Гиперболический кватернион - Hyperbolic quaternion

Гиперболическое умножение кватернионов

×	1	я	j	k
1	1	я	j	k
я	я	+1	k	−j
j	j	−k	+1	я
k	k	j	−я	+1

В абстрактная алгебра, то алгебра из гиперболические кватернионы это неассоциативная алгебра над действительные числа с элементами формы

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} \!}$

где квадраты i, j и k равны +1, а различные элементы {i, j, k} умножаются на антикоммутативный свойство.

Четырехмерная алгебра гиперболических кватернионов включает в себя некоторые особенности более старой и большей алгебры бикватернионы. Оба они содержат подалгебры, изоморфные расщепленное комплексное число самолет. Кроме того, как и алгебра кватернионов ЧАС можно рассматривать как объединение сложных плоскостей, поэтому гиперболическая алгебра кватернионов представляет собой объединение плоскостей с расщепленными комплексными числами, разделяющих одну и ту же реальная линия.

Это было Александр Макфарлейн который продвигал эту концепцию в 1890-х годах как его Алгебра физикисначала через Американская ассоциация развития науки в 1891 г., затем в своей книге из пяти книг 1894 г. Статьи по космическому анализу, а также в серии лекций на Лихайский университет в 1900 г.

Алгебраическая структура

Словно кватернионы, множество гиперболических кватернионов образуют векторное пространство над действительные числа из измерение 4. А линейная комбинация

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

это гиперболический кватернион когда ${\displaystyle a,b,c,}$ и ${\displaystyle d}$ действительные числа и базисный набор ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$ есть эти продукты:

${\displaystyle ij=k=-ji}$

${\displaystyle jk=i=-kj}$

${\displaystyle ki=j=-ik}$

${\displaystyle i^{2}=+1=j^{2}=k^{2}}$

С использованием распределительное свойство, эти соотношения можно использовать для умножения любых двух гиперболических кватернионов.

В отличие от обычных кватернионов, гиперболические кватернионы не являются ассоциативный. Например, ${\displaystyle (ij)j=kj=-i}$, в то время как ${\displaystyle i(jj)=i}$. Фактически, этот пример показывает, что гиперболические кватернионы даже не являются альтернативная алгебра.

Первые три отношения показывают, что произведения (нереальных) базисных элементов равны антикоммутативный. Хотя этот базисный набор не образует группа, набор

${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

образует квазигруппа. Также следует отметить, что любая подплоскость множества M гиперболических кватернионов, содержащих действительную ось, образует плоскость разделенные комплексные числа. Если

${\displaystyle q^{*}=a-bi-cj-dk}$

является конъюгатом ${\displaystyle q}$, то продукт

${\displaystyle q(q^{*})=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}$

это квадратичная форма используется в пространство-время теория. Фактически, для мероприятий п и q, то билинейная форма

${\displaystyle \eta (p,q)=-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}}$

возникает как отрицание действительной части гиперболического кватернионного произведения pq*, и используется в Пространство Минковского.

Обратите внимание, что набор единицы U = {q : qq* ≠ 0} - это нет замкнуто при умножении. См. Ссылки (внешняя ссылка) для подробностей.

Обсуждение

Гиперболические кватернионы образуют неассоциативное кольцо; провал ассоциативность в этой алгебре ограничивает возможности этой алгебры в теории преобразований. Тем не менее, эта алгебра сосредоточила внимание на аналитической кинематике, предложив математическая модель: Когда выбирают единичный вектор р в гиперболических кватернионах, то р ² = +1. Самолет ${\displaystyle D_{r}=\lbrace t+xr:t,x\in R\rbrace }$ с гиперболическим умножением кватернионов представляет собой коммутативную ассоциативную подалгебру, изоморфную плоскости расщепленных комплексных чисел. гиперболический версор ${\displaystyle \exp(ar)=\cosh(a)+r\ \sinh(a)}$ преобразует D_р к

${\displaystyle t+xr\quad \mapsto \quad \exp(ar)(t+xr)=}$

${\displaystyle (\cosh(a)t+x\sinh(a))+(\sinh(a)t+x\cosh(a))r.\!}$

Поскольку направление р в пространстве произвольно, это гиперболическое умножение кватернионов может выражать любое Повышение лоренца используя параметр а называется быстрота. Однако гиперболическая алгебра кватернионов недостаточна для представления полной Группа Лоренца (видеть бикватернион вместо).

