоре или 4-векторе это будет:^[7]

${\displaystyle \nabla _{\beta }V^{\alpha }=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }}$

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{;\beta }=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }}$

На (2,0) -тензоре это будет:

${\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$

использование

4-градиент используется по-разному в специальная теория относительности (SR):

В этой статье все формулы верны для плоского пространства-времени. Координаты Минковского SR, но должны быть изменены для более общих криволинейных пространственных координат общая теория относительности (GR).

Как 4-дивергенция и источник законов сохранения

Расхождение это векторный оператор который создает скалярное поле со знаком, дающее количество векторное поле с источник в каждой точке.

4-дивергенция 4 позиции ${\displaystyle X^{\mu }=(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$ дает измерение из пространство-время:

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$

4-дивергенция 4-плотность тока ${\displaystyle J^{\mu }=(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }})=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})=(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }})}$ дает закон сохранения - в сохранение заряда:^[8]

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$

Это означает, что скорость изменения плотности заряда должна равняться отрицательной пространственной дивергенции плотности тока. ${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$.

Другими словами, заряд внутри ящика не может изменяться произвольно, он должен входить и выходить из ящика через ток. Это уравнение неразрывности.

4-дивергенция 4-значный поток (4-пыль) ${\displaystyle N^{\mu }=(nc,{\vec {\mathbf {n} }})=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})=(nc,n{\vec {\mathbf {u} }})}$ используется для сохранения частиц:^[9]

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$

Это закон сохранения для плотности числа частиц, как правило, что-то вроде плотности числа барионов.

4-дивергенция электромагнитный 4-потенциал ${\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ используется в Условие калибровки Лоренца:^[10]

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$

Это эквивалент закон сохранения для ЭМ 4-потенциала.

4-расходимость поперечного бесследового 2-тензора ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$ представляет собой гравитационное излучение в пределе слабого поля (т.е. свободно распространяется вдали от источника).

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$ : Поперечное состояние

является эквивалентом уравнения сохранения для свободно распространяющихся гравитационных волн.

4-дивергенция тензор энергии-импульса ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$консервированные Ток Нётер связана с пространство-время переводы, дает четыре закона сохранения в СТО:^[11]

В сохранение энергии (временное направление) и сохранение количества движения (3 отдельных пространственных направления).

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$

Часто его записывают так:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$

где подразумевается, что единственный ноль на самом деле является нулем 4-вектора ${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0}$).

Когда сохранение тензора энергии-импульса (${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$) для идеальная жидкость сочетается с сохранением плотности частиц (${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {N} =0}$), оба используют 4-градиент, можно получить релятивистские уравнения Эйлера, который в механика жидкости и астрофизика являются обобщением Уравнения Эйлера которые учитывают эффекты специальная теория относительности Эти уравнения сводятся к классическим уравнениям Эйлера, если трехмерная скорость жидкости равна значительно меньше чем скорость света, давление намного меньше, чем плотность энергии, а в последней преобладает плотность массы покоя.

В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент (релятивистский угловой момент ) также сохраняется:

${\displaystyle \partial _{\nu }(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$

где этот нуль фактически является (2,0) -тензорным нулем.

Как матрица Якоби для метрического тензора С.Р. Минковского

В Матрица якобиана это матрица всего первого порядка частные производные из вектор-функция.

4-градиентный ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ действуя на 4 позиции ${\displaystyle X^{\nu }}$ дает SR Пространство Минковского метрика ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$:^[12]

${\displaystyle \mathbf {\partial } [\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)[(ct,{\vec {x}})]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } [\mathbf {X} ]=\eta ^{\mu \nu }.}$

Для метрики Минковского компоненты ${\displaystyle [\eta ^{\mu \mu }]=1/[\eta _{\mu \mu }]}$ {${\displaystyle \mu }$ not summed}, все недиагональные компоненты равны нулю.

Для декартовой метрики Минковского это дает ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$.

В общем, ${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$, куда ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$ это 4D Дельта Кронекера.

Как способ определения преобразований Лоренца

Преобразование Лоренца записывается в тензорной форме как^[13]

${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}X^{\nu }}$

и с тех пор ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$ просто константы, тогда

${\displaystyle \partial X^{\mu '}/\partial X^{\nu }=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$

Таким образом, по определению 4-градиента

${\displaystyle \partial _{\nu }[X^{\mu '}]=(\partial /\partial X^{\nu })[X^{\mu '}]=\partial X^{\mu '}/\partial X^{\nu }=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$

Эта идентичность фундаментальна. Компоненты 4-градиента преобразуются согласно инверсии компонентов 4-векторов. Итак, 4-градиент - это «архетипическая» единичная форма.

