Скалярное умножение - Scalar multiplication

Не путать с скалярное произведение.

Скалярное умножение вектора на коэффициент 3 растягивает вектор.

Скалярные умножения -а и 2а вектора а

В математика, скалярное умножение одна из основных операций, определяющих векторное пространство в линейная алгебра^[1][2][3] (или, в более общем смысле, модуль в абстрактная алгебра^[4][5]). В обычных геометрических контекстах скалярное умножение настоящий Евклидов вектор на положительное действительное число умножает величину вектора без изменения его направления. Период, термин "скаляр "само по себе происходит от этого использования: скаляр - это то, что напольные весы векторы. Скалярное умножение - это умножение вектора на скаляр (где произведение - вектор), и его следует отличать от внутренний продукт двух векторов (где произведение - скаляр).

Определение

В общем, если K это поле и V это векторное пространство над K, то скалярное умножение функция из K × V к V. Результат применения этой функции к k в K и v в V обозначается kv.^[6]

Характеристики

Скалярное умножение подчиняется следующим правилам (вектор в жирный шрифт ):

• Аддитивность в скаляре: (c + d)v = cv + dv;
• Аддитивность в векторе: c(v + ш) = cv + cш;
• Совместимость произведения скаляров со скалярным умножением: (CD)v = c(dv);
• Умножение на 1 не меняет вектор: 1v = v;
• Умножение на 0 дает нулевой вектор: 0v = 0;
• Умножение на −1 дает Противоположное число: (−1)v = −v.

Здесь + есть добавление либо в поле, либо в векторном пространстве, в зависимости от ситуации; и 0 - аддитивная идентичность в любом.Сопоставление указывает либо скалярное умножение, либо умножение работа в поле.

Интерпретация

Скалярное умножение можно рассматривать как внешний бинарная операция или как действие поля в векторном пространстве. А геометрический Интерпретация скалярного умножения состоит в том, что оно растягивает или сжимает векторы на постоянный коэффициент. В результате он создает вектор в том же или противоположном направлении исходного вектора, но другой длины.^[7]

В частном случае V может считаться K саму себя и скалярное умножение тогда можно рассматривать просто как умножение в поле.

Когда V является K^п, скалярное умножение эквивалентно умножению каждого компонента на скаляр и может быть определено как таковое.

Та же идея применима, если K это коммутативное кольцо и V это модуль над K.K может даже быть буровая установка, но тогда нет аддитивной инверсии. K не является коммутативный, различные операции левое скалярное умножение cv и правое скалярное умножение vc можно определить.

Скалярное умножение матриц

Основная статья: Матрица (математика)

В левое скалярное умножение матрицы А со скаляром λ дает другую матрицу того же размера, что и А. Обозначается он λА,^[6] чьи записи λА определены

${\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,}$

явно:

${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}$

Точно так же правое скалярное умножение матрицы А со скаляром λ определяется как

${\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,}$

явно:

${\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.}$

Когда основной звенеть является коммутативный, например, настоящий или же комплексное число поле, эти два умножения одинаковы и называются просто скалярное умножение. Однако для матриц более общего звенеть которые нет коммутативные, такие как кватернионы, они могут не быть равными.

Для действительного скаляра и матрицы:

${\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.}$

Для кватернионных скаляров и матриц:

${\displaystyle \lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,}$

куда я, j, k являются кватернионными единицами. Некоммутативность умножения кватернионов препятствует переходу изменения ij = +k к джи = −k.

Смотрите также

• Скалярное произведение
• Умножение матриц
• Умножение векторов
• Продукт (математика)

Рекомендации

1. Лэй, Дэвид С. (2006). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Эддисон – Уэсли. ISBN  0-321-28713-4.
2. Стрэнг, Гилберт (2006). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул. ISBN  0-03-010567-6.
3. Акслер, Шелдон (2002). Линейная алгебра сделано правильно (2-е изд.). Springer. ISBN  0-387-98258-2.
4. Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-43334-9.
5. Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN  0-387-95385-X.
6. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-09-06.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Скалярное умножение». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-06.