Расстояние - Distance

Расстояние числовой измерение насколько далеко друг от друга находятся объекты или точки. В физика или повседневного использования, расстояние может относиться к физическому длина или оценка, основанная на других критериях (например, «на два округа больше»). Расстояние от точки A до точки B иногда обозначается как ${ displaystyle | AB |}$ .^[1] В большинстве случаев «расстояние от A до B» взаимозаменяемо с «расстоянием от B до A».^[2] В математика, функция расстояния или метрика является обобщением концепции физического расстояния; это способ описания того, что значит для элементов некоторого пространства быть «близко» или «далеко» друг от друга. психология и социальные науки, расстояние - это нечисловое измерение; Психологическая дистанция определяется как «различные способы, которыми объект может быть удален от себя» по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетичность».^[3]

Обзор и определения

Физические расстояния

Маршруты авиакомпаний между Лос-Анджелес и Токио примерно следовать прямому большой круг маршрут (вверху), но используйте струйный поток (внизу) при движении на восток. Обратите внимание, что кратчайший маршрут отображается в виде кривой, а не прямой линии, потому что эта карта Проекция Меркатора, который не масштабирует все расстояния одинаково по сравнению с реальной сферической поверхностью Земли.

"Манхэттенское расстояние "на сетке

Физическое расстояние может означать несколько разных вещей:

Пройденное расстояние: длина определенного пути, пройденного между двумя точками,^[4] например пройденное расстояние во время навигации по лабиринту
Прямолинейное (евклидово) расстояние: длина кратчайшего возможного пути в пространстве между двумя точками, который можно было бы пройти, если бы не было препятствий (обычно оформляется как Евклидово расстояние )
Геодезическое расстояние: длина кратчайшего пути между двумя точками, оставаясь на некоторой поверхности, например расстояние по дуге вдоль кривая Земли
Длина определенного пути, который возвращается в начальную точку, например, мяч, брошенный вверх, или Земля, когда он проходит один орбита.

Доска с указанием расстояний вблизи Вишакхапатнам

«Круговое расстояние» - это расстояние, пройденное колесом, которое может быть полезно при проектировании транспортных средств или механических передач. Окружность колеса 2π × радиус, и если радиус равен 1, то каждый оборот колеса эквивалентен расстоянию 2π радианы. В машиностроении ω = 2πƒ часто используется, где ƒ это частота.

Необычные определения расстояния могут быть полезны для моделирования определенных физических ситуаций, но также используются в теоретической математике:

"Манхэттенское расстояние "- прямолинейное расстояние, названное в честь количества кварталов (в северном, южном, восточном или западном направлениях), по которым такси должно проехать, чтобы добраться до пункта назначения на сетке улиц в некоторых частях Нью-Йорка.
«Шахматная дистанция», оформленная как Чебышевская дистанция, это минимальное количество ходов, которое король должен сделать на шахматная доска, чтобы перемещаться между двумя квадратами.

Меры расстояния в космологии осложняются расширение вселенной, и эффектами, описываемыми теория относительности (такие как сокращение длины движущихся объектов).

Теоретические расстояния

Термин «расстояние» также используется по аналогии для измерения нефизических объектов определенными способами.

В Информатика, есть понятие "редактировать расстояние "между двумя строками. Например, слова" собака "и" точка ", которые различаются только одной буквой, ближе, чем слова" собака "и" кошка ", которые различаются тремя буквами. Эта идея используется в средства проверки правописания И в теория кодирования, и математически формализована несколькими различными способами, такими как:

В математике метрическое пространство - это набор, для которого определены расстояния между всеми элементами набора. Таким образом можно рассчитать множество различных типов "расстояний", например, для обход графов, сравнение распределений и кривых и использование необычных определений «пространства» (например, использование многообразие или размышления ). Понятие расстояние в теории графов был использован для описания социальные сети, например, с Число Эрдеша или Число Бекона - количество совместных отношений с человеком от плодовитого математика Пол Эрдёш и актер Кевин Бэкон, соответственно.

В психологии, географии человека и социальных науках расстояние часто рассматривается не как объективный показатель, а как субъективный опыт.^[5]

Расстояние в зависимости от направленного расстояния и смещения

Расстояние по пути по сравнению со смещением

И расстояние, и смещение измеряют движение объекта. Расстояние не может быть отрицательный, и никогда не уменьшается. Расстояние - это скаляр количество, или величина, в то время как смещение это вектор количество с величиной и направление. Он может быть отрицательным, нулевым или положительным. Направленное расстояние не измеряет движение; он измеряет расстояние между двумя точками и может быть положительным, нулевым или отрицательным вектором.^[6]

Расстояние, пройденное транспортным средством (например, записанное одометр ), человека, животное или объект по изогнутой траектории от точки А в точку B следует отличать от расстояния по прямой от А к B. Например, независимо от расстояния, пройденного в оба конца от А к B и обратно к А, смещение равно нулю, так как начальная и конечная точки совпадают. В общем, расстояние по прямой не равно пройденному расстоянию, за исключением поездок по прямой.

Направленное расстояние

Направленные расстояния можно определять по прямым и криволинейным линиям.

Направленные расстояния вдоль прямых линий - это векторы, которые определяют расстояние и направление между начальной и конечной точками. Направленное расстояние точки C с точки А в направлении B на линии AB в Евклидово векторное пространство это расстояние от А к C если C падает на луч AB, но является отрицательным значением этого расстояния, если C падает на луч BA (То есть, если C не на той же стороне А в качестве B является). Например, направленное расстояние от флагштока Главной библиотеки Нью-Йорка до флагштока Статуи Свободы:

Отправная точка: флагшток библиотеки
Конечная точка: статуя флагштока
Направление: -38 °
Расстояние: 8.72 км

Другой вид направленного расстояния - это расстояние между двумя разными частицами или точечными массами в данный момент времени. Например, расстояние от центр гравитации земли А и центр тяжести Луны B (что не означает движения от А к B) попадает в эту категорию.

Направленное расстояние вдоль изогнутой линии не является вектором и представлено сегментом этой изогнутой линии, определяемым конечными точками. А и B, с некоторой конкретной информацией, указывающей на смысл (или направление) идеального или реального движения от одной конечной точки сегмента к другой (см. рисунок). Например, просто пометив две конечные точки как А и B может указывать на смысл, если упорядоченная последовательность (А, B), откуда следует, что А это отправная точка.

Смещение

Смещение (см. Выше) - это особый вид направленного расстояния, определяемый в механика. Направленное расстояние называется смещением, когда это расстояние по прямой (минимальное расстояние) от А и B, и когда А и B позиции занимают та же частица на двух разные моменты времени. Из этого следует движение частицы. Расстояние, пройденное частицей, всегда должно быть больше или равно ее перемещению, причем равенство имеет место только тогда, когда частица движется по прямой траектории.

Математика

Геометрия

В аналитическая геометрия, то Евклидово расстояние между двумя точками плоскость xy можно найти с помощью формулы расстояния. Расстояние между (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂) дан кем-то:^[7]^[8]

{ displaystyle d = { sqrt {( Delta x) ^ {2} + ( Delta y) ^ {2}}} = { sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}.}

Аналогично с учетом баллов (Икс₁, у₁, z₁) и (Икс₂, у₂, z₂) в трёхмерный, расстояние между ними:^[7]

{ displaystyle d = { sqrt {( Delta x) ^ {2} + ( Delta y) ^ {2} + ( Delta z) ^ {2}}} = { sqrt {(x_ {2}) -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2}}}.}

Эту формулу легко получить, построив прямоугольный треугольник с ногой на гипотенуза другого (другой ногой ортогональный к самолет который содержит 1-й треугольник) и применяя теорема Пифагора. Это расстояние формула также может быть расширен до формула длины дуги. Другие расстояния с другими формулами используются в Неевклидова геометрия.

Расстояние в евклидовом пространстве

в Евклидово пространство р^п, расстояние между двумя точками обычно задается Евклидово расстояние (Расстояние 2 нормы). Другие расстояния, основанные на других нормы, иногда используются вместо них.

За точку (Икс₁, Икс₂, ...,Икс_п) и точка (у₁, у₂, ...,у_п), Расстояние Минковского порядка п (п-нормальное расстояние) определяется как:

Расстояние 1 норма	${ displaystyle = sum _ {i = 1} ^ {n} left \| x_ {i} -y_ {i} right \|}$
Расстояние 2 нормы	${ displaystyle = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} left \| x_ {i} -y_ {i} right \| ^ {2} right) ^ {1/2}}$
п-нормальное расстояние	${ displaystyle = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} left \| x_ {i} -y_ {i} right \| ^ {p} right) ^ {1 / p}}$
бесконечное нормальное расстояние	${ displaystyle = lim _ {p to infty} left ( sum _ {i = 1} ^ {n} left \| x_ {i} -y_ {i} right \| ^ {p} right ) ^ {1 / p}}$
	${ displaystyle = max left (\| x_ {1} -y_ {1} \|, \| x_ {2} -y_ {2} \|, ldots, \| x_ {n} -y_ {n} \| right) .}$

п не обязательно должно быть целым числом, но не может быть меньше 1, потому что в противном случае неравенство треугольника не держит.

