Интегральное уравнение - Integral equation

Для уравнений целое число неизвестные, см. Диофантово уравнение.

В математика, интегральные уравнения уравнения, в которых неизвестная функция появляется под интеграл знак.

Существует тесная связь между дифференциал и интегральные уравнения, и некоторые проблемы могут быть сформулированы так или иначе. См., Например, Функция Грина, Теория Фредгольма, и Уравнения Максвелла.

Обзор

Самый основной тип интегрального уравнения называется Уравнение фредгольма первого типа,

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.}$

Обозначения следующие Arfken. Здесь φ неизвестная функция,  ж  - известная функция, и K - еще одна известная функция двух переменных, часто называемая ядро функция. Обратите внимание, что пределы интегрирования постоянны: это то, что характеризует уравнение Фредгольма.

Если неизвестная функция встречается как внутри, так и вне интеграла, уравнение известно как Уравнение Фредгольма второго типа,

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.}$

Параметр λ неизвестный фактор, который играет ту же роль, что и собственное значение в линейная алгебра.

Если один предел интегрирования является переменной, уравнение называется Уравнение Вольтерра. Следующие называются Уравнения Вольтерра первого и второго типов, соответственно,

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt}$

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.}$

Во всем вышесказанном, если известная функция  ж  тождественно нулю, уравнение называется однородное интегральное уравнение. Если  ж  отличен от нуля, он называется неоднородное интегральное уравнение.

Численное решение

Стоит отметить, что интегральные уравнения часто не имеют аналитического решения и должны решаться численно. Примером этого является оценка Интегральное уравнение электрического поля (EFIE) или Интегральное уравнение магнитного поля (MFIE) над объектом произвольной формы в задаче электромагнитного рассеяния.

Один из методов численного решения требует дискретизации переменных и замены интеграла квадратурным правилом.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\cdots ,n.}$

Тогда у нас есть система с п уравнения и п переменные. Решая его, мы получаем значение п переменные

${\displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),\cdots ,u(t_{n}).}$

Классификация

Интегральные уравнения классифицируются по трем разным дихотомиям, составляющим восемь различных видов:

Пределы интеграции

• оба исправлены: Уравнение фредгольма
• одна переменная: Уравнение Вольтерра

Размещение неизвестной функции

• только внутри интеграла: первый вид
• как внутри, так и снаружи интегральные: второй вид

Природа известной функции  ж 

• тождественно ноль: однородный
• не тождественно ноль: неоднородный

Интегральные уравнения важны во многих приложениях. Проблемы, в которых встречаются интегральные уравнения, включают: перенос излучения, а колебание струны, мембраны или оси. Проблемы с колебаниями также могут быть решены как дифференциальные уравнения.

Как уравнения Фредгольма, так и уравнения Вольтерра являются линейными интегральными уравнениями из-за линейного поведения φ(Икс) под интегралом. Нелинейное интегральное уравнение Вольтерра имеет общий вид:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt,}$

где F - известная функция.

Интегральные уравнения Винера – Хопфа.

Основная статья: Метод Винера – Хопфа

${\displaystyle y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)x(s)ds,\qquad 0\leq t<\infty .}$

Первоначально такие уравнения изучались в связи с задачами переноса излучения, а в последнее время они были связаны с решением граничных интегральных уравнений для плоских задач, в которых граница является только кусочно-гладкой.

Решение степенного ряда для интегральных уравнений

Во многих случаях, если ядро ​​интегрального уравнения имеет вид K(xt) и Преобразование Меллина из K(т) существует, можно найти решение интегрального уравнения

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }dtK(st)f(t)}$

в виде степенного ряда

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}t^{n}}$

где

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n},\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }dtK(t)t^{n}}$

являются Z-преобразование функции грамм(s), и M(п + 1) - преобразование Меллина ядра.

Смотрите также: Лиувилля – Неймана.

Интегральные уравнения как обобщение уравнений на собственные значения

Некоторые однородные линейные интегральные уравнения можно рассматривать как непрерывный предел уравнения на собственные значения. С помощью индексное обозначение, уравнение на собственные значения можно записать как

${\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}}$

где M = [M_{я, j}] матрица, v является одним из его собственных векторов, а λ - соответствующее собственное значение.

Переходя к континуальному пределу, т. Е. Заменяя дискретные индексы я и j с непрерывными переменными Икс и у, дает

${\displaystyle \int K(x,y)\varphi (y)\mathrm {d} y=\lambda \varphi (x),}$

где сумма больше j заменен интегралом по у и матрица M и вектор v были заменены ядро K(Икс, у) и собственная функция φ(у). (Пределы интеграла фиксированы, аналогично пределам суммы по j.) Это дает линейное однородное уравнение Фредгольма второго типа.

В целом, K(Икс, у) может быть распространение, а не функцию в строгом смысле слова. Если распределение K имеет поддержку только в точке Икс = у, то интегральное уравнение сводится к дифференциальное уравнение на собственные функции.

В общем случае интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма могут возникать из одного дифференциального уравнения, в зависимости от того, какие условия применяются на границе области его решения.

Дальнейшая информация: Теория Фредгольма

Приложения

• Актуарная наука (теория разорения^[1])
• Вычислительная электромагнетизм
  • Метод граничных элементов
• Обратные задачи
  • Уравнение марченко (обратное преобразование рассеяния )
• Стоимость опционов ниже скачок-диффузия^[2]
• Радиационный перенос
• Вязкоупругость

Смотрите также

• Дифференциальное уравнение
• Интегро-дифференциальное уравнение
• Теория разорения
• Интегральное уравнение Вольтерра

Рекомендации

1. «Конспект лекций по теории риска» (PDF). 2010.
2. Sachs, E.W .; Штраус, А. К. (01.11.2008). «Эффективное решение частного интегро-дифференциального уравнения в финансах». Прикладная вычислительная математика. 58 (11): 1687–1703. Дои:10.1016 / j.apnum.2007.11.002. ISSN  0168-9274.

дальнейшее чтение

• Кендалл Э. Аткинсон Численное решение интегральных уравнений второго рода.. Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, 1997.
• Джордж Арфкен и Ганс Вебер. Математические методы для физиков. Харкорт / Академик Пресс, 2000.
• Гарри Бейтман (1910) История и современное состояние теории интегральных уравнений, Отчет из Британская ассоциация.
• Андрей Д. Полянин и Александр В. Манжиров Справочник интегральных уравнений. CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN  0-8493-2876-4.
• Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон. Курс современного анализа Кембриджская математическая библиотека.
• М. Краснов, А. Киселев, Г. Макаренко, Задачи и упражнения по интегральным уравнениямМ .: Мир, 1971.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Глава 19. Интегральные уравнения и обратная теория». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.

внешняя ссылка

• Интегральные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Интегральные уравнения: индекс в EqWorld: мир математических уравнений.
• «Интегральное уравнение», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Интегральные уравнения (MIT OpenCourseWare )