Сплит-кватернион - Split-quaternion

Сплит-кватернионное умножение

×	1	я	j	k
1	1	я	j	k
я	я	−1	k	−j
j	j	−k	1	−i
k	k	j	я	1

В абстрактная алгебра, то расщепленные кватернионы или же кокватернионы являются элементами 4-мерного ассоциативная алгебра представлен Джеймс Кокл в 1849 г. под последним названием. Словно кватернионы представлен Гамильтон в 1843 г. они образуют четыре размерный настоящий векторное пространство оснащен мультипликативной операцией. Но, в отличие от кватернионов, расщепленные кватернионы содержат нетривиальные делители нуля, нильпотентный элементы и идемпотенты. (Например, 1/2(1 + j) является идемпотентным делителем нуля и я - j нильпотентна). алгебра над действительными числами, они есть изоморфный к алгебре 2 × 2 вещественные матрицы. Для других имен для разделенных кватернионов см. Синонимы раздел ниже.

В набор {1, i, j, k} образует основа. Продукция этих элементов

ij = k = −ji,

jk = −i = −kj,

ki = j = −ik,

я² = −1,

j² = +1,

k² = +1,

и, следовательно, ijk = 1. Из определяющих соотношений следует, что множество {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k} является группа при сплит-кватернионном умножении; это изоморфный к группа диэдра D₄, то группа симметрии квадрата.

Сплит-кватернион

q = ш + Икся + уj + zk, имеет сопрягать q^∗ = ш − Икся - уj - zk.

Из-за антикоммутативное свойство базисных векторов, произведение расщепленного кватерниона на сопряженный ему задается изотропная квадратичная форма:

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Учитывая два сплит-кватерниона п и q, надо N(p q) = N(п) N(q), показывая, что N является квадратичной формой, допускающей композицию. Эта алгебра является композиционная алгебра и N это его норма. Любой q ≠ 0 такой, что N(q) = 0 это нулевой вектор, и его присутствие означает, что расщепленные кватернионы образуют «алгебру расщепления композиции» - отсюда и их название.

Когда норма отлична от нуля, то q имеет мультипликативный обратный, а именно q^∗/N(q). Набор

U = {q : qq^∗ ≠ 0}

это набор единицы. Набор п всех сплит-кватернионов образует звенеть (п, +, •) с группа единиц (U, •). Сплит-кватернионы с N(q) = 1 сформировать некомпактный топологическая группа СУ (1, 1), как показано ниже, изоморфна SL (2,р).

Исторически разделенные кватернионы предшествовали Кэли матричная алгебра; сплит-кватернионы (вместе с кватернионами и тессарины ) вызвал более широкий линейная алгебра.

Матричные представления

Позволять q = ш + Икся + уj + zk, и рассмотрим ты = ш + Икся и v = у + zя как обычный сложные числа с комплексные конъюгаты обозначается ты^∗ = ш − Икся, v^∗ = у − zя. Тогда комплексная матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}}$

представляет q в кольце матриц: умножение расщепленных кватернионов ведет себя так же, как матричное умножение. Например, детерминант этой матрицы

уу^∗ − vv^∗ = qq^∗.

Появление знака минус отличает расщепленные кватернионы от кватернионов, которые здесь имеют знак плюса. Матрицы детерминанта один образуют особую унитарную группу СУ (1,1), которые являются расщепленными кватернионами нормы один, и обеспечивают гиперболические движения из Модель диска Пуанкаре из гиперболическая геометрия.

