Глоссарий теории поля - Glossary of field theory

Теория поля это филиал математика в котором поля изучаются. Это глоссарий некоторых терминов предмета. (Видеть теория поля (физика) для несвязанных теорий поля в физике.)

Определение поля

А поле это коммутативное кольцо (F, +, *), в котором 0 ≠ 1 и каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный. Таким образом, в поле мы можем выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Ненулевые элементы поля F для мужчин абелева группа при умножении; эту группу обычно обозначают F^×;

В кольцо многочленов в переменной Икс с коэффициентами в F обозначается F[Икс].

Основные определения

Характеристика: В характеристика поля F самый маленький положительный целое число п такой, что п· 1 = 0; Вот п· 1 означает п слагаемые 1 + 1 + 1 + ... + 1. Если таких нет п существует, мы говорим, что характеристика равна нулю. Каждая ненулевая характеристика является простое число. Например, рациональное число, то действительные числа и п-адические числа имеют характеристику 0, а конечное поле Z_п куда п простое имеет характеристику п.

Подполе: А подполе поля F это подмножество из F который замыкается при полевой операции + и * F и которое с помощью этих операций образует поле.

Prime field: В основное поле поля F - единственное наименьшее подполе F.

Поле расширения: Если F является подполем E тогда E является поле расширения из F. Затем мы также говорим, что E/F это расширение поля.

Степень расширения: Учитывая расширение E/F, поле E можно рассматривать как векторное пространство над полем F, а измерение этого векторного пространства является степень расширения, обозначаемого [E : F].

Конечное расширение: А конечное расширение является расширением поля, степень которого конечна.

Алгебраическое расширение: Если элемент α поля расширения E над F это корень ненулевого многочлена от F[Икс], то α является алгебраический над F. Если каждый элемент E алгебраичен над F, тогда E/F является алгебраическое расширение.

Генераторная установка: Учитывая расширение поля E/F и подмножество S из E, мы пишем F(S) для наименьшего подполя поля E который содержит оба F и S. Он состоит из всех элементов E которое может быть получено многократным использованием операций +, -, *, / над элементами F и S. Если E = F(S) мы говорим, что E генерируется S над F.

Примитивный элемент: Элемент α поля расширения E над полем F называется примитивный элемент если E=F(α), наименьшее поле расширения, содержащее α. Такое расширение называется простое расширение.

Поле разделения: Расширение поля, порожденное полной факторизацией многочлена.

Нормальное расширение: Расширение поля, порожденное полной факторизацией набора многочленов.

Раздельное расширение: Расширение, порожденное корнями отделимые многочлены.

Идеальное поле: Поле такое, что каждое конечное расширение отделимо. Все поля нулевой характеристики и все конечные поля совершенны.

Несовершенная степень: Позволять F быть полем характеристики п> 0; тогда F^п это подполе. Степень [F:F^п] называется несовершенная степень из F. Поле F является совершенным тогда и только тогда, когда его несовершенная степень равна 1. Например, если F является функциональным полем п переменные над конечным полем характеристики п> 0, то его несовершенная степень равна п^п.^[1]

Алгебраически замкнутое поле: Поле F является алгебраически замкнутый если каждый многочлен из F[Икс] имеет корень в F; эквивалентно: каждый многочлен от F[Икс] является произведением линейных факторов.

Алгебраическое замыкание: An алгебраическое замыкание поля F является алгебраическим расширением F которая алгебраически замкнута. Каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и оно уникально с точностью до изоморфизма, фиксирующего F.

Трансцендентный: Эти элементы поля расширения F которые не являются алгебраическими над F находятся трансцендентный над F.

Алгебраически независимые элементы: Элементы поля расширения F находятся алгебраически независимый над F если они не удовлетворяют никакому ненулевому полиномиальному уравнению с коэффициентами в F.

Степень трансцендентности: Число алгебраически независимых трансцендентных элементов в расширении поля. Он используется для определения размерность алгебраического многообразия.

Гомоморфизмы

Гомоморфизм поля

А гомоморфизм поля между двумя полями E и F это функция

ж : E → F

такое, что для всех Икс, у в E,

ж(Икс + у) = ж(Икс) + ж(у)

ж(ху) = ж(Икс) ж(у)

ж(1) = 1.

Из этих свойств следует, что ж(0) = 0, ж(Икс⁻¹) = ж(Икс)⁻¹ за Икс в E с Икс ≠ 0, и это ж является инъективный. Поля вместе с этими гомоморфизмами образуют категория. Два поля E и F называются изоморфный если существует биективный гомоморфизм

ж : E → F.

Тогда два поля идентичны для всех практических целей; однако не обязательно в уникальный путь. См., Например, комплексное сопряжение.

Типы полей

Конечное поле: Поле с конечным числом элементов. Ака Поле Галуа.

Заказанное поле: Поле с общий заказ совместим с его операциями.

Рациональное число

Действительные числа

Сложные числа

Числовое поле: Конечное расширение поля рациональных чисел.

Алгебраические числа: Поле алгебраических чисел - это наименьшее алгебраически замкнутое расширение поля рациональных чисел. Их подробные свойства изучены в алгебраическая теория чисел.

