Подалгебра - Subalgebra

В математика, а подалгебра является подмножеством алгебра, закрытый по всем своим операциям и выполняющий индуцированные операции.

"Алгебра ", когда речь идет о структуре, часто означает векторное пространство или модуль оснащен дополнительной билинейной операцией. Алгебры в универсальная алгебра носят гораздо более общий характер: они представляют собой общее обобщение все алгебраические структуры. «Подалгебра» может относиться к любому случаю.

Подалгебры алгебр над кольцом или полем

А подалгебра из алгебра над коммутативным кольцом или полем это векторное подпространство которая замкнута относительно умножения векторов. Ограничение умножения алгебры делает ее алгеброй над тем же кольцом или полем. Это понятие также применимо к большинству специализаций, где умножение должно удовлетворять дополнительным свойствам, например к ассоциативные алгебры или чтобы Алгебры Ли. Только для унитальные алгебры есть ли более сильное понятие унитальная подалгебра, для чего также требуется, чтобы единицей подалгебры была единица большей алгебры.

пример

Матрицы 2 × 2 над вещественными числами очевидным образом образуют единичную алгебру. Матрицы 2 × 2, для которых все элементы равны нулю, за исключением первой на диагонали, образуют подалгебру. Это также унитальная подалгебра, но не унитальная.

Подалгебры в универсальной алгебре

В универсальная алгебра, а подалгебра из алгебра А это подмножество S из А который также имеет структуру алгебры того же типа, когда алгебраические операции ограничиваются S. Если аксиомы своего рода алгебраическая структура описывается эквациональные законы, как это обычно бывает в универсальной алгебре, то единственное, что нужно проверить, это то, что S является закрыто по операциям.

Некоторые авторы рассматривают алгебры с частичные функции. Для них существуют различные способы определения подалгебр. Другое обобщение алгебр - допускать отношения. Эти более общие алгебры обычно называют структуры, и они изучаются в теория моделей И в теоретическая информатика. Для структур с отношениями существуют понятия слабого и индуцированного подконструкции.

пример

Например, стандартная подпись для группы в универсальной алгебре (•, ⁻¹, 1). (Инверсия и единица необходимы для получения правильных представлений о гомоморфизме и для того, чтобы законы группы могли быть выражены в виде уравнений.) Следовательно, a подгруппа группы г это подмножество S из г такой, что:

личность е из г принадлежит S (так что S закрывается по тождественной постоянной операции);
всякий раз, когда Икс принадлежит Sтак делает Икс⁻¹ (так что S закрывается при обратной операции);
всякий раз, когда Икс и у принадлежит S, как и Икс • у (так что S замкнута относительно операции умножения группы).

использованная литература

Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, алгебра I, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64243-5
Burris, Stanley N .; Санкаппанавар, Х. П. (1981), Курс универсальной алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag