Векторное обозначение - Vector notation

Векторное обозначение
Векторная стрелка Указывая от А к B Компоненты вектора Описание вектора стрелки v по его координатам Икс и у дает изоморфизм векторных пространств.
Скалярное произведение Две одинаковые последовательности векторов координат и возвращает одно число Векторный продукт Кросс-произведение относительно правой системы координат

Векторное обозначение обычно используется математическая запись для работы с математическими векторами,^[1][2] который может быть геометрические векторы или члены из векторные пространства.

Для представления вектора общий типографское соглашение нижний регистр, прямой жирный шрифт, как в ты, v и ш.^[3] В Международная организация по стандартизации (ISO) рекомендует полужирный курсив с засечками, как в v или а, или полужирный курсив с засечками, подчеркнутый стрелкой вправо, как в ${displaystyle {vec {v}}}$ или ${displaystyle {vec {a}}}$.^[4] Это обозначение стрелок для векторов обычно используется в почерке, где полужирный шрифт нецелесообразен. Стрелка представляет обозначение стрелкой вправо или гарпуны. Стенографические обозначения включают тильды и прямые линии размещаются соответственно ниже или выше имени вектора.

В высшей математике векторы часто представлены простым курсивом, как и любые другие. переменная.

История

Концепция вектор был придуман В. Р. Гамильтон около 1843 г., как он показал кватернионы, система, которая использует векторы и скаляры для покрытия четырехмерного пространства. Для кватерниона q = а + бя + cj + dk, Гамильтон использовал две проекции: S q = а, для скалярной части q, и V q = бя + cj + dk, векторная часть. Используя современные термины перекрестное произведение (×) и скалярное произведение (.), кватернионный продукт двух векторов п и q можно написать pq = –п.q + п×q. В 1878 г. В. К. Клиффорд разделил два продукта, чтобы сделать операцию кватерниона полезной для студентов в своем учебнике Элементы динамического. Читает лекции на Йельский университет, Джозайя Уиллард Гиббс предоставленные обозначения для скалярное произведение и векторные продукты, который был введен в Векторный анализ.^[5]

В 1891 г. Оливер Хевисайд выступал за Clarendon отличать векторы от скаляров. Он критиковал использование Греческие буквы Тэйтом и Готические буквы пользователя Максвелл.^[6]

В 1912 году Дж. Б. Шоу опубликовал свою «Сравнительную нотацию векторных выражений» Бюллетень из Общество Кватерниона.^[7] Впоследствии Александр Макфарлейн описали 15 критериев четкой экспрессии с векторами в той же публикации.^[8]

Векторные идеи были продвинуты Герман Грассманн в 1841 г., а затем в 1862 г. немецкий язык. Но немецких математиков не так увлекали кватернионы, как англоязычных математиков. Когда Феликс Кляйн организовывал Немецкая математическая энциклопедия, он назначил Арнольд Зоммерфельд стандартизировать векторные обозначения.^[9] В 1950 году, когда Академическая пресса опубликовал перевод Г. Куэрти второго издания 2-го тома Лекции по теоретической физике Зоммерфельда, векторные обозначения были предметом сноски: «В оригинальном немецком тексте векторы и их компоненты напечатаны теми же готическими шрифтами. Для этого перевода был принят более обычный способ проведения типографских различий между ними ".^[10]

Прямоугольные векторы

Прямоугольник

Прямоугольный кубоид

Прямоугольный вектор - это вектор координат определяется компонентами, которые определяют прямоугольник (или прямоугольная призма в трех измерениях и аналогичные формы в больших размерах). Начальная и конечная точки вектора лежат на противоположных концах прямоугольника (или призмы и т. Д.).

Обозначение упорядоченного множества

Прямоугольный вектор в ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ можно указать с помощью заказанного набор компонентов, заключенных в круглые или угловые скобки.

