Величина (математика) - Magnitude (mathematics)

Для использования в других целях см. Величина (значения).

В математике величина или же размер из математический объект - это свойство, которое определяет, больше или меньше объект по сравнению с другими объектами того же типа. Более формально величина объекта - это отображаемый результат заказ (или ранжирование) - учебный класс объектов, которым он принадлежит.

В физике сила силы обычно выражается ее величиной.

История

Греки различали несколько типов величин:^[1] включая:

• Положительный фракции
• Сегменты линии (заказан длина )
• Фигуры самолета (заказан площадь )
• Твердые тела (заказан объем )
• Углы (упорядочено по угловой величине)

Они доказали, что первые два не могут быть одинаковыми или даже изоморфный системы величин.^[2] Они не считали отрицательные величины значимыми, и величина по-прежнему в основном используется в контекстах, в которых ноль является либо наименьшим размером, либо меньшим, чем все возможные размеры.

Числа

Основная статья: Абсолютная величина

Величина любого номер ${\displaystyle x}$ обычно называют его "абсолютная величина "или" модуль ", обозначаемый ${\displaystyle |x|}$.^[3][4]

Действительные числа

Абсолютное значение a настоящий номер р определяется:^[5]

${\displaystyle \left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0}$

${\displaystyle \left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.}$

Абсолютное значение также можно рассматривать как число расстояние из нуль на самом деле числовая строка. Например, абсолютное значение 70 и -70 равно 70.

Сложные числа

А комплексное число z можно рассматривать как положение точки п в 2-мерное пространство, называется комплексная плоскость. Абсолютное значение (или модуль) z можно рассматривать как расстояние п от истока этого пространства. Формула абсолютного значения z = а + би аналогичен таковому для Евклидова норма вектора в двумерном евклидовом пространстве:^[6]

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

где реальные числа а и б являются реальная часть и мнимая часть из z, соответственно. Например, модуль −3 + 4я является ${\displaystyle {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5}$. В качестве альтернативы величина комплексного числа z можно определить как квадратный корень из произведения самого себя и его комплексно сопряженный, ${\displaystyle {\bar {z}}}$,^[3] где для любого комплексного числа z = а + би, его комплексное сопряжение есть z^∗ = а − би.

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(куда ${\displaystyle i^{2}=-1}$)

Векторные пространства

Евклидово векторное пространство

Основная статья: Евклидова норма

А Евклидов вектор представляет положение точки п в Евклидово пространство. Геометрически это можно описать как стрелку от начала пространства (векторный хвост) к этой точке (вектор кончик). Математически вектор Икс в п-мерное евклидово пространство можно определить как упорядоченный список п действительные числа (в Декартовы координаты из п): Икс = [Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п]. Его величина или же длина, обозначаемый ${\displaystyle \|x\|}$,^[3][7] чаще всего определяется как его Евклидова норма (или евклидова длина):^[8]

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|:={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Например, в трехмерном пространстве величина [3, 4, 12] равна 13, потому что ${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.}$Это эквивалентно квадратный корень из скалярное произведение самого вектора:

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|:={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.}$

Евклидова норма вектора - это просто частный случай Евклидово расстояние: расстояние между его хвостом и его кончиком. Два аналогичных обозначения используются для евклидовой нормы вектора Икс:

1. ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|,}$
2. ${\displaystyle \left|\mathbf {x} \right|.}$

Недостатком второго обозначения является то, что его также можно использовать для обозначения абсолютная величина из скаляры и детерминанты матриц, что вносит элемент неоднозначности.

Нормированные векторные пространства

Основная статья: Нормированное векторное пространство

По определению, все евклидовы векторы имеют величину (см. Выше). Однако понятие величины нельзя применять ко всем видам векторов.

Функция, которая сопоставляет объекты с их величинами, называется норма. А векторное пространство снабженный нормой, такой как евклидово пространство, называется нормированное векторное пространство.^[9] Не все векторные пространства нормированы.

Псевдоевклидово пространство

В псевдоевклидово пространство, величина вектора - это значение квадратичная форма для этого вектора.

Логарифмические величины

При сравнении звездных величин логарифмический шкала часто используется. Примеры включают громкость из звук (измеряется в децибелы ), яркость из звезда, а шкала Рихтера интенсивности землетрясения. Логарифмические величины могут быть отрицательными и не могут быть осмысленно добавлены или вычтены (поскольку соотношение нелинейное).

Порядок величины

Основная статья: Порядок величины

Порядки величины обозначают разницу в числовых величинах, обычно измерениях, в 10 раз, то есть разницу в одну цифру в расположении десятичной точки.

Смотрите также

• Чувство числа
• Векторное обозначение

Рекомендации

1. Хит, Томас Смд. (1956). Тринадцать книг стихий Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: издательство Кембриджского университета, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
2. Блох, Итан Д. (2011), Реальные числа и реальный анализ, Springer, стр. 52, ISBN  9780387721774, Идея несоизмеримых пар длин отрезков прямых была открыта еще в Древней Греции..
3. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-23.
4. «Определение величины (иллюстрированный математический словарь)». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-23.
5. Мендельсон, Эллиотт (2008). Схема начального исчисления Шаума. McGraw-Hill Professional. п. 2. ISBN  978-0-07-148754-2.
6. Альфорс, Ларс В. (1953). Комплексный анализ. Токио: Макгроу Хилл Когакуша.
7. Никамп, Дуэйн. «Величина определения вектора». Math Insight. Получено 23 августа, 2020.
8. Говард Антон; Крис Роррес (12 апреля 2010 г.). Элементарная линейная алгебра: прикладная версия. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-470-43205-1.
9. Голан, Джонатан С. (январь 2007 г.), Линейная алгебра, которую должен знать начинающий аспирант (2-е изд.), Springer, ISBN  978-1-4020-5494-5