Помимо комплексного матричного представления, другое линейное представление связывает расщепленные кватернионы с 2 × 2 вещественные матрицы. Этот изоморфизм можно сделать явным следующим образом: сначала обратите внимание на произведение

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

и что квадрат каждого множителя слева является единичной матрицей, а квадрат правой части - отрицательным значением единичной матрицы. Кроме того, обратите внимание, что эти три матрицы вместе с единичной матрицей образуют базис для M (2, р). Можно сделать так, чтобы матричное произведение выше соответствовало jk = −i в кольце расщепленных кватернионов. Тогда для произвольной матрицы существует биекция

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\leftrightarrow q={\frac {(a+d)+(c-b)i+(b+c)j+(a-d)k}{2}},}$

что на самом деле является изоморфизмом колец. Кроме того, вычисление квадратов компонентов и условий сбора показывает, что qq^∗ = объявление − до н.э, который является определителем матрицы. Следовательно, существует групповой изоморфизм между единицей квазисфера сплит-кватернионов и SL (2, р) = {грамм ∈ M (2, р): det грамм = 1}, и, следовательно, также с СУ (1, 1): последнее можно увидеть в сложном представлении выше.

Например, см. Карзель и Кист.^[1] для представления группы гиперболического движения с вещественными матрицами 2 × 2.

В обоих этих линейных представлениях норма задается детерминантной функцией. Поскольку определитель является мультипликативным отображением, норма произведения двух расщепленных кватернионов равна произведению двух отдельных норм. Таким образом, расщепленные кватернионы образуют композиционная алгебра. Как алгебра над поле из действительные числа, это одна из семи таких алгебр.

Генерация из разделенных комплексных чисел

Кевин МакКриммон ^[2] показал, как все композиционные алгебры могут быть построены в порядке, установленном Л. Э. Диксон и Адриан Альберт для алгебр с делением C, ЧАС, и О. Действительно, он представляет правило умножения

${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$

для использования при производстве двойного продукта в реальных делениях. Как и прежде, удвоенное сопряжение ${\displaystyle (a,b)^{*}\ =\ (a^{*},-b),}$ так что

${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$

Если а и б находятся разделенные комплексные числа и сплит-кватернион ${\displaystyle q\ =\ (a,b)\ =\ ((w+zj),(y+xj)),}$

тогда ${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Профиль

Круг E лежит в самолете z = 0.
Элементы J находятся квадратные корни +1.

Элементы я находятся квадратные корни из −1

В подалгебры из п можно увидеть, сначала отметив природу подпространства {zя + Иксj + уk: Икс, у, z ∈ р}. Позволять

р(θ) = j cos (θ) + k sin (θ)

Параметры z и р(θ) являются основой цилиндрическая система координат в подпространстве. Параметр θ обозначает азимут. Далее пусть а обозначим любое действительное число и рассмотрим расщепленные кватернионы

п(а, р) = я синх а + р шиш а

v(а, р) = i ch а + р грех а.

Это равносторонне-гиперболоидальные координаты, описываемые формулой Александр Макфарлейн и Кармоди.^[3]

Затем сформируйте три основных набора в векторном подпространстве кольца:

E = {р ∈ п: р = р(θ), 0 ≤ θ < 2π}

J = {п(а, р) ∈ п: а ∈ р, р ∈ E}, гиперболоид одного листа

я = {v(а, р) ∈ п: а ∈ р, р ∈ E}, гиперболоид двух листов.

Теперь легко проверить, что

{q ∈ п: q² = 1} = J ∪ {1, −1}

и это

{q ∈ п: q² = −1} = я.

Эти установленные равенства означают, что когда п ∈ J затем самолет

{Икс + yp: Икс, у ∈ р} = D_п

это подкольцо из п которая изоморфна плоскости разделенные комплексные числа так же, как когда v в я тогда

{Икс + yv: Икс, у ∈ р} = C_v

является плоским подкольцом п который изоморфен обычному комплексная плоскость C.

Обратите внимание, что для каждого р ∈ E, (р + я)² = 0 = (р - я)² так что р + я и р - я находятся нильпотенты. Самолет N = {Икс + у(р + i): Икс, у ∈ р} это подкольцо п который изоморфен двойные числа. Поскольку каждый кокватернион должен лежать в D_п, а C_v, или N самолет, эти плоскости профиля п. Например, блок квазисфера

СУ (1, 1) = {q ∈ п: qq* = 1}

состоит из «единичных окружностей» в составляющих плоскостях п: В D_п это гипербола единиц, в N «единичный круг» - это пара параллельных прямых, а в C_v это действительно круг (хотя он кажется эллиптическим из-за v-растяжения). Эти эллипсы / круги встречаются в каждом C_v похожи на иллюзию Рубин ваза который «предоставляет зрителю мысленный выбор из двух интерпретаций, каждая из которых является действительной».