В общем смысле п-мерный вектор v можно указать в любой из следующих форм:

• ${displaystyle mathbf {v} =(v_{1},v_{2},dots ,v_{n-1},v_{n})}$
• ${displaystyle mathbf {v} =langle v_{1},v_{2},dots ,v_{n-1},v_{n}angle }$

куда v₁, v₂, …, v_п − 1, v_п компоненты v.^[11]

Матричные обозначения

Прямоугольный вектор в ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ также можно указать как строку или столбец матрица содержащий упорядоченный набор компонентов. Вектор, заданный как матрица-строка, известен как вектор строки; одна, указанная как матрица столбцов, известна как вектор столбца.

Опять же п-мерный вектор ${displaystyle mathbf {v} }$ могут быть указаны в любой из следующих форм с использованием матриц:

• ${displaystyle mathbf {v} =left[{egin{matrix}v_{1}&v_{2}&cdots &v_{n-1}&v_{n}end{matrix}}ight]=left({egin{matrix}v_{1}&v_{2}&cdots &v_{n-1}&v_{n}end{matrix}}ight)}$
• ${displaystyle mathbf {v} =left[{egin{matrix}v_{1}v_{2}vdots v_{n-1}v_{n}end{matrix}}ight]=left({egin{matrix}v_{1}v_{2}vdots v_{n-1}v_{n}end{matrix}}ight)}$

где v₁, v₂, …, v_п − 1, v_п компоненты v. В некоторых расширенных контекстах строка и вектор-столбец имеют разное значение; увидеть ковариация и контравариантность векторов для большего.

Обозначение единичного вектора

Прямоугольный вектор в ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ (или меньшее количество измерений, например ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ где v_z ниже равно нулю) может быть определена как сумма скалярных кратных компонентов вектора с членами стандартного основа в ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$. Основа представлена единичные векторы ${displaystyle {oldsymbol {hat {imath }}}=(1,0,0)}$, ${displaystyle {oldsymbol {hat {jmath }}}=(0,1,0)}$, и ${displaystyle {oldsymbol {hat {k}}}=(0,0,1)}$.

Трехмерный вектор ${displaystyle {oldsymbol {v}}}$ можно указать в следующей форме, используя обозначение единичного вектора:

• ${displaystyle mathbf {v} =v_{x}{oldsymbol {hat {imath }}}+v_{y}{oldsymbol {hat {jmath }}}+v_{z}{oldsymbol {hat {k}}}}$

куда v_Икс, v_у, и v_z скалярные компоненты v. Скалярные компоненты могут быть положительными или отрицательными; абсолютное значение скалярной компоненты - это ее величина.

Полярные векторы

Не путать с Полярный вектор, истинный вектор в контексте, где рассматриваются псевдо-векторы или аксиальные векторы.

Точки в полярной системе координат с полюсом О и полярная ось L. Зеленым цветом обозначена точка с радиальной координатой 3 и угловой координатой 60 градусов или (3,60 °). Синим цветом обозначена точка (4210 °).

Два полярные координаты точки на плоскости можно рассматривать как двумерный вектор. Такой полярный вектор состоит из величина (или длина) и направление (или угол). Величина, обычно представляемая как р, - расстояние от начальной точки, происхождение, до точки, которая представлена. Угол, обычно представленный как θ (в Греческий письмо тета ) - угол, обычно измеряемый против часовой стрелки, между фиксированным направлением, как правило, положительным Икс-ось и направление от исходной точки к точке. Угол обычно уменьшается, чтобы он находился в пределах диапазона ${displaystyle 0leq heta <2pi }$ радианы или ${displaystyle 0leq heta <360^{circ }}$.

Следует подчеркнуть, что полярный вектор на самом деле не вектор, поскольку дополнение двух полярных векторов не определено.

Упорядоченные множества и матричные обозначения

Полярные векторы могут быть указаны с использованием либо нотации упорядоченных пар (подмножество нотации упорядоченного множества, использующей только два компонента), либо матричной нотации, как с прямоугольными векторами. В этих формах первая компонента вектора равна р (вместо того v₁), а второй компонент - θ (вместо того v₂). Чтобы отличать полярные векторы от прямоугольных векторов, угол может быть предварен символом угла, ${displaystyle angle }$.