Расстояние 2 нормы - это Евклидово расстояние, обобщение теорема Пифагора более чем двум координаты. Это то, что было бы получено, если бы расстояние между двумя точками измерялось с помощью линейка: «интуитивное» представление о расстоянии.

Расстояние 1-норма более красочно называется норма такси или Манхэттенское расстояние, потому что это расстояние, на которое автомобиль проехал бы в городе, разбитом на квадратные кварталы (если нет улиц с односторонним движением).

Расстояние с нормой бесконечности также называется Чебышевская дистанция. В 2D это минимальное количество ходов короли требуется путешествовать между двумя квадратами на шахматная доска.

В п-norm редко используется для значений п кроме 1, 2 и бесконечности, но см. супер эллипс.

В физическом пространстве евклидово расстояние в некотором смысле является наиболее естественным, потому что в этом случае длина жесткое тело не меняется с вращение.

Вариационная формулировка расстояния

Евклидово расстояние между двумя точками в пространстве ( ${ Displaystyle А = { vec {r}} (0)}$ и ${ displaystyle B = { vec {r}} (T)}$ ) можно записать в вариационный форма, где расстояние - минимальное значение интеграла:

{ Displaystyle D = int _ {0} ^ {T} { sqrt { left ({ partial { vec {r}} (t) over partial t} right) ^ {2}}} , dt}

Здесь ${ Displaystyle { vec {r}} (т)}$ - траектория (путь) между двумя точками. Значение интеграла (D) представляет длину этой траектории. Расстояние является минимальным значением этого интеграла и получается, когда ${ Displaystyle г = г ^ {*}}$ куда ${ displaystyle r ^ {*}}$ оптимальная траектория. В известном евклидовом случае (указанный выше интеграл) эта оптимальная траектория представляет собой просто прямую линию. Хорошо известно, что кратчайший путь между двумя точками - это прямая линия. Формально прямые линии можно получить, решив Уравнения Эйлера – Лагранжа. для вышеуказанного функциональный. В неевклидов многообразия (искривленные пространства), где природа пространства представлена метрический тензор ${ displaystyle g_ {ab}}$ подынтегральное выражение должно быть изменено на ${ displaystyle { sqrt {g ^ {ac} { dot {r}} _ {c} g_ {ab} { dot {r}} ^ {b}}}}$ , куда Соглашение о суммировании Эйнштейна был использован.

Обобщение на многомерные объекты

Евклидово расстояние между двумя объектами также может быть обобщено на случай, когда объекты больше не являются точками, а являются многомерными. коллекторы, например, пространственные кривые, поэтому в дополнение к разговору о расстоянии между двумя точками можно обсудить концепции расстояния между двумя струнами. Поскольку новые объекты, которые рассматриваются, являются расширенными объектами (больше не точками), дополнительные концепции, такие как нерасширяемость, кривизна ограничения и нелокальные взаимодействия, обеспечивающие непересечение, становятся центральными в понятии расстояния. Расстояние между двумя коллекторами - это скалярная величина который является результатом минимизации обобщенного функционала расстояния, который представляет преобразование между двумя многообразиями:

{ displaystyle { mathcal {D}} = int _ {0} ^ {L} int _ {0} ^ {T} left {{ sqrt { left ({ partial { vec {r }} (s, t) over partial t} right) ^ {2}}} + lambda left [{ sqrt { left ({ partial { vec {r}} (s, t) over partial s} right) ^ {2}}} - 1 right] right } , ds , dt}

Вышеупомянутый двойной интеграл представляет собой обобщенный функционал расстояния между двумя полимерными конформациями. ${ displaystyle s}$ - пространственный параметр и ${ displaystyle t}$ это псевдовремя. Это значит, что ${ displaystyle { vec {r}} (s, t = t_ {i})}$ конформация полимера / струны во время ${ displaystyle t_ {i}}$ и параметризуется по длине строки ${ displaystyle s}$ . по аналогии ${ Displaystyle { vec {r}} (s = S, t)}$ - траектория бесконечно малого отрезка струны при преобразовании всей струны из конформации ${ displaystyle { vec {r}} (s, 0)}$ к соответствию ${ displaystyle { vec {r}} (s, T)}$ . Термин с кофактором ${ displaystyle lambda}$ это Множитель Лагранжа и его роль заключается в обеспечении того, чтобы длина полимера оставалась неизменной во время превращения. Если два дискретных полимера нерастяжимы, тогда преобразование минимального расстояния между ними больше не включает чисто прямолинейное движение даже в евклидовой метрике. У такого обобщенного расстояния есть потенциальное применение к проблеме сворачивание белка.^[9]^[10]

Это обобщенное расстояние аналогично Действие Намбу – Гото в теория струн, однако нет точного соответствия, потому что евклидово расстояние в 3-м пространстве не эквивалентно пространственно-временному расстоянию, минимизированному для классической релятивистской струны.