Панортогональность

Когда сплит-кватернион q = ш + Икся + уj + zk, то скалярная часть из q является ш.

Определение. Для ненулевых расщепленных кватернионов q и т мы пишем q ⊥ т когда скалярная часть произведения qt^∗ равно нулю.

• Для каждого v ∈ я, если q, т ∈ C_v, тогда q ⊥ т означает лучи от 0 до q и т находятся перпендикуляр.
• Для каждого п ∈ J, если q, т ∈ D_п, тогда q ⊥ т означает, что эти две точки гиперболо-ортогональный.
• Для каждого р ∈ E и каждый а ∈ р, п = п(а, р) и v = v(а, р) удовлетворить п ⊥ v.
• Если ты - единица в кольце расщепленных кватернионов, то q ⊥ т подразумевает qu ⊥ ту.

Доказательство: (qu)(ту)^∗ = (уу^∗)q(т^∗) следует из (ту)^∗ = ты^∗т^∗, который можно установить с помощью антикоммутативное свойство вектора перекрестные продукты.

Геометрия контрсферы

Квадратичная форма qq^∗ положительно определен на плоскостях C_v и N. Рассмотрим контр-сфера {q: qq^∗ = −1}.

Брать м = Икс + уя + zr куда р = j cos (θ) + k sin (θ). Исправить θ и предположим

мм^∗ = −1 = Икс² + y² - г².

Поскольку точки на контрсфере должны совпадать с конъюгатом гипербола единиц в каком-то самолете D_п ⊂ п, м можно написать, для некоторых п ∈ J

${\displaystyle m~=p\exp {(bp)}=\sinh b+p\cosh b=\sinh b+i\sinh a~\cosh b+r\cosh a~\cosh b}$.

Пусть φ - угол между гиперболами из р к п и м. Этот угол можно увидеть в плоскости касательная к контр-сфере на р, по проекции:

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {x}{y}}={\frac {\sinh b}{\sinh a~\cosh b}}={\frac {\tanh b}{\sinh a}}}$. потом

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\tan \phi ={\frac {1}{\sinh a}},}$

как в выражении угол параллельности в гиперболическая плоскость ЧАС² . Параметр θ определение меридиана меняется в зависимости от S¹. Таким образом, контр-сфера выглядит как многообразие S¹ × H².

Приложение к кинематике

Используя приведенные выше основы, можно показать, что отображение

${\displaystyle q\mapsto u^{-1}qu}$

является обычным или гиперболическим вращением в соответствии с

${\displaystyle u=e^{av},\quad v\in I\quad {\text{or}}\quad u=e^{ap},\quad p\in J}$.

Набор этих отображений имеет некоторое отношение к Группа Лоренца поскольку он также состоит из обычных и гиперболических вращений. Среди особенностей этого подхода к релятивистской кинематике - анизотропный профиль, скажем, по сравнению с гиперболические кватернионы.

Нежелание использовать расщепленные кватернионы для кинематических моделей может быть связано с (2, 2) подпись, когда пространство-время предполагается наличие подписи (1, 3) или же (3, 1). Тем не менее явно релятивистский кинематика появляется, когда точка контрсферы используется для представления инерциальная система отсчета. Действительно, если тт^∗ = −1, то есть п = я sh (а) + р сш (а) ∈ J такой, что т ∈ D_п, а б ∈ р такой, что т = п ехр (бп). Тогда если ты = ехр (бп), v = i ch (а) + р sinh (а), и s = яр, набор {т, ты, v, s} является панортогональным базисом, происходящим из т, и ортогональности сохраняются при применении обычных или гиперболических вращений.