Двумерный полярный вектор v может быть представлен как любое из следующих, используя либо упорядоченную пару, либо матричную нотацию:

• ${displaystyle mathbf {v} =(r,angle heta )}$
• ${displaystyle mathbf {v} =langle r,angle heta angle }$
• ${displaystyle mathbf {v} =left[{egin{matrix}r&angle heta end{matrix}}ight]}$
• ${displaystyle mathbf {v} =left[{egin{matrix}rangle heta end{matrix}}ight]}$

где р это величина, θ - угол, а символ угла (${displaystyle angle }$) не является обязательным.

Прямая запись

Полярные векторы также можно указать с помощью упрощенных автономных уравнений, которые определяют р и θ явно. Это может быть громоздко, но полезно, чтобы избежать путаницы с двумерными прямоугольными векторами, которая возникает из-за использования упорядоченных пар или матричных обозначений.

Двумерный вектор с величиной 5 единиц и направлением π/ 9 радиан (20 °), можно указать в любой из следующих форм:

• ${displaystyle r=5, heta ={pi over 9}}$
• ${displaystyle r=5, heta =20^{circ }}$

Цилиндрические векторы

Цилиндрическая система координат с началом О, полярная ось А, а продольная ось L. Точка - это точка с радиальным расстоянием ρ = 4, угловая координата φ = 130 °, а высота z = 4.

Цилиндрический вектор - это расширение концепции полярных векторов до трех измерений. Это похоже на стрелку в цилиндрическая система координат. Цилиндрический вектор задается расстоянием в ху-плоскость, угол и расстояние от ху-самолет (высота). Первое расстояние, обычно представляемое как р или ρ (греческая буква ро ), - величина проекции вектора на ху-самолет. Угол, обычно представляемый как θ или φ (греческая буква фи ), измеряется как смещение от линии, коллинеарной Икс- ось в положительном направлении; угол обычно уменьшается, чтобы лежать в пределах диапазона ${displaystyle 0leq heta <2pi }$. Второе расстояние, обычно представляемое как час или z, - расстояние от ху-плоскость до конечной точки вектора.

Упорядоченные множества и матричные обозначения

Цилиндрические векторы задаются как полярные векторы, где второй компонент расстояния равен соединенный в качестве третьего компонента для формирования упорядоченных триплетов (опять же, подмножества обозначений упорядоченного множества) и матриц. Угол может начинаться с символа угла (${displaystyle angle }$); комбинация расстояние-угол-расстояние отличает цилиндрические векторы в этой нотации от сферических векторов в аналогичной нотации.

Трехмерный цилиндрический вектор v может быть представлено как любое из следующих, используя либо упорядоченную тройку, либо матричную запись:

• ${displaystyle mathbf {v} =(r,angle heta ,h)}$
• ${displaystyle mathbf {v} =langle r,angle heta ,hangle }$
• ${displaystyle mathbf {v} =left[{egin{matrix}r&angle heta &hend{matrix}}ight]}$
• ${displaystyle mathbf {v} =left[{egin{matrix}rangle heta hend{matrix}}ight]}$

куда р величина проекции v на ху-самолет, θ угол между положительным Иксось и v, и час это высота от ху-самолет до конечной точки v. Опять же, символ угла (${displaystyle angle }$) не является обязательным.

Прямая запись

Цилиндрический вектор также можно задать напрямую, используя упрощенные автономные уравнения, которые определяют р (или ρ), θ (или φ), и час (или z). При выборе имен для переменных следует использовать последовательность; ρ не следует смешивать с θ и так далее.

Трехмерный вектор, величина проекции которого на ху-плоскость 5 единиц, угол которой от положительного Иксось π/ 9 радиан (20 °), и высота которого от ху-плоскость 3 единицы может быть указана в любой из следующих форм:

• ${displaystyle r=5, heta ={pi over 9}, h=3}$
• ${displaystyle r=5, heta =20^{circ }, h=3}$
• ${displaystyle ho =5, phi ={pi over 9}, z=3}$
• ${displaystyle ho =5, phi =20^{circ }, z=3}$

Сферические векторы

Сферические координаты (р, θ, φ) как часто используется в математика: радиальное расстояние р, азимутальный угол θ, и полярный угол φ. Значения θ и φ были заменены по сравнению с соглашением по физике.

