Двойной кватернион - Dual quaternion

Мемориальная доска на мосту Брум (Дублин) в память об изобретении Гамильтоном кватернионов

В математика, то двойные кватернионы являются 8-мерным реальным алгебра изоморфен тензорное произведение из кватернионы и двойные числа. Таким образом, они могут быть построены так же, как кватернионы, за исключением использования двойные числа вместо того действительные числа в качестве коэффициентов. Двойственный кватернион можно представить в виде А + εB, где А и B - обычные кватернионы, а ε - двойственная единица, удовлетворяющая ε² = 0 и коммутирует с каждым элементом алгебры. В отличие от кватернионов, двойные кватернионы не образуют алгебра с делением.

В механика, двойственные кватернионы применяются как система счисления представлять жесткие преобразования в трех измерениях.^[1] Поскольку пространство двойных кватернионов является 8-мерным, а жесткое преобразование имеет шесть реальных степеней свободы, три для сдвигов и три для вращений, в этом приложении используются двойные кватернионы, подчиняющиеся двум алгебраическим ограничениям.

Подобно тому, как вращения в трехмерном пространстве могут быть представлены кватернионами единичной длины, жесткие движения в трехмерном пространстве могут быть представлены двойными кватернионами единичной длины. Этот факт используется в теоретических кинематика (см. Маккарти^[2]), а в приложениях к 3D компьютерная графика, робототехника и компьютерное зрение.^[3]

История

В. Р. Гамильтон представил кватернионы^[4][5] в 1843 г., а к 1873 г. В. К. Клиффорд получил широкое обобщение этих чисел, которое он назвал бикватернионы,^[6][7] что является примером того, что сейчас называется Алгебра Клиффорда.^[2]

В 1898 г. Александр МакОлей использовали Ω с Ω² = 0, чтобы сгенерировать двойственную кватернионную алгебру.^[8] Однако его терминология «октонионы» не сохранилась в нынешней октонионы другая алгебра.

В России, Александр Котельников^[9] разработал двойные векторы и двойные кватернионы для использования в изучении механики.

В 1891 г. Эдуард Этюд понял, что это ассоциативная алгебра идеально подходил для описания группы движений трехмерное пространство. Он развил идею в Geometrie der Dynamen в 1901 г.^[10] Б. Л. ван дер Варден названная структура "Study biquaternions", одна из трех восьмимерных алгебр, называемых бикватернионы.

Формулы

Чтобы описать операции с двойственными кватернионами, полезно сначала рассмотреть кватернионы.^[11]

Кватернион - это линейная комбинация базисных элементов 1, я, j, и k. Правило произведения Гамильтона для я, j, и k часто пишется как

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}$

Вычислить я ( я j k ) = −j k = −я, чтобы получить j k = я, и ( я j k ) k = −я j = −k или я j = k. Теперь, потому что j ( j k ) = j i = −k, мы видим, что этот продукт дает я j = −j i, который связывает кватернионы со свойствами определителей.

Удобный способ работы с произведением кватернионов - записать кватернион как сумму скаляра и вектора, т. Е. А = а₀ + А, где а₀ это реальное число и А = А₁ я + А₂ j + А₃ k - трехмерный вектор. Операции с векторной точкой и перекрестие теперь можно использовать для определения кватернионного произведения А = а₀ + А и C = c₀ + C так как

${\displaystyle G=AC=(a_{0}+\mathbf {A} )(c_{0}+\mathbf {C} )=(a_{0}c_{0}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )+(c_{0}\mathbf {A} +a_{0}\mathbf {C} +\mathbf {A} \times \mathbf {C} ).}$

Двойной кватернион обычно описывается как кватернион с двойными числами в качестве коэффициентов. А двойной номер упорядоченная пара â = ( а, б ). Два двойных числа покомпонентно складываются и умножаются по правилу â ĉ = ( а, б ) ( c, d ) = (а с, а д + до н.э). Двойные числа часто записываются в виде â = а + εб, где ε - двойственная единица, коммутирующая с я, j, k и имеет свойство ε² = 0.

