Сверхъестественное число - Supernatural number

Диаграмма Хассе из решетка сверхъестественных чисел; простые числа, кроме 2 и 3, для простоты опущены.

В математика, то сверхъестественные числаиногда называют обобщенные натуральные числа или же Числа Стейница, являются обобщением натуральные числа. Их использовали Эрнст Стейниц^{[1]:249–251} в 1910 г. в рамках работы над теория поля.

Сверхъестественное число ${displaystyle omega }$ это формальный товар:

${displaystyle omega =prod _{p}p^{n_{p}},}$

куда ${displaystyle p}$ проходит через все простые числа, и каждый ${displaystyle n_{p}}$ равно нулю, натуральному числу или бесконечность. Иногда ${displaystyle v_{p}(omega )}$ используется вместо ${displaystyle n_{p}}$. Если нет ${displaystyle n_{p}=infty }$ и есть только конечное число ненулевых ${displaystyle n_{p}}$ затем мы восстанавливаем положительные целые числа. Чуть менее интуитивно понятно, если все ${displaystyle n_{p}}$ находятся ${displaystyle infty }$, получаем ноль. Сверхъестественные числа выходят за рамки натуральных чисел, допуская возможность бесконечного числа простых множителей и позволяя любому данному простому числу делиться ${displaystyle omega }$ "бесконечно часто", взяв соответствующий показатель этого простого числа за символ ${displaystyle infty }$.

Нет естественного способа сложить сверхъестественные числа, но их можно умножить на ${displaystyle prod _{p}p^{n_{p}}cdot prod _{p}p^{m_{p}}=prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$. Точно так же понятие делимости распространяется на сверхъестественное с ${displaystyle omega _{1}mid omega _{2}}$ если ${displaystyle v_{p}(omega _{1})leq v_{p}(omega _{2})}$ для всех ${displaystyle p}$. Понятие о наименьший общий множитель и наибольший общий делитель можно также обобщить для сверхъестественных чисел, определив

${displaystyle displaystyle operatorname {lcm} ({omega _{i}})displaystyle =prod _{p}p^{sup(v_{p}(omega _{i}))}}$

${displaystyle displaystyle operatorname {gcd} ({omega _{i}})displaystyle =prod _{p}p^{inf(v_{p}(omega _{i}))}}$

Используя эти определения, НОД или НОК бесконечного числа натуральных чисел (или сверхъестественных чисел) является сверхъестественным числом. Мы также можем расширить обычное число. ${displaystyle p}$-адический упорядочить функции по сверхъестественным числам, определив ${displaystyle v_{p}(omega )=n_{p}}$ для каждого ${displaystyle p}$

Сверхъестественные числа используются для определения порядков и индексов проконечные группы и подгруппы, и в этом случае многие из теорем из теория конечных групп переносить точно. Они используются для кодирования алгебраические расширения из конечное поле.^[2] Они также используются неявно во многих теоретико-числовой доказательства, такие как плотность целые числа без квадратов и оценки нечетных идеальные числа.^{[нужна цитата ]}

Сверхъестественные числа также встречаются при классификации равномерно гиперконечные алгебры.

Смотрите также

• Бесконечное целое число

Рекомендации

1. Стейниц, Эрнст (1910). "Алгебраическая теория дер Кёрпер". Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком). 137: 167–309. ISSN  0075-4102. JFM  41.0445.03.
2. Броули и Шниббен (1989), стр. 25-26.

• Brawley, Joel V .; Шниббен, Джордж Э. (1989). Бесконечные алгебраические расширения конечных полей. Современная математика. 95. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 23–26. ISBN  0-8218-5101-2. Zbl  0674.12009.
• Эфрат, Идо (2006). Оценки, заказы и Милнор K-теория. Математические обзоры и монографии. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 125. ISBN  0-8218-4041-X. Zbl  1103.12002.
• Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 11 (3-е изд.). Springer-Verlag. п. 520. ISBN  978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001.

внешняя ссылка

• Планета Математика: Сверхъестественное число