Бикватернионная алгебра - Biquaternion algebra

В математике бикватернионная алгебра представляет собой соединение кватернионные алгебры над полем.

В бикватернионы из Уильям Роуэн Гамильтон (1844) и связанные сплит-бикватернионы и двойные кватернионы не образуют бикватернионных алгебр в этом смысле.

Определение

Позволять F быть полем характеристика не равно 2.A бикватернионная алгебра над F это тензорное произведение из двух кватернионные алгебры.^[1][2]

Алгебра бикватернионов - это центральная простая алгебра размерности 16 и степень 4 над базовым полем: у него есть экспонента (порядок ее Класс Брауэра в Группа Брауэра из F)^[3] равно 1 или 2.

Теорема Альберта

Позволять А = (а₁,а₂) и B = (б₁,б₂) - кватернионные алгебры над F.

В Форма Альберта за А, B является

${\displaystyle q=\left\langle {-a_{1},-a_{2},a_{1}a_{2},b_{1},b_{2},-b_{1}b_{2}}\right\rangle \ .}$

Это можно рассматривать как разницу в Кольцо Witt троичных форм, прикрепленных к мнимым подпространствам А и B.^[4] Алгебры кватернионов: связаны тогда и только тогда, когда форма Альберта изотропный, иначе несвязанный.^[5]

Альберт Теорема утверждает, что следующие эквивалентны:

• А⊗B это алгебра с делением;
• Форма Альберта анизотропный;
• А, B являются алгебрами с делением и не имеют общего квадратичного поля расщепления.^[6][7]

В случае связанных алгебр мы можем дополнительно классифицировать другие возможные структуры для тензорного произведения в терминах формы Альберта. Если форма гиперболический, то алгебра бикватернионов изоморфна алгебре M₄(F) матриц 4 × 4 над F: в противном случае он изоморфен произведению M₂(F)⊗D куда D является алгеброй кватернионов с делением над F.^[2] В Индекс Шура алгебры бикватернионов равно 4, 2 или 1 в соответствии с Индекс Витта формы Альберта 0, 1 или 3.^[8][9]

Характеристика

Теорема Альберта утверждает, что каждая центральная простая алгебра степени 4 и показателя 2 является алгеброй бикватернионов.^[8][10]

Рекомендации

1. Лам (2005) стр.60
2. Шимичек (1997) с.452
3. Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения. Springer-Verlag. п. 208. ISBN  1852336676.
4. Knus et al (1991) стр.192
5. Лам (2005) стр.70
6. Альберт, А.А. (1972). «Тензорные произведения кватернионных алгебр». Proc. Являюсь. Математика. Soc. 35: 65–66. Дои:10.1090 / с0002-9939-1972-0297803-6. Zbl  0263.16012.
7. Джейкобсон (1996) стр.77.
8. Лам (2005) стр.437
9. Knus et al (1991) стр. 236
10. Knus et al (1991) стр.233.

• Альберт, А. Адриан (1932). «Нормальные алгебры с делением четвертой степени над алгебраическим полем». Пер. Являюсь. Математика. Soc. 34: 363–372. Дои:10.2307/1989546. Zbl  0004.10002.
• Джейкобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-57029-2. Zbl  0874.16002.
• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев Александр; Рост, Маркус; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций. Публикации коллоквиума. 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0904-0. Zbl  0955.16001.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2. МИСТЕР  2104929. Zbl  1068.11023.
• Шимичек, Казимеж (1997). Билинейная алгебра. Введение в алгебраическую теорию квадратичных форм. Алгебра, логика и приложения. 7. Лангхорн, Пенсильвания: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  9056990764. Zbl  0890.11011.