Алгебраическое расстояние

Этот показатель часто используется в компьютерное зрение что можно свести к минимуму наименьших квадратов оценка. [2][3] Для кривых или поверхностей, заданных уравнением ${ displaystyle x ^ { text {T}} Cx = 0}$ (например, коническая в однородных координатах ), алгебраическое расстояние от точки ${ displaystyle x '}$ к кривой просто ${ displaystyle x '^ { text {T}} Cx'}$ . Это может служить "первоначальной догадкой" для геометрическое расстояние для уточнения оценок кривой более точными методами, такими как нелинейный метод наименьших квадратов.

Общая метрика

В математика, особенно геометрия, а функция расстояния на данном набор M это функция d: M × M → р, куда р обозначает набор действительные числа, который удовлетворяет следующим условиям:

d(Икс,у) ≥ 0, и d(Икс,у) = 0 если и только если Икс = у. (Расстояние между двумя разными точками положительно и равно нулю точно от точки до самой себя.)^[2]
это симметричный: d(Икс,у) = d(у,Икс). (Расстояние между Икс и у одинакова в любом направлении.)^[2]
Это удовлетворяет неравенство треугольника: d(Икс,z) ≤ d(Икс,у) + d(у,z). (Расстояние между двумя точками - это кратчайшее расстояние по любому пути).^[2] Такая функция расстояния известна как метрика. Вместе с набором составляет метрическое пространство.

Например, обычное определение расстояния между двумя действительными числами Икс и у является: d(Икс,у) = |Икс − у|. Это определение удовлетворяет трем условиям, указанным выше, и соответствует стандартному топология из реальная линия. Но расстояние на данном множестве - выбор определения. Другой возможный выбор - определить: d(Икс,у) = 0 если Икс = у, и 1 в противном случае. Это также определяет метрику, но дает совершенно другую топологию: "дискретная топология "; при таком определении числа не могут быть сколь угодно близкими.

Расстояния между наборами и между точкой и набором

d(А, B) > d(А, C) + d(C, B)

Между объектами возможны различные определения расстояний. Например, между небесными телами не следует путать расстояние от поверхности до поверхности и расстояние от центра до центра. Если первое намного меньше второго, как низкая околоземная орбита, первое, как правило, указывается (высота), в противном случае, например для расстояния Земля – Луна последняя.

Есть два общих определения расстояния между двумя непустыми подмножества данного метрическое пространство:

Одна из версий расстояния между двумя непустыми множествами - это инфимум расстояний между любыми двумя из их соответствующих точек, что является повседневным значением этого слова, т.е.

{ Displaystyle d (A, B) = inf _ {x in A, y in B} d (x, y).}

Это симметричный преметрический. В наборе наборов, некоторые из которых соприкасаются или накладываются друг на друга, это не «разделение», потому что расстояние между двумя разными, но соприкасающимися или перекрывающимися наборами равно нулю. Также это не гемиметрический, т.е. неравенство треугольника не выполняется, за исключением особых случаев. Поэтому только в особых случаях это расстояние делает набор множеств метрическое пространство.

В Расстояние Хаусдорфа является большим из двух значений, одно из которых супремум, для точки, находящейся в пределах одного набора, нижнего предела, для второй точки, лежащего в пределах другого набора, расстояния между точками, и другое значение определяется аналогичным образом, но с заменой ролей двух наборов. Это расстояние делает набор непустым компактный подмножества самого метрического пространства метрическое пространство.

В расстояние между точкой и множеством - это точная нижняя грань расстояний между точкой и точками в множестве. Это соответствует расстоянию, в соответствии с первым упомянутым выше определением расстояния между наборами, от набора, содержащего только эту точку, до другого набора.

В терминах этого определение расстояния Хаусдорфа можно упростить: это большее из двух значений, одно из которых является супремумом, для точки, находящейся в пределах одного набора, расстояния между точкой и набором, а другое значение определены аналогичным образом, но роли двух наборов поменялись местами.

Теория графов

В теория графов то расстояние между двумя вершинами - длина самого короткого дорожка между этими вершинами.