В составе полной производной собственного времени

Скалярное произведение 4-скоростной ${\displaystyle U^{\mu }}$ с 4-градиентом дает полная производная относительно подходящее время ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$:^[14]

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } =U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma (c,{\vec {u}})\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } }$

Дело в том, что ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } }$ это Скалярный инвариант Лоренца показывает, что полная производная относительно подходящее время ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$ также является скалярным инвариантом Лоренца.

Так, например, 4-скоростной ${\displaystyle U^{\mu }}$ является производной от 4 позиции ${\displaystyle X^{\mu }}$ относительно собственного времени:

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } [\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$

или же

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}(ct,{\vec {x}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma (c,{\vec {u}})=\mathbf {U} }$

Другой пример, 4-разгон ${\displaystyle A^{\mu }}$ является производной по собственному времени 4-скоростной ${\displaystyle U^{\mu }}$:

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =(\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } [\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }[U^{\nu }]}$

${\displaystyle =U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle =\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$

или же

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$

Как способ определения тензора электромагнитного поля Фарадея и вывода уравнений Максвелла

Фарадей электромагнитный тензор ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространство-время физической системы.^{[15][16][17][18][19]}

Применяя 4-градиент для создания антисимметричного тензора, получаем:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

куда:

Электромагнитный 4-потенциал ${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$, не путать с 4-разгон ${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})}$

${\displaystyle \phi }$ это электрический скалярный потенциал, и ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$ это магнитный 3-пространственный векторный потенциал.

Снова применив 4-градиент и определив 4-плотность тока в качестве ${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }})}$ можно получить тензорную форму Уравнения Максвелла:

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$

где вторая строка - это версия Бьянки идентичность (Личность Якоби ).

Как способ определения 4-волнового вектора

А волновой вектор это вектор что помогает описать волна. Как и любой вектор, он имеет величина и направление, оба из которых важны: его величина либо волновое число или же угловое волновое число волны (обратно пропорционально длина волны ), а его направление обычно является направлением распространение волн

В 4-волновой вектор ${\displaystyle K^{\mu }}$ 4-градиент отрицательной фазы ${\displaystyle \Phi }$ (или отрицательный 4-градиент фазы) волны в пространстве Минковского:^[20]

${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {\partial } [-\Phi ]=-\mathbf {\partial } [\Phi ]}$

Это математически эквивалентно определению фаза из волна (или более конкретно плоская волна ):

${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$

где 4 позиции ${\displaystyle \mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$, ${\displaystyle \omega }$ - временная угловая частота, ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ - пространственный трехмерный волновой вектор, а ${\displaystyle \Phi }$ - скалярно-инвариантная фаза Лоренца.

${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial [\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}],-\nabla [\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla [-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$

в предположении, что плоская волна ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ не являются явными функциями ${\displaystyle t}$ или же ${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$

Явный вид плоской волны СИ ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$ можно записать как:^[21]

${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$ куда ${\displaystyle A_{n}}$ это (возможно сложный ) амплитуда.

Общая волна ${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$ будет суперпозиция кратных плоских волн:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}]=\sum _{n}[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}]}$

Снова используя 4-градиент,

${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial [Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}]=-i\mathbf {K} [Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$

или же

${\displaystyle \mathbf {\partial } =-i\mathbf {K} }$, который представляет собой 4-градиентную версию комплексный плоские волны

Как оператор Даламбера

В специальной теории относительности, электромагнетизме и теории волн оператор Даламбера, также называемый даламбертовским или волновым оператором, является оператором Лапласа пространства Минковского. Оператор назван в честь французского математика и физика Жана ле Ронда Даламбера.

Площадь ${\displaystyle \mathbf {\partial } }$ это 4-Лапласиан, который называется оператор Даламбера:^{[22][23][24][25]}

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}}$.

Поскольку это скалярное произведение двух 4-векторов, Даламбертиан является Инвариант Лоренца скаляр.

Иногда, по аналогии с трехмерной системой обозначений, символы ${\displaystyle \Box }$ и ${\displaystyle \Box ^{2}}$ используются для 4-го градиента и даламбертиана соответственно. Однако чаще всего символ ${\displaystyle \Box }$ зарезервировано для Даламбертиана.