Исторические заметки

Первоначально кокватернионы были введены (под этим названием)^[4] в 1849 г. Джеймс Кокл по маршруту Лондон – Эдинбург – Дублин Философский журнал. Вступительные статьи Кокла были отозваны в 1904 году. Библиография^[5] из Общество Кватерниона. Александр Макфарлейн назвал структуру векторов расщепленных кватернионов эксферическая система когда он выступал в Международный конгресс математиков в Париже в 1900 году.^[6]

Единичная сфера была рассмотрена в 1910 году Гансом Беком.^[7] Например, группа диэдра появляется на странице 419. Структура расщепленного кватерниона также кратко упоминалась в Анналы математики.^[8][9]

Синонимы

• Пара-кватернионы (Иванов, Замковой 2005, Mohaupt 2006) Многообразия с пара-кватернионными структурами изучаются в дифференциальная геометрия и теория струн. В пара-кватернионной литературе k заменяется на −k.
• Эксферическая система (Macfarlane 1900)
• Сплит-кватернионы (Розенфельд, 1988)^[10]
• Антикватернионы (Розенфельд, 1988)
• Псевдокватернионы (Яглом 1968 г.^[11] Розенфельд 1988 г.)

Смотрите также

• Сплит-бикватернионы
• Сплит-октонионы
• Гиперкомплексные числа
• Двойные кватернионы

Примечания

1. Карцель, Гельмут и Гюнтер Кист (1985) «Кинематические алгебры и их геометрии», в Кольца и геометрия, Редакторы Р. Кайя, П. Плауман и К. Страмбах, стр. 437–509, особенно 449,50, Д. Рейдел ISBN  90-277-2112-2
2. Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданских алгебр, стр. 64, Universitext, Springer ISBN  0-387-95447-3 МИСТЕР2014924
3. Кармоди, Кевин (1997) "Круглые и гиперболические кватернионы, октонионы, седионионы", Прикладная математика и вычисления 84 (1): 27–47, особенно. 38
4. Джеймс Кокл (1849), О системах алгебры, включающих более одного воображаемого, Философский журнал (3 серия) 35: 434,5, ссылка из Библиотека наследия биоразнообразия
5. А. Макфарлейн (1904) Библиография кватернионов и родственных систем математики, из Корнелл Университет Монографии по исторической математике, записи для Джеймса Кокла, стр. 17–18
6. Александр Макфарлейн (1900) Применение пространственного анализа к криволинейным координатам В архиве 2014-08-10 на Wayback Machine, Труды Международный конгресс математиков, Париж, стр. 306, из Международный математический союз
7. Ганс Бек (1910) Ein Seitenstück zur Mobius'schen Geometrie der Kreisverwandschaften, Труды Американского математического общества 11
8. А. А. Альберт (1942), "Квадратичные формы, допускающие композицию", Анналы математики 43: 161–77
9. Валентин Баргманн (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца», Анналы математики 48: 568–640
10. Розенфельд, Б.А. (1988) История неевклидовой геометрии, стр. 389, Springer-Verlag ISBN  0-387-96458-4
11. Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии, стр. 24, Академическая пресса

дальнейшее чтение

• Броуди, Дордже К., и Ева-Мария Грефе. «О сложной механике и кокватернионах». Журнал физики A: математические и теоретические 44.7 (2011): 072001. Дои:10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Иванов, Стефан; Замковой, Симеон (2005), "Параэрмитовы и паракватернионные многообразия", Дифференциальная геометрия и ее приложения 23, стр. 205–234, arXiv:math.DG / 0310415, МИСТЕР2158044.
• Мохаупт, Томас (2006), «Новые разработки в специальной геометрии», arXiv:hep-th / 0602171.
• Оздемир, М. (2009) «Корни расколотого кватерниона», Письма по прикладной математике 22:258–63. [1]
• Оздемир, М. и А.А. Эргин (2006) "Вращения с времениподобными кватернионами в 3-пространстве Минковского", Журнал геометрии и физики 56: 322–36.[2]
• Погоруй, Анатолий и Рамон М. Родригес-Даньино (2008) Некоторые алгебраические и аналитические свойства алгебры кокватернионов, Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда.