Вероятность тока - Probability current

В квантовая механика, то ток вероятности (иногда называют вероятность поток) - математическая величина, описывающая поток вероятность с точки зрения вероятности в единицу времени на единицу площади. В частности, если описать плотность вероятности как неоднородный жидкость, то ток вероятности - это скорость потока этой жидкости. Это аналогично массовые токи в гидродинамика и электрические токи в электромагнетизм. Это настоящий вектор, как электрический плотность тока. Концепция тока вероятности - полезный формализм в квантовой механике. Ток вероятности инвариантный под Преобразование датчика.

Определение (нерелятивистский 3-токовый)

Частица со свободным спином 0

В нерелятивистской квантовой механике ток вероятности j из волновая функция ${\displaystyle \Psi }$ в одном измерении определяется как ^[1]

${\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right),}$

куда ${\displaystyle \Psi ^{*}}$ обозначает комплексно сопряженный из волновая функция, пропорциональный Вронскиан ${\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*})}$.

В трех измерениях это обобщается на

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\,,}$

куда час сокращенный Постоянная Планка, м это частица масса, Ψ это волновая функция, а ∇ обозначает дель или же градиент оператор.

Это можно упростить с точки зрения оператор кинетического момента,

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$

чтобы получить

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.}$

В этих определениях используется позиционный базис (т.е. для волновой функции в позиционное пространство ), но импульсное пространство возможно.

Частица со спином 0 в электромагнитном поле

Основные статьи: электромагнитное поле и кинетический импульс

Приведенное выше определение следует изменить для системы во внешнем электромагнитное поле. В Единицы СИ, а заряженная частица массы м и электрический заряд q включает член, связанный с взаимодействием с электромагнитным полем;^[2]

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!}$

куда А = А(р, t) - это магнитный потенциал (он же "А-поле "). Термин qА имеет размеры импульса. Обратите внимание, что ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ здесь используется канонический импульс и не калибровочный инвариант, в отличие от оператор кинетического момента ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$.

В Гауссовы единицы:

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!}$

куда c это скорость света.

Вращение-s частица в электромагнитном поле

Если частица имеет вращение, ему соответствует магнитный момент, поэтому необходимо добавить дополнительный член, включающий спиновое взаимодействие с электромагнитным полем. В единицах СИ:^[3]

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!}$

куда S это вращение вектор частицы с соответствующим спиновым магнитным моментом μ_S и квантовое число спина s. В гауссовых единицах:

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!}$

Связь с классической механикой

Волновую функцию также можно записать в виде сложный экспоненциальный (полярный ) форма:^[4]

${\displaystyle \Psi =Re^{iS/\hbar }}$

куда р и S настоящие функции р и т.

Написанная таким образом, плотность вероятности равна

${\displaystyle \rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}}$

а ток вероятности равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)-Re^{iS/\hbar }(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)\right].\end{aligned}}}$

Показатели и р∇р условия отменить:

${\displaystyle ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].}$

Наконец, объединяя и отменяя константы, и заменяя р² с ρ,

${\displaystyle \mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}.}$

Если взять знакомую формулу тока:

${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,}$

куда v - скорость частицы (также групповая скорость волны), мы можем связать скорость с ∇См / м, что то же самое, что приравнять ∇S с классическим импульсом п = мv. Это толкование согласуется с Теория Гамильтона – Якоби, в котором

${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$

в декартовых координатах определяется как ∇S, куда S является Основная функция Гамильтона.

Мотивация

Уравнение неразрывности для квантовой механики

Основная статья: уравнение неразрывности

Определение вероятностного тока и уравнение Шредингера можно использовать для вывода уравнение неразрывности, у которого есть точно те же формы, что и для гидродинамика и электромагнетизм:^[5]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} =0}$

где плотность вероятности ${\displaystyle \rho \,}$ определяется как

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,}$.