Ниже приведены некоторые примеры 4-градиента, используемого в даламбертиане:

в Кляйн – Гордон релятивистское квантовое волновое уравнение для частиц со спином 0 (напр. бозон Хиггса ):

${\displaystyle [(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =0}$

в волновое уравнение для электромагнитное поле { с помощью Датчик Лоренца ${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=(\partial _{\mu }A^{\mu })=0}$ }:

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mathbf {0} }$ {в вакууме}

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$ {с 4-текущий источник, не включая эффекты вращения}

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$ {с квантовая электродинамика источник, включая эффекты вращения}

куда:

Электромагнитный 4-потенциал ${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$ электромагнитный векторный потенциал

4-плотность тока ${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=(\rho c,\mathbf {\vec {j}} )}$ это плотность электромагнитного тока

Дирак Гамма-матрицы ${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3})}$ обеспечить эффекты вращения

в волновое уравнение из гравитационная волна {используя аналогичный Датчик Лоренца ${\displaystyle (\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu })=0}$ }^[26]

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )h_{TT}^{\mu \nu }=0}$

куда ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$ - поперечный бесследовый 2-тензор, представляющий гравитационное излучение в пределе слабого поля (т.е. свободно распространяющееся вдали от источника).

Дополнительные условия на ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$ находятся:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$ : Чисто пространственный

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$ : Бесследный

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$ : Поперечный

В 4-х мерном варианте Функция Грина:

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )G[\mathbf {X} -\mathbf {X'} ]=\delta ^{(4)}[\mathbf {X} -\mathbf {X'} ]}$

где 4D Дельта-функция является:

${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$

Как компонент 4D теоремы Гаусса / теоремы Стокса / теоремы о расходимости

В векторное исчисление, то теорема расходимости, также известный как теорема Гаусса или теорема Остроградского, является результатом, который связывает поток (то есть поток ) из векторное поле через поверхность к поведению векторного поля внутри поверхности. Точнее, теорема о расходимости утверждает, что внешняя поток векторного поля через замкнутую поверхность равна объемный интеграл из расхождение над областью внутри поверхности. Интуитивно он утверждает, что сумма всех источников минус сумма всех стоков дает чистый поток из региона. В векторном исчислении и в более общей дифференциальной геометрии Теорема Стокса (также называемая обобщенной теоремой Стокса) - это утверждение об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях, которое одновременно упрощает и обобщает несколько теорем из векторного исчисления.

${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X(\partial _{\mu }V^{\mu })=\oint _{\partial \Omega }dS(V^{\mu }N_{\mu })}$

или же

${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {V} )=\oint _{\partial \Omega }dS(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} )}$

куда

${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$ 4-векторное поле, определенное в ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$ 4-дивергенция ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$ компонент ${\displaystyle V}$ по направлению ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Omega }$ является четырехмерной односвязной областью пространства-времени Минковского.

${\displaystyle \partial \Omega =S}$ это его трехмерная граница с собственным трехмерным элементом объема ${\displaystyle dS}$

${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$ направленный наружу нормальный

${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)(d^{3}x)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$ это элемент дифференциального объема 4D

Как компонент СТО уравнения Гамильтона – Якоби в релятивистской аналитической механике.

В Уравнение Гамильтона – Якоби (HJE) - это формулировка классической механики, эквивалентная другим формулировкам, таким как Законы движения Ньютона, Лагранжева механика и Гамильтонова механика. Уравнение Гамильтона – Якоби особенно полезно для определения сохраняющихся величин для механических систем, что может быть возможным даже тогда, когда сама механическая проблема не может быть решена полностью. HJE также является единственной формулировкой механики, в которой движение частицы может быть представлено как волна. В этом смысле HJE выполнил давнюю цель теоретической физики (датируемую, по крайней мере, Иоганном Бернулли в 18 веке) - найти аналогию между распространением света и движением частицы.

Обобщенный релятивистский импульс ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$ частицы можно записать как^[27]

${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$ и ${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

По сути, это 4-полный импульс ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$ системы; а тестовая частица в поле с использованием минимальное сцепление правило. Есть собственный импульс частицы ${\displaystyle \mathbf {P} }$, плюс импульс из-за взаимодействия с ЭМ 4-векторным потенциалом ${\displaystyle \mathbf {A} }$ через заряд частицы ${\displaystyle q}$.

