Четыре силы - Four-force

в специальная теория относительности, четыре силы это четырехвекторный который заменяет классический сила.

В специальной теории относительности

Четыре силы определяются как скорость изменения четырехимпульсный частицы по отношению к подходящее время:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {P} \over \mathrm {d} \tau }}$.

Для частицы постоянного инвариантная масса ${\displaystyle m>0}$, ${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {U} }$ куда ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )}$ это четырехскоростной, так что мы можем связать четыре силы с четырехскоростной ${\displaystyle \mathbf {A} }$ как в Второй закон Ньютона:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right)}$.

Здесь

${\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}}$

и

${\displaystyle {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma mc^{2}\right)={\mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.}$

куда ${\displaystyle \mathbf {u} }$, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и ${\displaystyle \mathbf {f} }$ находятся 3-х местный векторы, описывающие скорость, импульс частицы и силу, действующую на нее соответственно.

Включая термодинамические взаимодействия

Из формул предыдущего раздела следует, что временная составляющая четырехсилы - это затраченная мощность, ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$, кроме релятивистских поправок ${\displaystyle \gamma /c}$. Это верно только в чисто механических ситуациях, когда теплообмен отсутствует или им можно пренебречь.

В полном термомеханическом корпусе не только работай, но также высокая температура способствует изменению энергии, которая является временной составляющей ковектор энергия-импульс. Временная составляющая четырехсилы включает в этом случае скорость нагрева ${\displaystyle h}$кроме власти ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$.^[1] Обратите внимание, что работа и тепло не могут быть осмысленно разделены, поскольку они оба обладают инерцией.^[2] Этот факт распространяется и на контактные силы, т.е. тензор энергии-импульса.^[3][2]

Следовательно, в термомеханических ситуациях временная составляющая четырехсилы равна нет пропорционально мощности ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ но имеет более общее выражение, которое следует приводить в каждом конкретном случае, которое представляет собой запас внутренней энергии за счет комбинации работы и тепла,^[2][1][4][3] и который в ньютоновском пределе становится ${\displaystyle h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$.

В общей теории относительности

В общая теория относительности соотношение между четырьмя силами и четырехскоростной остается прежним, но элементы четырехсилового соотношения относятся к элементам четырехимпульсный через ковариантная производная относительно надлежащего времени.

${\displaystyle F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }}$

Кроме того, мы можем сформулировать силу, используя концепцию преобразования координат между разными системами координат. Предположим, что мы знаем правильное выражение для силы в системе координат, в которой частица на мгновение находится в состоянии покоя. Затем мы можем выполнить преобразование в другую систему, чтобы получить соответствующее выражение силы.^[5] В специальная теория относительности преобразование будет преобразованием Лоренца между системами координат, движущимися с относительной постоянной скоростью, тогда как в общая теория относительности это будет преобразование общих координат.

Рассмотрим четыре силы ${\displaystyle F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F} )}$ действуя на частицу массы ${\displaystyle m}$ который на мгновение покоится в системе координат. Релятивистская сила ${\displaystyle f^{\mu }}$ в другой системе координат движется с постоянной скоростью ${\displaystyle v}$, относительно другого, получается с помощью преобразования Лоренца:

${\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathbf {F} }+(\gamma -1){\mathbf {v} }{{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {F} } \over v^{2}},}$

${\displaystyle f^{0}=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$.

В общая теория относительности, выражение для силы принимает вид

${\displaystyle f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }}$

с ковариантная производная ${\displaystyle D/d\tau }$. Уравнение движения становится

${\displaystyle m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau },}$

куда ${\displaystyle \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }}$ это Символ Кристоффеля. Если нет внешней силы, это становится уравнением для геодезические в искривленное пространство-время. Второй член в приведенном выше уравнении играет роль силы тяжести. Если ${\displaystyle f_{f}^{\alpha }}$ - правильное выражение силы в свободно падающей системе отсчета ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$, тогда мы можем использовать принцип эквивалентности записать четверку в произвольной координате ${\displaystyle x^{\mu }}$:

${\displaystyle f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.}$

Примеры

В специальной теории относительности Лоренц четырехступенчатый (четыре силы, действующие на заряженную частицу, находящуюся в электромагнитном поле) можно выразить как:

${\displaystyle F_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu }}$,

куда

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ это электромагнитный тензор,
• ${\displaystyle U^{\nu }}$ это четырехскоростной, и
• ${\displaystyle q}$ это электрический заряд.

Смотрите также

• четырехвекторный
• четырехскоростной
• четырехскоростной
• четырехимпульсный
• четырехступенчатый

Рекомендации

1. Грот, Ричард А .; Эринген, А. Джемаль (1966). «Релятивистская механика сплошных сред: Часть I - Механика и термодинамика». Int. J. Engng Sci. 4 (6): 611–638, 664. Дои:10.1016/0020-7225(66)90008-5.
2. Эккарт, Карл (1940). «Термодинамика необратимых процессов. III. Релятивистская теория простой жидкости». Phys. Rev. 58 (10): 919–924. Bibcode:1940PhRv ... 58..919E. Дои:10.1103 / PhysRev.58.919.
3. К. А. Трусделл, Р. А. Тупен: Классические теории поля (в С. Флюгге (ред.): Энциклопедия физики, Vol. III-1, Springer 1960). §§152–154 и 288–289.
4. Maugin, Жерар А. (1978). «О ковариантных уравнениях релятивистской электродинамики сплошных сред. I. Общие уравнения». J. Math. Phys. 19 (5): 1198–1205. Bibcode:1978JMP .... 19.1198M. Дои:10.1063/1.523785.
5. Стивен, Вайнберг (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности. John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-92567-5.

• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853953-3.