Квадратичное поле: Расширение рациональных чисел степени два.

Циклотомическое поле: Расширение рациональных чисел, порожденных корень единства.

Полностью реальное поле: Числовое поле, порожденное корнем многочлена, все корни которого являются действительными числами.

Формально реальное поле

Настоящее закрытое поле

Глобальное поле: Числовое поле или функциональное поле одной переменной над конечным полем.

Местное поле: Завершение некоторого глобального поля (w.r.t. простое число целочисленного кольца).

Заполнить поле: Поле заполнено w.r.t. к некоторой оценке.

Псевдоалгебраически замкнутое поле: Поле, в котором каждый сорт имеет рациональная точка.^[2]

Гензельское месторождение: Поле, удовлетворяющее Лемма Гензеля w.r.t. некоторая оценка. Обобщение полных полей.

Гильбертово поле: Поле, удовлетворяющее Теорема Гильберта о неприводимости: формально тот, для которого проективная линия не является тонкий в смысле Серра.^[3]^[4]

Кронекерово поле: Полностью вещественное поле алгебраических чисел или полностью мнимое квадратичное расширение вполне реального поля.^[5]

CM-поле или же J-поле: Поле алгебраических чисел, которое является полностью мнимым квадратичным расширением вполне реального поля.^[6]

Связанное поле: Поле, над которым нет бикватернионная алгебра это алгебра с делением.^[7]

Поле Фробениуса: А псевдоалгебраически замкнутое поле чей абсолютная группа Галуа обладает свойством встраивания.^[8]

Расширения полей

Позволять E / F быть расширением поля.

Алгебраическое расширение: Расширение, в котором каждый элемент E алгебраичен над F.

Простое расширение: Расширение, которое создается одним элементом, называемым примитивный элемент, или же генерирующий элемент.^[9] В теорема о примитивном элементе классифицирует такие расширения.^[10]

Нормальное расширение: Расширение, которое разбивает семейство многочленов: каждый корень минимального многочлена элемента E над F также в E.

Раздельное расширение: Алгебраическое расширение, в котором минимальный многочлен каждого элемента E над F это отделимый многочлен, то есть имеет разные корни.^[11]

Расширение Галуа: Обычное разделимое расширение поля.

Первичное расширение: Расширение E/F такое, что алгебраическое замыкание F в E является полностью неразлучен над F; эквивалентно, E является линейно непересекающийся от отделяемое закрытие из F.^[12]

Чисто трансцендентное расширение: Расширение E/F в котором каждый элемент E не в F трансцендентален F.^[13]^[14]

Обычное продление: Расширение E/F такой, что E отделим над F и F алгебраически замкнуто в E.^[12]

Простое радикальное расширение: А простое расширение E/F порожденный одним элементом α, удовлетворяющим ${ Displaystyle альфа ^ {п} = Ь}$ для элемента б из F. В характеристика п, мы также берем расширение корнем Многочлен Артина – Шрайера быть простым радикальным расширением.^[15]

Радикальное расширение: Башня ${ Displaystyle F = F_ {0}$ где каждое расширение ${ displaystyle F_ {i} / F_ {i-1}}$ простое радикальное расширение.^[15]

Самостоятельное расширение: Расширение E/F такой, что E⊗_FE является областью целостности.^[16]

Совершенно трансцендентное расширение: Расширение E/F такой, что F алгебраически замкнуто в F.^[14]

Выдающийся класс

Класс C расширений полей с тремя свойствами^[17]

Если E является C-расширением F и F является C-расширением K тогда E является C-расширением K.
Если E и F являются C-расширениями K в общем поле M, то композитум EF является C-расширением K.
Если E является C-расширением F и E>K>F тогда E является C-расширением K.

Теория Галуа

Расширение Галуа: Обычное разделимое расширение поля.

Группа Галуа: В группа автоморфизмов расширения Галуа. Когда это конечное расширение, это конечная группа порядка, равного степени расширения. Группы Галуа для бесконечных расширений проконечные группы.

Теория Куммера: Теория Галуа взятия пкорни, учитывая достаточно корни единства. Он включает общую теорию квадратичные расширения.

Теория Артина – Шрайера: Охватывает исключительный случай теории Куммера в характеристике п.

Нормальная основа: Базис в векторном пространстве L над K, на котором группа Галуа L над K действует транзитивно.

Тензорное произведение полей: Другой фундаментальный элемент алгебры, включая композитум операция (присоединиться полей).

Расширения теории Галуа

Обратная задача теории Галуа: Учитывая группу грамм, найдите расширение рационального числа или другого поля с помощью грамм как группа Галуа.

Дифференциальная теория Галуа: Тема, в которой группы симметрии дифференциальные уравнения изучаются по традиционным для теории Галуа направлениям. На самом деле это старая идея, и одна из причин, по которой Софус Ли основал теорию Группы Ли. Окончательной формы, наверное, не дошло.

Теория Галуа Гротендика: Очень абстрактный подход от алгебраическая геометрия, введенный для изучения аналога фундаментальная группа.