В результате дуальный кватернион можно записать как упорядоченную пару кватернионов ( А, B ). Два двойных кватерниона складываются покомпонентно и умножаются по правилу

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).}$

Двойственный кватернион удобно записать как сумму двойственного скаляра и двойственного вектора, Â = â₀ + А, где â₀ = ( а, б ) и А = ( А, B ) - двойственный вектор, определяющий винт. Это обозначение позволяет нам записать произведение двух двойственных кватернионов как

${\displaystyle {\hat {G}}={\hat {A}}{\hat {C}}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {c}}_{0}+{\mathsf {C}})=({\hat {a}}_{0}{\hat {c}}_{0}-{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {C}})+({\hat {c}}_{0}{\mathsf {A}}+{\hat {a}}_{0}{\mathsf {C}}+{\mathsf {A}}\times {\mathsf {C}}).}$

Дополнение

Добавление двойственных кватернионов определяется покомпонентно так, чтобы, учитывая,

${\displaystyle {\hat {A}}=(A,B)=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k+b_{0}\varepsilon +b_{1}\varepsilon i+b_{2}\varepsilon j+b_{3}\varepsilon k,}$

и

${\displaystyle {\hat {C}}=(C,D)=c_{0}+c_{1}i+c_{2}j+c_{3}k+d_{0}\varepsilon +d_{1}\varepsilon i+d_{2}\varepsilon j+d_{3}\varepsilon k,}$

тогда

${\displaystyle {\hat {A}}+{\hat {C}}=(A+C,B+D)=(a_{0}+c_{0})+(a_{1}+c_{1})i+(a_{2}+c_{2})j+(a_{3}+c_{3})k+(b_{0}+d_{0})\varepsilon +(b_{1}+d_{1})\varepsilon i+(b_{2}+d_{2})\varepsilon j+(b_{3}+d_{3})\varepsilon k,}$

Умножение

Умножение двух двойственных кватернионов следует из правил умножения кватернионных единиц i, j, k и коммутативного умножения на двойственную единицу ε. В частности, учитывая

${\displaystyle {\hat {A}}=(A,B)=A+\varepsilon B,}$

и

${\displaystyle {\hat {C}}=(C,D)=C+\varepsilon D,}$

тогда

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A+\varepsilon B)(C+\varepsilon D)=AC+\varepsilon (AD+BC).\!}$

Обратите внимание, что нет BD термин, потому что определение двойных чисел требует, чтобы ε² = 0.

Это дает нам таблицу умножения (обратите внимание, что порядок умножения - это строка, умноженная на столбец):

Таблица умножения для двойных кватернионов

(Ряд x столбец)	1	я	j	k	ε	εя	εj	εk
1	1	я	j	k	ε	εя	εj	εk
я	я	−1	k	−j	εя	−ε	εk	−εj
j	j	−k	−1	я	εj	−εk	−ε	εя
k	k	j	−я	−1	εk	εj	−εя	−ε
ε	ε	εя	εj	εk	0	0	0	0
εя	εя	−ε	εk	−εj	0	0	0	0
εj	εj	−εk	−ε	εя	0	0	0	0
εk	εk	εj	−εя	−ε	0	0	0	0

Конъюгировать

Сопряжение двойственного кватерниона - это расширение сопряженного кватерниона, то есть

${\displaystyle {\hat {A}}^{*}=(A^{*},B^{*})=A^{*}+\varepsilon B^{*}.\!}$

Как и в случае кватернионов, сопряжение произведения двойственных кватернионов, ГРАММ = ÂĈ, является произведением их конъюгатов в обратном порядке,

${\displaystyle {\hat {G}}^{*}=({\hat {A}}{\hat {C}})^{*}={\hat {C}}^{*}{\hat {A}}^{*}.\!}$

Полезно ввести функции Sc (∗) и Vec (∗), которые выбирают скалярную и векторную части кватерниона или двойственные скалярные и двойственные векторные части двойственного кватерниона. В частности, если Â = â₀ + А, тогда

${\displaystyle {\mbox{Sc}}({\hat {A}})={\hat {a}}_{0},{\mbox{Vec}}({\hat {A}})={\mathsf {A}}.\!}$

Это позволяет определить сопряжение Â так как

${\displaystyle {\hat {A}}^{*}={\mbox{Sc}}({\hat {A}})-{\mbox{Vec}}({\hat {A}}).\!}$

или же,

${\displaystyle ({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})^{*}={\hat {a}}_{0}-{\mathsf {A}}.\!}$

Произведение двойственного кватерниона на сопряженные выходы

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {a}}_{0}-{\mathsf {A}})={\hat {a}}_{0}^{2}+{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {A}}.\!}$

Это дуальный скаляр, который является величина в квадрате двойного кватерниона.

Двойное число, сопряженное

Второй тип сопряженного двойственного кватерниона дается взятием сопряженного двойственного числа, заданного формулой

${\displaystyle {\overline {\hat {A}}}=(A,-B)=A-\varepsilon B.\!}$

Конъюгаты кватерниона и двойного числа могут быть объединены в третью форму конъюгата, задаваемую

${\displaystyle {\overline {{\hat {A}}^{*}}}=(A^{*},-B^{*})=A^{*}-\varepsilon B^{*}.\!}$

В контексте двойных кватернионов термин «сопряженный» может использоваться для обозначения конъюгата кватернионов, конъюгата двойного числа или обоих.

Норма

В норма двойственного кватерниона |Â| вычисляется с использованием конъюгата для вычисления |Â| = √ Â^*. Это двойное число, называемое величина двойного кватерниона. Двойные кватернионы с |Â| = 1 находятся единичные двойные кватернионы.

Двойные кватернионы величины 1 используются для представления пространственных евклидовых смещений. Обратите внимание, что требование Â Â^* = 1, вводит два алгебраических ограничения на компоненты Â, то есть

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=(A,B)(A^{*},B^{*})=(AA^{*},AB^{*}+BA^{*})=(1,0).\!}$

Обратный

Если п + ε q является двойным кватернионом, и п не равно нулю, то обратный двойственный кватернион имеет вид

п⁻¹ (1 - ε q п⁻¹).

Таким образом, элементы подпространства {ε q: q ∈ H} обратных нет. Это подпространство называется идеальный в теории колец. Это уникальный максимальный идеал кольца двойственных чисел.

В группа единиц двойственного кольца чисел состоит из чисел, не входящих в идеал. Двойные числа образуют местное кольцо поскольку существует единственный максимальный идеал. Группа единиц - это Группа Ли и могут быть изучены с помощью экспоненциальное отображение. Двойные кватернионы использовались для демонстрации преобразований в Евклидова группа. Типичный элемент можно записать как винтовая трансформация.

Двойные кватернионы и пространственные смещения

Преимущество двойной кватернионной формулировки композиции двух пространственных смещений D_B = ([р_B], б) и D_А = ([р_А],а) состоит в том, что полученный дуальный кватернион непосредственно дает ось винта и двойной угол составного смещения D_C = D_BD_А.

В общем, двойной кватернион, связанный с пространственным смещением D = ([А], d) строится из его ось винта S = (S, V) и двойственный угол (φ, d) где φ вращение вокруг и d ползун по этой оси, определяющий смещениеD. Соответствующий дуальный кватернион определяется выражением

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\phi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\phi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

Пусть композиция смещения D_B с D_А быть смещением D_C = D_BD_А. Ось винта и двойной угол D_C получается из произведения двойственных кватернионов D_А и D_B, данный

${\displaystyle {\hat {A}}=\cos({\hat {\alpha }}/2)+\sin({\hat {\alpha }}/2){\mathsf {A}}\quad {\text{and}}\quad {\hat {B}}=\cos({\hat {\beta }}/2)+\sin({\hat {\beta }}/2){\mathsf {B}}.}$

То есть составное смещение D_C= D_BD_А имеет связанный дуальный кватернион, заданный формулой

${\displaystyle {\hat {C}}=\cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}={\Big (}\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}{\Big )}{\Big (}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}{\Big )}.}$

Разверните этот продукт, чтобы получить

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}={\Big (}\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}{\Big )}+{\Big (}\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {A}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}{\Big )}.}$

Разделим обе части этого уравнения на тождество

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}=\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}$

чтобы получить

${\displaystyle \tan {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}={\frac {\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}+\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}+\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}}{1-\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}}.}$

Это Родригес 'формула для оси винта составного смещения, определенного в терминах осей винта двух смещений. Он вывел эту формулу в 1840 году.^[12]

Три винтовые оси A, B и C образуют пространственный треугольник и двойные углы на этих вершины между общими нормалями, которые образуют стороны этого треугольника, напрямую связаны с двойными углами трех пространственных смещений.

Матричная форма двойного кватернионного умножения

Матричное представление кватернионного произведения удобно для программирования вычислений кватернионов с использованием матричной алгебры, что верно и для двойных кватернионных операций.

Кватернионное произведение AC - это линейное преобразование оператором A компонентов кватерниона C, поэтому существует матричное представление A, работающего с вектором, сформированным из компонентов C.

Соберите компоненты кватерниона C = c₀ + C в массив C = (C₁, С₂, С₃, c₀). Обратите внимание, что компоненты векторной части кватерниона перечислены первыми, а скаляр - последним. Это произвольный выбор, но как только это соглашение будет выбрано, мы должны его соблюдать.

Кватернионный продукт AC теперь может быть представлен как матричный продукт

${\displaystyle AC=[A^{+}]C={\begin{bmatrix}a_{0}&A_{3}&-A_{2}&A_{1}\\-A_{3}&a_{0}&A_{1}&A_{2}\\A_{2}&-A_{1}&a_{0}&A_{3}\\-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}&a_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\c_{0}\end{Bmatrix}}.}$

Продукт AC также можно рассматривать как операцию C над компонентами A, и в этом случае мы имеем

${\displaystyle AC=[C^{-}]A={\begin{bmatrix}c_{0}&C_{3}&-C_{2}&C_{1}\\-C_{3}&c_{0}&C_{1}&C_{2}\\C_{2}&-C_{1}&c_{0}&C_{3}\\-C_{1}&-C_{2}&-C_{3}&c_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\a_{0}\end{Bmatrix}}.}$

Двойственное кватернионное произведение ÂĈ = (A, B) (C, D) = (AC, AD + BC) можно сформулировать как матричную операцию следующим образом. Соберите компоненты Ĉ в восьмеричный массив Ĉ = (C₁, С₂, С₃, c₀, D₁, D₂, D₃, d₀), то ÂĈ задается матричным произведением 8x8

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {A}}^{+}]{\hat {C}}={\begin{bmatrix}A^{+}&0\\B^{+}&A^{+}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C\\D\end{Bmatrix}}.}$

Как мы видели для кватернионов, произведение ÂĈ можно рассматривать как операцию Ĉ над вектором координат Â, что означает, что ÂĈ также можно сформулировать как

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {C}}^{-}]{\hat {A}}={\begin{bmatrix}C^{-}&0\\D^{-}&C^{-}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A\\B\end{Bmatrix}}.}$

Подробнее о пространственных перемещениях

Двойственный кватернион смещения D = ([A], d) можно построить из кватерниона S = cos (φ / 2) + sin (φ / 2)S который определяет вращение [A] и векторный кватернион, построенный из вектора переноса d, задаваемый D = d₁я + д₂j + d₃k. Используя эти обозначения, двойственный кватернион для смещения D = ([A], d) дан кем-то

${\displaystyle {\hat {S}}=S+\varepsilon {\frac {1}{2}}DS.}$

Пусть координаты Плюккера прямой в направлении Икс через точку п в движущемся теле и его координаты в неподвижной системе отсчета по направлению Икс через точку п быть отдано,

${\displaystyle {\hat {x}}=\mathbf {x} +\varepsilon \mathbf {p} \times \mathbf {x} \quad {\text{and}}\quad {\hat {X}}=\mathbf {X} +\varepsilon \mathbf {P} \times \mathbf {X} .}$

Тогда двойственный кватернион смещения этого тела преобразует координаты Плюккера в подвижной системе отсчета в координаты Плюккера в неподвижной системе отсчета по формуле

${\displaystyle {\hat {X}}={\hat {S}}{\hat {x}}{\overline {{\hat {S}}^{*}}}.}$

Используя матричную форму двойного кватернионного произведения, это становится,

${\displaystyle {\hat {X}}=[{\hat {S}}^{+}][{\hat {S}}^{-}]^{*}{\hat {x}}.}$

Этим вычислением легко управлять с помощью матричных операций.

Двойные кватернионы и однородные преобразования 4 × 4

Может быть полезно, особенно при движении твердого тела, представить двойные кватернионы как однородные матрицы. Как указано выше, двойной кватернион можно записать как: ${\displaystyle {\hat {q}}=r+d\varepsilon }$ где р и d оба кватернионы. В р кватернион известен как действительная или вращательная часть, а ${\displaystyle d}$ кватернион известен как двойная часть или часть смещения.

Часть вращения может быть задана как

${\displaystyle r=r_{w}+r_{x}i+r_{y}j+r_{z}k=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left({\vec {a}}\cdot (i,j,k)\right)}$

где ${\displaystyle \theta }$ - угол поворота относительно направления, заданного единичным вектором ${\displaystyle {\vec {a}}}$. Деталь смещения можно записать как

${\displaystyle d=0+{\frac {\Delta x}{2}}i+{\frac {\Delta y}{2}}j+{\frac {\Delta z}{2}}k}$.

Двойной кватернионный эквивалент 3D-вектора равен

${\displaystyle {\hat {v}}:=1+\varepsilon (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}$

и его преобразование ${\displaystyle {\hat {q}}}$ дан кем-то^[13]

${\displaystyle {\hat {v}}'={\hat {q}}\cdot {\hat {v}}\cdot {\overline {{\hat {q}}^{*}}}}$.

Эти двойственные кватернионы (или фактически их преобразования на 3D-векторах) могут быть представлены однородной матрицей преобразования

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\\\Delta x&&&\\\Delta y&&R&\\\Delta z&&&\\\end{pmatrix}}}$

где 3 × 3 ортогональная матрица дан кем-то

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}r_{w}^{2}+r_{x}^{2}-r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{x}r_{y}-2r_{w}r_{z}&2r_{x}r_{z}+2r_{w}r_{y}\\2r_{x}r_{y}+2r_{w}r_{z}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{y}r_{z}-2r_{w}r_{x}\\2r_{x}r_{z}-2r_{w}r_{y}&2r_{y}r_{z}+2r_{w}r_{x}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}-r_{y}^{2}+r_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}.}$

Для 3D-вектора

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}1\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\\end{pmatrix}}}$

преобразование T дается формулой

${\displaystyle {\vec {v}}'=T\cdot {\vec {v}}}$

Связь с алгебрами Клиффорда

Помимо того, что это тензорное произведение двух алгебр Клиффорда, кватернионов и двойные числа двойственные кватернионы имеют две другие формулировки в терминах алгебр Клиффорда.

Во-первых, двойственные кватернионы изоморфны Алгебра Клиффорда порожденный 3-мя антикоммутирующими элементами i, j, e с i² = j² = -1 и e² = 0. Если мы определим k = ij и ε = k, то соотношения, определяющие двойственные кватернионы, подразумеваются ими, и наоборот. Во-вторых, двойственные кватернионы изоморфны четной части алгебры Клиффорда, порожденной 4 антикоммутирующими элементами ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$ с

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$

Подробнее см. Алгебры Клиффорда: двойственные кватернионы.

Эпонимы

Поскольку оба Эдуард Этюд и Уильям Кингдон Клиффорд использовали и писали о двойных кватернионах, иногда авторы называют двойные кватернионы «бикватернионами исследования» или «бикватернионами Клиффорда». Последний эпоним также использовался для обозначения сплит-бикватернионы. Прочтите статью Джо Руни, ссылка на которую приведена ниже, чтобы увидеть сторонника W.K. Утверждение Клиффорда. Поскольку утверждения Клиффорда и Стюда являются спорными, удобно использовать текущее обозначение двойной кватернион чтобы избежать конфликта.

Смотрите также

• Теория винта
• Рациональное движение
• Кватернионы и пространственное вращение
• Преобразование между кватернионами и углами Эйлера
• Олинде Родригес
• Двойное комплексное число

Рекомендации

Примечания

1. В. Ян, Применение кватернионной алгебры и двойственных чисел к анализу пространственных механизмовДокторская диссертация, Колумбийский университет, 1963 г.
2. Дж. М. Маккарти, Введение в теоретическую кинематику, стр. 62–5, MIT Press 1990.
3. А. Торселло, Э. Родола и А. Альбарелли, Многоканальная регистрация с помощью графической диффузии двойных кватернионов, Proc. XXIV конференции IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов, стр. 2441-2448, июнь 2011 г.
4. У. Р. Гамильтон, "О кватернионах, или о новой системе воображаемых в алгебре", Phil. Mag. 18, рассрочка июль 1844 г. - апрель 1850 г., изд. Д. Э. Уилкинс (2000)
5. В. Р. Гамильтон, Элементы кватернионов, Longmans, Green & Co., Лондон, 1866 г.
6. В. К. Клиффорд, "Предварительный набросок би-кватернионов, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395"
7. В. К. Клиффорд, Математические статьи, (редактор Р. Такер), Лондон: Macmillan, 1882.
8. Александр МакОлей (1898) Октонионы: развитие бикватернионов Клиффорда, ссылка из Интернет-архив
9. Котельников А.П. (1895) Винтовое исчисление и некоторые приложения к геометрии и механике, Annal. Imp. Univ. Казань
10. Эдуард Этюд (1901) Geometrie der Dynamen, Тойбнер, Лейпциг
11. О. Боттема и Б. Рот, Теоретическая кинематика, Северная Голландия Publ. Co., 1979 г.
12. Родриг, О. (1840 г.), Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et la вариация координат, поставленных на место, независимое от причин, qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Liouville 5, 380–440.
13. Двойные кватернионы для жесткого смешения трансформации, п. 4.

Источники

• В. Ян (1963) Применение алгебры кватернионов и двойственных чисел к анализу пространственных механизмов, Кандидатская диссертация, Колумбийский университет.
• В. Ян (1974) "Исчисление винтов" в Основные вопросы теории дизайна, Уильям Р. Спиллерс, редактор, Эльзевир, страницы 266-281.
• Дж. М. Маккарти (1990) Введение в теоретическую кинематику, стр. 62–5, Массачусетский технологический институт Нажмите ISBN  0-262-13252-4.
• Л. Каван, С. Коллинз, К. О'Салливан, Дж. Зара (2006) Двойные кватернионы для жесткого смешения трансформации, Технический отчет, Тринити-колледж Дублина.
• Джо Руни Уильям Кингдон Клиффорд, Департамент дизайна и инноваций, Открытый университет, Лондон.
• Джо Руни (2007) "Уильям Кингдон Клиффорд" в Марко Чеккарелли, Выдающиеся деятели механики и машиностроения, Springer.
• Эдуард Этюд (1891) "Фон Bewegungen und Umlegung", Mathematische Annalen 39:520.

дальнейшее чтение

• Ян Фишер (1998). Двухчисловые методы в кинематике, статике и динамике. CRC Press. ISBN  978-0-8493-9115-6.
• Э. Пеннестри и Р. Стефанелли (2007) Линейная алгебра и численные алгоритмы с использованием двойных чисел, опубликовано в Многотельная системная динамика 18(3):323–349.
• Э. Пеннестри и П. П. Валентини, Двойные кватернионы как инструмент для анализа движений твердого тела: Учебное пособие в приложении к биомеханике, АРХИВУМ БУДОВЫЙ МАШИН, т. 57. С. 187–205, 2010.
• Э. Пеннестри и П. П. Валентини, Алгоритмы линейной двойственной алгебры и их применение в кинематике, Многотельная динамика, Октябрь 2008 г., стр. 207–229, Дои:10.1007/978-1-4020-8829-2_11
• Д.П. Шевалье (1996) «О принципе переноса в кинематике: его различные формы и ограничения», Механизм и теория машин 31(1):57–76.
• М.А. Гунгор (2009) "Двойственные лоренцевы сферические движения и двойственные формулы Эйлера-Савари", Европейский журнал механики твердых тел 28 (4): 820–6.

внешняя ссылка

• Вильгельм Блашке (1958) Переводчик Д. Х. Дельфениха, «Приложения двойных кватернионов к кинематике»
• Вильгельм Блашке (1960) переводчик Д. Х. Дельфениха, Кватернионы и кинематика из Neo-classical-physics.info.
• Двойные кватернионы, руководство для начинающих по двойным кватернионам Бен Кенрайт
• Двойные кватернионы: от классической механики до компьютерной графики и не только Бен Кенрайт