Написав в 1967 году о диалоге о векторных методах в 1890-х годах, историк прокомментировал:

Введение другой системы векторного анализа, даже своего рода компромиссной системы, такой как система Макфарлейна, вряд ли могло быть хорошо воспринято сторонниками уже существующих систем и, более того, вероятно, способствовало расширению вопроса, выходящему за пределы понимания пока еще непосвященного читателя. .^[1]

Геометрия

Позже Макфарлейн опубликовал статью в Труды Королевского общества Эдинбурга в 1900 году. В нем он рассматривает модель для гиперболическое пространство ЧАС³ на гиперболоид

${\displaystyle H^{3}=\{q\in M:q(q^{*})=1\}\!}$.

Этот изотропный модель называется модель гиперболоида и состоит из всех гиперболические версоры в кольце гиперболических кватернионов.

Исторический обзор

1890-е годы ощутили влияние посмертных публикаций В. К. Клиффорд и непрерывные группы из Софус Ли. Пример однопараметрическая группа это гиперболический версор с гиперболический угол параметр. Этот параметр является частью полярное разложение разделенно-комплексного числа. Но это поразительный аспект конечной математики, который отличает гиперболическое кватернионное кольцо:

Основа ${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$ векторного пространства гиперболических кватернионов не является закрыто при умножении: например, ${\displaystyle ji=-\!k}$. Тем не менее, набор ${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k,\,-\!1,\,-\!i,\,-\!j,\,-\!k\}}$ замкнуто относительно умножения. Он удовлетворяет всем свойствам абстрактной группы, кроме свойства ассоциативности; будучи конечным, это Латинский квадрат или же квазигруппа, периферийный математическая структура. Утрата свойства ассоциативности умножения, обнаруженная в теории квазигрупп, не согласуется с линейная алгебра поскольку все линейные преобразования составляют ассоциативно. Тем не менее, в 1890-х годах ученые-физики призывали к мутации квадратов ${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$, и ${\displaystyle k}$ быть ${\displaystyle +1}$ вместо того ${\displaystyle -1}$ : The Йельский университет физик Уиллард Гиббс в его трехмерной векторной системе были брошюры с квадратом плюс один. Оливер Хевисайд в Англии писал колонки в Электрик, торговая бумага, пропагандирующая положительный квадрат. В 1892 г. он объединил свои работы в Сделки Королевского общества А^[2] где он говорит, что его векторная система

просто элементы кватернионов без кватернионов, с предельно упрощенными обозначениями и с очень неудобными минус подписать, прежде чем скалярное произведение покончено.

Итак, появление гиперболических кватернионов Макфарлейна имело некоторую мотивацию, но неприятная неассоциативность спровоцировала реакцию. Каргилл Гилстон Нотт было предложено следующее:

Теорема (Knott^[3] 1892)

Если 4-алгебра на основе ${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$ ассоциативно, а недиагональные произведения задаются правилами Гамильтона, то ${\displaystyle i^{2}=-\!1=j^{2}=k^{2}}$.

Доказательство:

${\displaystyle j=ki=(-ji)i=-j(ii)}$, так ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Цикл букв ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle k}$ чтобы получить ${\displaystyle i^{2}=-1=j^{2}=k^{2}}$. QED.

Эта теорема нуждалась в формулировке, чтобы оправдать сопротивление призыву физиков и ученых. Электрик. Квазигруппа вызвала большой ажиотаж в 1890-е годы: журнал Природа был особенно благоприятен для демонстрации того, что было известно, давая два дайджеста работы Нотта, а также некоторых других теоретиков векторов. Майкл Дж. Кроу посвящает шестую главу своей книги История векторного анализа к различным опубликованным представлениям и отмечает гиперболический кватернион:

Макфарлейн построил новую систему векторного анализа, больше гармонирующую с системой Гиббса – Хевисайда, чем с системой кватернионов. ... он ... определил полное произведение двух векторов, которое было сопоставимо с полным произведением кватернионов, за исключением того, что скалярная часть была положительной, а не отрицательной, как в старой системе.^[1]

В 1899 г. Чарльз Джаспер Джоли отметил гиперболический кватернион и свойство неассоциативности^[4] приписывая его происхождение Оливеру Хевисайду.

Гиперболические кватернионы, как Алгебра физики, подрывает утверждение, что обычные кватернионы сделаны по физике. Что касается математики, гиперболический кватернион - еще один гиперкомплексное число, так в то время назывались такие сооружения. К 1890-м годам Ричард Дедекинд представил звенеть понятие в коммутативную алгебру, а векторное пространство концепция абстрагировалась Джузеппе Пеано. В 1899 г. Альфред Норт Уайтхед продвинутый Универсальная алгебра, выступая за инклюзивность. Понятия квазигруппы и алгебра над полем являются примерами математические структуры описывающий гиперболические кватернионы.

Гиперболический кватернион Макфарлейна 1900 г.

В Труды Королевского общества Эдинбурга опубликовал «Гиперболические кватернионы» в 1900 году, статью, в которой Макфарлейн восстанавливает ассоциативность для умножения, возвращаясь к комплексированные кватернионы. Там он использовал некоторые выражения, ставшие впоследствии известными благодаря Вольфганг Паули: где писал Макфарлейн

${\displaystyle ij=k{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle jk=i{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle ki=j{\sqrt {-1}}}$,

то Матрицы Паули удовлетворить

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{3}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{1}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{2}{\sqrt {-1}}}$

ссылаясь на одни и те же комплексообразные кватернионы.

Вступительное предложение статьи: «Хорошо известно, что кватернионы тесно связаны с сферическая тригонометрия и фактически они сводят предмет к разделу алгебры ». Это утверждение можно проверить, сославшись на современную работу Векторный анализ который работает с сокращенной системой кватернионов на основе скалярное произведение и перекрестное произведение. В статье Макфарлейна предпринята попытка создать «тригонометрию на поверхности равносторонних гиперболоидов» с помощью алгебры гиперболических кватернионов, которые теперь повторно идентифицированы в ассоциативном кольце восьми реальных измерений. Усилия подкреплены табличкой с девятью рисунками на странице 181. Они иллюстрируют описательную силу его метода «анализа пространства». Например, цифра 7 - это обычная Диаграмма Минковского используется сегодня в специальная теория относительности обсудить изменение скорости системы координат и относительность одновременности.

На странице 173 Макфарлейн расширяет свою большую теорию кватернионных переменных. Для контраста он отмечает, что Феликс Кляйн не выходит за рамки теории Кватернионы и пространственное вращение.

Рекомендации

1. Кроу, М.Дж. (1967). История векторного анализа. Университет Нотр-Дам. п. 191.
2. Хевисайд 1892, стр. 427–430
3. Knott, C.G. (1893). «Последние инновации в теории векторов». Природа. 47 (1225): 590–3. Bibcode:1893Натура..47Р.590.. Дои:10.1038 / 047590b0. читать перед Королевское общество Эдинбурга 19 декабря 1892 г. и опубликовано в Труды
4. Гамильтон (1899 г.). Джоли, Си-Джей (ред.). Элементы кватернионов (2-е изд.). п.163.

• Хевисайд, Оливер (1892). «О силах, напряжениях и потоках энергии в электромагнитном поле». Философские труды Лондонского королевского общества A. 183: 423–480. Bibcode:1892RSPTA.183..423H. Дои:10.1098 / рста.1892.0011. JSTOR  90590.
• Макфарлейн, А. (1891). «Основы алгебры физики». Труды Американской ассоциации развития науки. 40: 65–117.
• Макфарлейн, А. (1894). «Документ 2: Воображаемое в алгебре». Статьи по космическому анализу. Нью-Йорк: Б. Вестерман.
• Макфарлейн, А. (1900). «Космический анализ: краткое из двенадцати лекций». Лихайский университет.
• Макфарлейн, А. (январь 1902 г.). «Гиперболические кватернионы» (PDF). Труды Королевского общества Эдинбурга. 23: 169–180. Дои:10.1017 / S0370164600010385. Интернет-архив (бесплатно), или Google Книги (свободный). (Примечание: стр. 177 и табличка с рисунками отсканированы не полностью в бесплатных версиях.)
• Мэтьюз, Г.Б.М. (1913). «Алгебра для физиков». Природа. 91 (2284): 595–6. Bibcode:1913Натура..91..595Г. Дои:10.1038 / 091595b0.
• Александр Макфарлейн и кольцо гиперболических кватернионов