Если интегрировать обе части уравнения неразрывности по объему, так что

${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0}$

затем теорема расходимости следует, что уравнение неразрывности эквивалентно интегральное уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$

где V любой объем и S граница V. Это закон сохранения для вероятности в квантовой механике.

В частности, если Ψ - волновая функция, описывающая отдельную частицу, интеграл в первом члене предыдущего уравнения, без производной по времени, - это вероятность получения значения в пределах V при измерении положения частицы. Второй член - это скорость, с которой вероятность истекает из объема. V. В целом уравнение утверждает, что производная по времени от вероятности измерения частицы в V равна скорости, с которой вероятность входит в V.

Передача и отражение через потенциалы

Основные статьи: Коэффициент передачи и Коэффициент отражения.

В регионах, где ступенчатый потенциал или же потенциальный барьер происходит, ток вероятности связан с коэффициентами передачи и отражения соответственно Т и р; они измеряют степень отражения частиц от потенциального барьера или прохождения через него. Оба удовлетворяют:

${\displaystyle T+R=1\,,}$

куда Т и р можно определить как:

${\displaystyle T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,}$

куда j_inc, j_ссылка и j_транс - падающий, отраженный и прошедший вероятностные токи соответственно, а вертикальные полосы указывают величины текущих векторов. Связь между Т и р можно получить из сохранения вероятности:

${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.}$

С точки зрения единичный вектор п нормальный к преграде это эквивалентно:

${\displaystyle T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,}$

где абсолютные значения требуются для предотвращения Т и р быть отрицательным.

Примеры

Плоская волна

Основная статья: плоская волна

Для плоская волна распространяется в космосе:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}}$

плотность вероятности везде постоянна;

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0}$

(то есть плоские волны стационарные состояния ) но ток вероятности отличен от нуля - квадрат абсолютной амплитуды волны, умноженный на скорость частицы;

${\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v} }$

иллюстрирующий, что частица может двигаться, даже если ее пространственная плотность вероятности не имеет явной зависимости от времени.

Частица в коробке

Для частица в коробке, в одном пространственном измерении и длиной L, приуроченные к региону;

${\displaystyle 0<x<L\,\!}$

собственные состояния энергии

${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$

и ноль в других местах. Соответствующие токи вероятности

${\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$

поскольку

${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$

Дискретное определение

Для частицы в одном измерении на ${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)}$, имеем гамильтониан ${\displaystyle H=-\Delta +V}$ куда ${\displaystyle -\Delta \equiv 2I-S-S^{\ast }}$ - дискретный лапласиан, причем ${\displaystyle S}$ быть оператором сдвига вправо на ${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)}$. Тогда ток вероятности определяется как ${\displaystyle j\equiv 2\Im \{{\bar {\Psi }}iv\Psi \}}$, с ${\displaystyle v}$ оператор скорости, равный ${\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]}$ и ${\displaystyle X}$ оператор позиции на ${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)}$. С ${\displaystyle V}$ обычно является оператором умножения на ${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)}$, мы можем безопасно написать ${\displaystyle -i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-S-S^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }}$.

В результате находим: ${\displaystyle j\left(x\right)\equiv 2\Im \{{\bar {\Psi }}(x)iv\Psi (x)\}=2\Im \{{\bar {\Psi }}(x)\left((-S\Psi )(x)+(S^{\ast }\Psi )(x)\right)\}=2\Im \{{\bar {\Psi }}(x)\left(-\Psi (x-1)+\Psi (x+1)\right)\}}$

Рекомендации

1. Квантовая теория поля, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2008, ISBN  978-0-07-154382-8
2. Квантовая механика, Ballentine, Leslie E, Vol. 280, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1990.
3. Квантовая механика, Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum’s Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN  978-0-07-145533-6
4. Аналитическая механика, Л. Хэнд, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008 г., ISBN  978-0-521-57572-0
5. Квантовая механика, Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0

• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0