Статистические расстояния

В статистика и информационная геометрия, есть много видов статистические расстояния, особенно расхождения, особенно Расхождения Брегмана и ж-расхождения. Они включают и обобщают многие понятия «разница между двумя распределения вероятностей ", и позволяют изучать их геометрически, как статистические многообразия. Самый элементарный - это квадрат евклидова расстояния, что составляет основу наименьших квадратов; это самое основное расхождение Брегмана. Самое главное в теория информации это относительная энтропия (Дивергенция Кульбака – Лейблера ), что позволяет аналогично изучать оценка максимального правдоподобия геометрически; это самый простой ж-дивергенция, а также дивергенция Брегмана (и единственная дивергенция, которая является обеими). Статистические многообразия, соответствующие расходимостям Брегмана: плоские коллекторы в соответствующей геометрии, допуская аналог теорема Пифагора (что традиционно верно для квадрата евклидова расстояния), которое должно использоваться для линейные обратные задачи в выводе теория оптимизации.

Другие важные статистические расстояния включают Расстояние Махаланобиса, то энергетическое расстояние, и много других.

Другие математические «расстояния»

Канберрское расстояние - взвешенная версия манхэттенского расстояния, используемая в информатике

В психологии

Психологическая дистанция определяется как «различные способы, которыми объект может быть удален от себя» по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетичность».^[3] Связь между психологической дистанцией и степенью мышление абстрактно или бетон описан в теория конструктивного уровня, основа для принимать решение.

Смотрите также

Поддержка библиотеки

Python (язык программирования)
- Промежуток -Пакет для определения расстояния между двумя векторами, числами, строками и т. Д.
- SciPy -Расчеты расстояния (scipy.spatial.distance)
Юлия (язык программирования)
- Юлия Статистика Расстояние -Пакет Julia для оценки расстояний (метрик) между векторами.

Библиография

Деза Э, Деза М (2006). Словарь расстояний. Эльзевир. ISBN 0-444-52087-2.

[1] «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-09-01.

[NKS_note_c-2] а ^б ^c ^d Новый вид науки [1]

[psych-3] а ^б Троп Y, Либерман N (апрель 2010 г.). «Теория психологической дистанции на конструктивном уровне». Психологический обзор. 117 (2): 440–63. Дои:10.1037 / a0018963. ЧВК 3152826. PMID 20438233.

[4] «Что такое смещение? (Статья)». Ханская академия. Получено 2020-07-20.

[5] «СОЦИАЛЬНЫЕ РАССТОЯНИЯ». www.hawaii.edu. Получено 2020-07-20.

[ittcKU-6] "Направленное расстояние" (PDF). Центр информационных и телекоммуникационных технологий. Канзасский университет. Архивировано из оригинал (PDF) 10 ноября 2016 г.. Получено 18 сентября 2018.

[:0-7] а ^б Вайсштейн, Эрик В. "Расстояние". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-01.

[8] «Расстояние между 2 точками». www.mathsisfun.com. Получено 2020-09-01.

[pmid17848528-9] Плоткин С.С. (сентябрь 2007 г.). «Обобщение расстояния до объектов более высоких измерений». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 104 (38): 14899–904. Bibcode:2007ПНАС..10414899П. Дои:10.1073 / pnas.0607833104. ЧВК 1986585. PMID 17848528.

[pmid18820236-10] Мохазаб А.Р., Плоткин С.С. (декабрь 2008 г.). «Минимальные пути складывания крупнозернистых фрагментов биополимера». Биофизический журнал. 95 (12): 5496–507. Bibcode:2008BpJ .... 95,5496M. Дои:10.1529 / biophysj.108.135046. ЧВК 2599856. PMID 18820236.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Расстояние 1 норма	${ displaystyle = sum _ {i = 1} ^ {n} left \| x_ {i} -y_ {i} right \|}$
Расстояние 2 нормы	${ displaystyle = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} left \| x_ {i} -y_ {i} right \| ^ {2} right) ^ {1/2}}$
п-нормальное расстояние	${ displaystyle = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} left \| x_ {i} -y_ {i} right \| ^ {p} right) ^ {1 / p}}$
бесконечное нормальное расстояние	${ displaystyle = lim _ {p to infty} left ( sum _ {i = 1} ^ {n} left \| x_ {i} -y_ {i} right \| ^ {p} right ) ^ {1 / p}}$
	${ displaystyle = max left (\| x_ {1} -y_ {1} \|, \| x_ {2} -y_ {2} \|, ldots, \| x_ {n} -y_ {n} \| right) .}$