Релятивистский Уравнение Гамильтона – Якоби получается, устанавливая полный импульс равным отрицательному 4-градиенту действие ${\displaystyle S}$.

${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-\mathbf {\partial } [S]}$

${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-\mathbf {\partial } [S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)[S]}$

Временная составляющая дает: ${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\mathbf {\nabla } }}[S]}$

куда ${\displaystyle H}$ гамильтониан.

На самом деле это связано с тем, что 4-волновой вектор равен отрицательному 4-му градиенту фазы сверху.${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-\mathbf {\partial } [\Phi ]}$

Чтобы получить HJE, сначала используется правило скалярного инварианта Лоренца для 4-импульса:

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$

Но из минимальное сцепление правило:

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$

Так:

${\displaystyle (\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} )\cdot (\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} )=(m_{0}c)^{2}}$

${\displaystyle (\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} )^{2}=(m_{0}c)^{2}}$

${\displaystyle (-\mathbf {\partial } [S]-q\mathbf {A} )^{2}=(m_{0}c)^{2}}$

Разбивая на временную и пространственную составляющие:

${\displaystyle (-\partial _{t}[S]/c-q\phi /c)^{2}-(\mathbf {\nabla } [S]-q\mathbf {a} )^{2}=(m_{0}c)^{2}}$

${\displaystyle (\mathbf {\nabla } [S]-q\mathbf {a} )^{2}-(1/c)^{2}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}=0}$

${\displaystyle (\mathbf {\nabla } [S]-q\mathbf {a} )^{2}-(1/c)^{2}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}=0}$

где финал - релятивистский Уравнение Гамильтона – Якоби.

Как компонент соотношений Шредингера в квантовой механике

4-градиент связан с квантовая механика.

Связь между 4-импульс ${\displaystyle \mathbf {P} }$ и 4-градиент ${\displaystyle \mathbf {\partial } }$ дает Отношения Шредингера QM.^[28]

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar \mathbf {\partial } =i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$

Временная составляющая дает: ${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

Фактически это может состоять из двух отдельных шагов.

Первый:^[29]

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$ что является полной 4-векторной версией:

(Временной компонент) Соотношение Планка – Эйнштейна ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

(Пространственные компоненты) де Бройль волна материи связь ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

Второй:^[30]

${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i\mathbf {\partial } =i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$ это просто 4-градиентная версия волновое уравнение за комплексный плоские волны

Временная составляющая дает: ${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

Как компонент ковариантной формы квантового коммутационного соотношения

В квантовой механике (физике) каноническое коммутационное соотношение является фундаментальной связью между каноническими сопряженными величинами (величинами, которые связаны по определению таким образом, что одна является преобразованием Фурье другого).

${\displaystyle [P^{\mu },X^{\nu }]=i\hbar [\partial ^{\mu },X^{\nu }]=i\hbar \partial ^{\mu }[X^{\nu }]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$^[31]

${\displaystyle [p^{j},x^{k}]=i\hbar \eta ^{jk}}$: Принимая пространственные компоненты:

${\displaystyle [p^{j},x^{k}]=-i\hbar \delta ^{jk}}$: потому что ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

${\displaystyle [x^{k},p^{j}]=i\hbar \delta ^{kj}}$: потому что ${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$

${\displaystyle [x^{j},p^{k}]=i\hbar \delta ^{jk}}$: изменение метки индексов дает обычные правила квантовой коммутации

Как компонент волновых уравнений и вероятностных токов в релятивистской квантовой механике

4-градиент является составной частью нескольких релятивистских волновых уравнений:^[32][33]

в Релятивистское квантовое волновое уравнение Клейна – Гордона для частиц со спином 0 (например, бозон Хиггса ):^[34]

${\displaystyle [(\partial ^{\mu }\partial _{\mu })+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =0}$

в Релятивистское квантовое волновое уравнение Дирака для частиц со спином 1/2 (например, электроны ):^[35]

${\displaystyle [i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}]\psi =0}$

куда ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ являются Гамма-матрицы Дирака и ${\displaystyle \psi }$ релятивистский волновая функция.

${\displaystyle \psi }$ является Скаляр Лоренца для уравнения Клейна – Гордона и спинор для уравнения Дирака.

Приятно, что сами гамма-матрицы относятся к фундаментальному аспекту СТО, метрике Минковского:^[36]

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\,}$

Сохранение плотности тока с 4-вероятностью следует из уравнения неразрывности:^[37]

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\mathbf {\nabla } }}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$

В 4-вероятностная плотность тока имеет релятивистски ковариантное выражение:^[38]

${\displaystyle J_{prob}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})}$

В 4-зарядная плотность тока это просто заряд (q), умноженный на 4-вероятностную плотность тока:^[39]

${\displaystyle J_{charge}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})}$

Как ключевой компонент при выводе квантовой механики и релятивистских квантовых волновых уравнений из специальной теории относительности

Релятивистские волновые уравнения использовать 4-векторы, чтобы быть ковариантными.^[40][41]

Начнем со стандартных 4-векторов SR:^[42]

4 позиции ${\displaystyle \mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$

4-скоростной ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})}$

4-импульс ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$

4-волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$

4-градиентный ${\displaystyle \mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)}$

Обратите внимание на следующие простые отношения из предыдущих разделов, где каждый 4-вектор связан с другим Скаляр Лоренца:

${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$, куда ${\displaystyle \tau }$ это подходящее время

${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$, куда ${\displaystyle m_{0}}$ это масса покоя

${\displaystyle \mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P} }$, какой 4-вектор версия Соотношение Планка – Эйнштейна и де Бройль волна материи связь

${\displaystyle \mathbf {\partial } =-i\mathbf {K} }$, который представляет собой 4-градиентную версию комплексный плоские волны

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

Последнее уравнение (с 4-градиентным скалярным произведением) является фундаментальным квантовым соотношением.

Применительно к скалярному полю Лоренца ${\displaystyle \psi }$, мы получаем уравнение Клейна – Гордона, самое основное из квантовых релятивистские волновые уравнения:^[43]

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =0}$

В Уравнение Шредингера это низкоскоростной предельный случай {| v | << c} из Уравнение Клейна – Гордона.^[44]

Если квантовое соотношение применяется к 4-векторному полю ${\displaystyle A^{\mu }}$ вместо скалярного поля Лоренца ${\displaystyle \psi }$, то получается Уравнение Прока:^[45]

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]A^{\mu }=0^{\mu }}$

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободный Уравнение Максвелла:

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0^{\mu }}$

Более сложные формы и взаимодействия могут быть получены с помощью минимальное сцепление правило:

Как компонент ковариантной производной RQM (внутренние пространства частиц)

В современном элементарный физика элементарных частиц, можно определить калибровочная ковариантная производная который использует дополнительные RQM-поля (внутренние пространства частиц), о которых сейчас известно.

Версия, известная из классической ЭМ (в натуральных единицах):^[46]

${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-igA^{\mu }}$

Полная ковариантная производная для фундаментальные взаимодействия из Стандартная модель что мы в настоящее время знаем (в натуральные единицы ) является:^[47]

${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-ig_{1}(Y/2)B^{\mu }-ig_{2}(\tau _{i}/2)\cdot W_{i}^{\mu }-ig_{3}(\lambda _{a}/2)\cdot G_{a}^{\mu }}$

или же

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {\partial } -ig_{1}(Y/2)\mathbf {B} -ig_{2}(\mathbf {\tau _{i}} /2)\cdot \mathbf {W_{i}} -ig_{3}(\mathbf {\lambda _{a}} /2)\cdot \mathbf {G_{a}} }$

куда:

суммы скалярных произведений (${\displaystyle \cdot }$) здесь относятся к внутренним пространствам, а не к тензорным индексам

${\displaystyle B^{\mu }}$ соответствует U (1) инвариантность = (1) Электромагнитная сила калибровочный бозон

${\displaystyle W_{i}^{\mu }}$ соответствует SU (2) инвариантность = (3) слабая сила калибровочные бозоны (я = 1, ..., 3)

${\displaystyle G_{a}^{\mu }}$ соответствует SU (3) инвариантность = (8) цветовая сила калибровочные бозоны (а = 1, ..., 8)

В константы связи ${\displaystyle (g_{1},g_{2},g_{3})}$ - произвольные числа, которые должны быть обнаружены экспериментально. Стоит подчеркнуть, что для неабелев преобразований, когда ${\displaystyle g_{i}}$ фиксированы для одного представления, они известны для всех представлений.

Эти внутренние пространства частиц были обнаружены эмпирически.^[48]

Вывод

В трех измерениях оператор градиента отображает скалярное поле в векторное поле таким образом, что линейный интеграл между любыми двумя точками в векторном поле равен разнице между скалярным полем в этих двух точках. Исходя из этого, он может появляться неправильно что естественное расширение градиента до четырех измерений должен быть:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }\ =?=\left({\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)}$

неверный

Однако линейный интеграл включает применение векторного скалярного произведения, и когда это расширяется до 4-мерного пространства-времени, изменение знака вводится либо для пространственных координат, либо для временной координаты в зависимости от используемого соглашения. Это связано с неевклидовой природой пространства-времени. В этой статье мы ставим знак минус для пространственных координат (соглашение о положительных по времени показателях ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$). Фактор (1 /c) сохранить правильную единичная размерность {1 / [length]} для всех компонентов 4-вектора, а (−1) - сохранить 4-градиент Ковариант Лоренца. Добавление этих двух поправок к приведенному выше выражению дает правильный определение 4-х градиентной:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)}$

правильный

^[49][50]

Смотрите также

• четырехвекторный
• четырехпозиционный
• четырехскоростной
• четырехскоростной
• четырехимпульсный
• четыре силы
• четырехканальный
• четырехпотенциальный
• четырехчастотный
• четырехволновой вектор
• четыре вращения
• Исчисление Риччи
• Обозначение индекса
• Тензор
• Антисимметричный тензор
• Обозначения Эйнштейна
• Повышение и понижение показателей
• Обозначение абстрактного индекса
• Ковариация и контравариантность векторов

Примечание о ссылках

Что касается использования скаляров, 4-векторов и тензоров в физике, разные авторы используют несколько разные обозначения для одних и тех же уравнений. Например, некоторые используют ${\displaystyle m}$ для инвариантной массы покоя другие используют ${\displaystyle m_{0}}$ для инвариантной массы покоя и использования ${\displaystyle m}$ для релятивистской массы. Многие авторы устанавливают факторы ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle \hbar }$ и ${\displaystyle G}$ к безразмерному единству. Другие показывают некоторые или все константы. Некоторые авторы используют ${\displaystyle v}$ для скорости, другие используют ${\displaystyle u}$. Некоторые используют ${\displaystyle K}$ как 4-волновой вектор (чтобы выбрать произвольный пример). Другие используют ${\displaystyle k}$ или же ${\displaystyle \mathbf {K} }$ или же ${\displaystyle k^{\mu }}$ или же ${\displaystyle k_{\mu }}$ или же ${\displaystyle K^{\nu }}$ или же ${\displaystyle N}$и т. д. Некоторые пишут 4-волновой вектор как ${\displaystyle ({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} )}$, некоторые как ${\displaystyle (\mathbf {k} ,{\frac {\omega }{c}})}$ или же ${\displaystyle (k^{0},\mathbf {k} )}$ или же ${\displaystyle (k^{0},k^{1},k^{2},k^{3})}$ или же ${\displaystyle (k^{1},k^{2},k^{3},k^{4})}$ или же ${\displaystyle (k_{t},k_{x},k_{y},k_{z})}$или же ${\displaystyle (k^{1},k^{2},k^{3},ik^{4})}$. Некоторые будут следить за тем, чтобы единицы измерения совпадали по 4-вектору, другие - нет. Некоторые относятся к временной составляющей в имени 4-вектора, другие относятся к пространственной составляющей в имени 4-вектора. Некоторые смешивают это на протяжении всей книги, иногда используют одно, а потом - другое. Некоторые используют метрику (+ − − −), другие используют метрику (− + + +). Некоторые не используют 4-вектора, но делают все как в старом стиле E и 3-пространственный вектор п. Дело в том, что это всего лишь стили обозначений, некоторые из которых более четкие и лаконичные, чем другие. Физика остается той же, пока используется единый стиль на протяжении всего процесса.^[51]

Рекомендации

1. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 56, 151–152, 158–161. ISBN  0-19-853952-5.
2. Кембриджский справочник по физическим формулам, Г. Воан, Cambridge University Press, 2010 г., ISBN  978-0-521-57507-2
3. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 16. ISBN  0-201-62460-5.
4. Кембриджский справочник по физическим формулам, Г. Воан, Cambridge University Press, 2010 г., ISBN  978-0-521-57507-2
5. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 16. ISBN  0-201-62460-5.
6. Шульц, Бернард Ф. (1985). Первый курс общей теории относительности (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 184. ISBN  0-521-27703-5.
7. Шульц, Бернард Ф. (1985). Первый курс общей теории относительности (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 136–139. ISBN  0-521-27703-5.
8. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 103–107. ISBN  0-19-853952-5.
9. Шульц, Бернард Ф. (1985). Первый курс общей теории относительности (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 90–110. ISBN  0-521-27703-5.
10. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 105–107. ISBN  0-19-853952-5.
11. Шульц, Бернард Ф. (1985). Первый курс общей теории относительности (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 101–106. ISBN  0-521-27703-5.
12. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 16. ISBN  0-201-62460-5.
13. Шульц, Бернард Ф. (1985). Первый курс общей теории относительности (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 69. ISBN  0-521-27703-5.
14. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 58–59. ISBN  0-19-853952-5.
15. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 101–128. ISBN  0-19-853952-5.
16. Садбери, Энтони (1986). Квантовая механика и частицы природы: очерк для математиков (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п.314. ISBN  0-521-27765-5.
17. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 17–18. ISBN  0-201-62460-5.
18. Кэрролл, Шон М. (2004). Введение в общую теорию относительности: пространство-время и геометрия (1-е изд.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 29–30. ISBN  0-8053-8732-3.
19. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 4. ISBN  3-540-67457-8.
20. Кэрролл, Шон М. (2004). Введение в общую теорию относительности: пространство-время и геометрия (1-е изд.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 387. ISBN  0-8053-8732-3.
21. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 9. ISBN  3-540-67457-8.
22. Садбери, Энтони (1986). Квантовая механика и частицы природы: очерк для математиков (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п.300. ISBN  0-521-27765-5.
23. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 17–18. ISBN  0-201-62460-5.
24. Кэрролл, Шон М. (2004). Введение в общую теорию относительности: пространство-время и геометрия (1-е изд.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 41. ISBN  0-8053-8732-3.
25. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 4. ISBN  3-540-67457-8.
26. Кэрролл, Шон М. (2004). Введение в общую теорию относительности: пространство-время и геометрия (1-е изд.). Эддисон-Уэсли Паблишинг Ко., Стр. 274–322. ISBN  0-8053-8732-3.
27. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 93–96. ISBN  0-19-853952-5.
28. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. С. 3–5. ISBN  3-540-67457-8.
29. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 82–84. ISBN  0-19-853952-5.
30. Садбери, Энтони (1986). Квантовая механика и частицы природы: очерк для математиков (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п.300. ISBN  0-521-27765-5.
31. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 4. ISBN  3-540-67457-8.
32. Садбери, Энтони (1986). Квантовая механика и частицы природы: очерк для математиков (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр.300–309. ISBN  0-521-27765-5.
33. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 25, 30–31, 55–69. ISBN  0-201-62460-5.
34. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 5. ISBN  3-540-67457-8.
35. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 130. ISBN  3-540-67457-8.
36. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 129. ISBN  3-540-67457-8.
37. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 6. ISBN  3-540-67457-8.
38. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 6. ISBN  3-540-67457-8.
39. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 8. ISBN  3-540-67457-8.
40. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN  0-201-62460-5.
41. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. ISBN  3-540-67457-8.
42. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. ISBN  0-19-853952-5.
43. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. С. 5–8. ISBN  3-540-67457-8.
44. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. С. 7–8. ISBN  3-540-67457-8.
45. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. п. 361. ISBN  3-540-67457-8.
46. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 39. ISBN  0-201-62460-5.
47. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Эддисон-Уэсли Паблишинг Ко., Стр. 35–53. ISBN  0-201-62460-5.
48. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 47. ISBN  0-201-62460-5.
49. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 55–56. ISBN  0-19-853952-5.
50. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (Обновленная ред.). Addison-Wesley Publishing Co., стр. 16. ISBN  0-201-62460-5.
51. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. С. 2–4. ISBN  3-540-67457-8.

дальнейшее чтение

• С. Хильдебрандт, «Анализ II» (Calculus II), ISBN  3-540-43970-6, 2003
• L.C. Эванс, "Уравнения с частными производными", A.M.Society, Grad.Studies Vol.19, 1988 г.
• Дж. Д. Джексон, "Классическая электродинамика", глава 11, Wiley ISBN  0-471-30932-X