Сферический вектор - это еще один метод расширения концепции полярных векторов до трех измерений. Это похоже на стрелку в сферическая система координат. Сферический вектор определяется величиной, азимутальным углом и зенитным углом. Величина обычно представлена ​​как ρ. Азимутальный угол, обычно представленный как θ, это смещение (против часовой стрелки) от положительного Икс-ось. Зенитный угол, обычно представляемый как φ, это смещение от положительного z-ось. Оба угла обычно уменьшаются до диапазона от нуля (включительно) до 2.π (эксклюзив).

Упорядоченные множества и матричные обозначения

Сферические векторы задаются как полярные векторы, где зенитный угол объединяется в качестве третьего компонента для формирования упорядоченных триплетов и матриц. Азимутальный и зенитный углы могут иметь префикс символа угла (${displaystyle angle }$); префикс следует использовать последовательно для получения комбинации расстояние-угол-угол, которая отличает сферические векторы от цилиндрических.

Трехмерный сферический вектор v может быть представлен как любое из следующих, используя либо упорядоченную тройку, либо матричную запись:

• ${displaystyle mathbf {v} =(ho ,angle heta ,angle phi )}$
• ${displaystyle mathbf {v} =langle ho ,angle heta ,angle phi angle }$
• ${displaystyle mathbf {v} =left[{egin{matrix}ho &angle heta &angle phi end{matrix}}ight]}$
• ${displaystyle mathbf {v} =left[{egin{matrix}ho angle heta angle phi end{matrix}}ight]}$

куда ρ это величина, θ - азимутальный угол, а φ - зенитный угол.

Прямая запись

Подобно полярным и цилиндрическим векторам, сферические векторы могут быть заданы с помощью упрощенных автономных уравнений, в данном случае для ρ, θ, и φ.

Трехмерный вектор величиной 5 единиц и азимутальным углом π/ 9 радиан (20 °), зенитный угол которого равен π/ 4 радиана (45 °) можно указать как:

• ${displaystyle ho =5, heta ={pi over 9}, phi ={pi over 4}}$
• ${displaystyle ho =5, heta =20^{circ }, phi =45^{circ }}$

Операции

В любом случае векторное пространство, определены операции сложения векторов и скалярного умножения. Нормированные векторные пространства также определите операцию, известную как норма (или определение величины). Внутренние пространства продукта также определите операцию, известную как внутренний продукт. В ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ внутренний продукт известен как скалярное произведение. В ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ и ${displaystyle mathbb {R} ^{7}}$, дополнительная операция, известная как перекрестное произведение также определяется.

Сложение вектора

Сложение вектора представлен знаком плюс, используемым как оператор между двумя векторами. Сумма двух векторов ты и v будет представлен как:^[3]

${displaystyle mathbf {u} +mathbf {v} }$

Скалярное умножение

Скалярное умножение представлен тем же способом, что и алгебраическое умножение. Скаляр рядом с вектором (один или оба из них могут быть в скобках) подразумевает скалярное умножение. Два общих оператора, точка и повернутый крест, также приемлемы (хотя повернутый крест почти никогда не используется), но они рискуют ошибиться с скалярными произведениями и перекрестными произведениями, которые работают с двумя векторами. Произведение скаляра k с вектором v может быть представлен в любой из следующих форм:

• ${displaystyle kmathbf {v} }$^[3]
• ${displaystyle kcdot mathbf {v} }$

Вычитание векторов и скалярное деление

Используя алгебраические свойства вычитания и деления, наряду со скалярным умножением, также можно «вычесть» два вектора и «разделить» вектор на скаляр.

Вычитание вектора выполняется путем добавления скалярного числа, кратного -1, со вторым векторным операндом к первому векторному операнду. Это можно представить с помощью знака минус в качестве оператора. Разница между двумя векторами ты и v может быть представлен одним из следующих способов:

• ${displaystyle mathbf {u} +-mathbf {v} }$
• ${displaystyle mathbf {u} -mathbf {v} }$^[3]

Скалярное деление выполняется путем умножения векторного операнда на числовое значение, обратное скалярному операнду. Это можно представить с помощью дробной черты или знаков деления в качестве операторов. Частное вектора v и скаляр c могут быть представлены в любой из следующих форм:

• ${displaystyle {1 over c}mathbf {v} }$
• ${displaystyle {mathbf {v} over c}}$
• ${displaystyle {mathbf {v} div c}}$

Норма

В норма вектора изображается двойными полосами по обе стороны от вектора. Норма вектора v можно представить как:^[3]

${displaystyle |mathbf {v} |}$

Норма также иногда представлена ​​отдельными полосами, например ${displaystyle |mathbf {v} |}$, но это можно спутать с абсолютная величина (что является разновидностью нормы).

Внутренний продукт

В внутренний продукт двух векторов (также известных как скалярное произведение, не путать со скалярным умножением) представляется в виде упорядоченной пары, заключенной в угловые скобки. Внутреннее произведение двух векторов ты и v будет представлен как:^[3]

${displaystyle langle mathbf {u} ,mathbf {v} angle }$

Скалярное произведение

В ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$внутренний продукт также известен как скалярное произведение. В дополнение к стандартной нотации внутреннего произведения также может использоваться нотация скалярного произведения (с использованием точки в качестве оператора) (и это более распространено). Скалярное произведение двух векторов ты и v можно представить как:^[3]

${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} }$

В некоторой старой литературе скалярное произведение подразумевается между двумя векторами, написанными бок о бок. Это обозначение можно спутать с диадический продукт между двумя векторами.

Перекрестное произведение

В перекрестное произведение двух векторов (в ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$) представлен с помощью повернутого креста в качестве оператора. Перекрестное произведение двух векторов ты и v будет представлен как:^[3]

${displaystyle mathbf {u} imes mathbf {v} }$

По некоторым соглашениям (например, во Франции и в некоторых областях высшей математики) это также обозначается клином,^[12] что позволяет избежать путаницы с клин поскольку они функционально эквивалентны в трех измерениях:

${displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v} }$

В некоторой старой литературе для перекрестного произведения между ты и v:

${displaystyle [mathbf {u} ,mathbf {v} ]}$

Набла

Основные статьи: Del и Символ набла

Векторное обозначение используется с исчисление сквозь Набла оператор:

${displaystyle mathbf {i} {frac {partial }{partial x}}+mathbf {j} {frac {partial }{partial y}}+mathbf {k} {frac {partial }{partial z}}}$

Со скалярной функцией ж, то градиент записывается как ${displaystyle abla f ,}$

с векторным полем, F то расхождение записывается как ${displaystyle abla cdot F,}$

и с векторным полем, F то завиток записывается как ${displaystyle abla imes F.}$

Смотрите также

• Евклидов вектор
• ISO 31-11 # Векторы и тензоры
• Фазор

использованная литература

1. Принципы и приложения математики в коммуникационной электронике. 1992. стр. 123.
2. Гроб, Джозеф Джордж (1911). Векторный анализ. J. Wiley & sons.
3. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-19.
4. «ISO 80000-2: 2019 Величины и единицы - Часть 2: Математика». Международная организация по стандартизации. Август 2019.
5. Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ на основе лекций Дж. У. Гиббса в Интернет-архив
6. Оливер Хевисайд, Электрический журнал, Том 28. Джеймс Грей, 1891. 109 (альт )
7. Дж. Б. Шоу (1912) Сравнительное обозначение векторных выражений, Бюллетень из Общество Кватерниона через Хати Траст.
8. Александр Макфарлейн (1912) Система обозначений для векторного анализа; с обсуждением основополагающих принципов от Бюллетень Общества Кватерниона
9. Карин Райх (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung
10. Механика деформируемых тел., п. 10, в Google Книги
11. Вайсштейн, Эрик В. "Вектор". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-19.
12. Кахори, Флориан (2011). История математических обозначений. Dover Publications. п. 134 (Том 2). ISBN  9780486161167.