Алгебраическая структура - Algebraic structure

В математика, алгебраическая структура состоит из непустого набор А (называется базовый набор, набор носителей или же домен), собрание операции на А конечных арность (обычно бинарные операции ) и конечный набор идентичности, известный как аксиомы, что эти операции должны удовлетворять.

Алгебраическая структура может быть основана на других алгебраических структурах с операциями и аксиомами, включающими несколько структур. Например, векторное пространство включает в себя вторую структуру, называемую поле, и операция называется скалярное умножение между элементами поля (называемого скаляры) и элементы векторного пространства (называемые векторов).

В контексте универсальная алгебра, набор А с этим структура называется алгебра,^[1] в то время как в других контекстах это (несколько двусмысленно) называется алгебраическая структура, период, термин алгебра зарезервированы для конкретных алгебраических структур, которые векторные пространства через поле или же модули через коммутативное кольцо.

Свойства конкретных алгебраических структур изучаются в абстрактной алгебре. Общая теория алгебраических структур формализована в универсальной алгебре. Язык теория категорий используется для выражения и изучения взаимосвязей между различными классами алгебраических и неалгебраических объектов. Это связано с тем, что иногда можно найти сильные связи между некоторыми классами объектов, иногда разных типов. Например, Теория Галуа устанавливает связь между определенными полями и группами: двумя алгебраическими структурами разного типа.

Вступление

Сложение и умножение действительных чисел являются типичными примерами операций, которые объединяют два элемента набора для получения третьего элемента набора. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, а + (б + c) = (а + б) + c и а(до н.э) = (ab)c как ассоциативные законы. Также а + б = б + а и ab = ба как коммутативные законы. Многие системы, изучаемые математиками, имеют операции, которые подчиняются некоторым, но не обязательно всем законам обычной арифметики. Например, повороты объекта в трехмерном пространстве можно комбинировать, например, путем выполнения первого поворота объекта и последующего применения к нему второго поворота в его новой ориентации, сделанного предыдущим поворотом. Вращение как операция подчиняется ассоциативному закону, но может не удовлетворять коммутативному закону.

Математики дают имена множествам с одной или несколькими операциями, которые подчиняются определенному набору законов, и изучают их абстрактно как алгебраические структуры. Когда можно показать, что новая проблема подчиняется законам одной из этих алгебраических структур, вся работа, проделанная с этой категорией в прошлом, может быть применена к новой проблеме.

Вообще говоря, алгебраические структуры могут включать произвольный набор операций, включая операции, которые объединяют более двух элементов (выше арность операции) и операции, которые требуют только одного аргумент (унарные операции ). Примеры, используемые здесь, ни в коем случае не являются полным списком, но они предназначены для того, чтобы быть репрезентативным списком и включать наиболее распространенные структуры. Более длинные списки алгебраических структур можно найти во внешних ссылках и в Категория: Алгебраические структуры. Структуры перечислены в приблизительном порядке возрастания сложности.

Примеры

Один комплект с операциями

Простые конструкции: нет бинарная операция:

Набор: вырожденная алгебраическая структура S без операций.
Остроконечный набор: S имеет один или несколько выделенных элементов, часто 0, 1 или оба.
Унарная система: S и один унарная операция над S.
Остроконечная одинарная система: унарная система с S заостренный набор.

Групповые структуры: один бинарная операция. Двоичная операция может быть обозначена любым символом или без символа (сопоставление), как это делается для обычного умножения действительных чисел.

Магма или группоид: S и одна бинарная операция над S.
Полугруппа: an ассоциативный магма.
Моноид: полугруппа с элемент идентичности.
Группа: моноид с унарной операцией (инверсией), приводящей к обратные элементы.
Абелева группа: группа, бинарная операция которой коммутативный.
Полурешетка: полугруппа, операция которой идемпотент и коммутативный. Бинарную операцию можно назвать либо встретить или же присоединиться.
Квазигруппа: магма, подчиняющаяся свойству латинского квадрата. Квазигруппа также может быть представлена с помощью трех бинарных операций.^[2]

Петля: квазигруппа с личность.

Кольцевые структуры или же Рингоиды: два бинарные операции, часто называемые добавление и умножение, с умножением распространение сверх сложения.

Полукруглый: рингоид такой, что S является моноидом относительно каждой операции. Обычно предполагается, что сложение является коммутативным и ассоциативным, и предполагается, что моноидное произведение распределяется по сложению с обеих сторон, а аддитивная единица 0 является поглощающий элемент в том смысле, что 0Икс = 0 для всех Икс.
Рядом с кольцом: полукольцо, аддитивный моноид которого является (не обязательно абелевой) группой.
Звенеть: полукольцо, аддитивный моноид которого является абелевой группой.
Кольцо лжи: рингоид, аддитивный моноид которого является абелевой группой, но мультипликативная операция которого удовлетворяет условию Личность Якоби а не ассоциативность.
Коммутативное кольцо: кольцо, в котором операция умножения коммутативна.
Логическое кольцо: коммутативное кольцо с идемпотентной операцией умножения.
Поле: коммутативное кольцо, которое содержит мультипликативный обратный для каждого ненулевого элемента.
Клини алгебры: полукольцо с идемпотентным сложением и унарной операцией, Клини звезда, удовлетворяющие дополнительным свойствам.
*-алгебра: кольцо с дополнительной унарной операцией (*), удовлетворяющее дополнительным свойствам.

Решетчатые конструкции: два или более бинарных операций, включая операции, называемые встретиться и присоединиться, связанных закон поглощения.^[3]

Полная решетка: решетка, в которой произвольно встретиться и присоединиться существовать.
Ограниченная решетка: решетка с величайший элемент и минимум элемента.
Дополненная решетка: ограниченная решетка с унарной операцией дополнения, обозначаемой постфикс ^⊥. Соединение элемента с его дополнением является наибольшим элементом, а соединение двух элементов - наименьшим элементом.
Модульная решетка: решетка, элементы которой удовлетворяют дополнительному модульная идентичность.
Распределительная решетка: решетка, в которой встречаются и соединяются распределяет над другим. Распределительные решетки являются модульными, но обратное неверно.
Булева алгебра: дополненная дистрибутивная решетка. Либо встреча, либо присоединение могут быть определены с точки зрения другого и дополнения. Можно показать, что это эквивалентно кольцевой структуре с таким же названием выше.
Алгебра Гейтинга: ограниченная распределительная решетка с добавленной бинарной операцией, относительный псевдодополнение, обозначаемый инфикс → и регулируется аксиомамиИкс → Икс = 1, Икс (Икс → у) = х у, у (Икс → у) = у, Икс → (у г) = (Икс → у) (Икс → z).

Арифметика: два бинарные операции, сложение и умножение. S является бесконечный набор. Арифметика - это точечные унарные системы, унарная операция является инъективный преемник, и с выделенным элементом 0.

Арифметика Робинсона. Сложение и умножение рекурсивно определяется посредством преемника. 0 - это единичный элемент для сложения и аннулирует умножение. Арифметика Робинсона указана здесь, хотя она и является разновидностью из-за ее близости к арифметике Пеано.
Арифметика Пеано. Арифметика Робинсона с схема аксиомы из индукция. Большинство аксиом колец и поля, имеющих отношение к свойствам сложения и умножения, являются теоремами арифметики Пеано или ее собственными расширениями.

Два набора с операциями

Модуль -подобные конструкции: составные системы, включающие два набора и использующие как минимум две бинарные операции.

Группа с операторами: группа грамм с множеством Ω и бинарной операцией Ω ×грамм → грамм удовлетворяющие определенным аксиомам.
Модуль: абелева группа M и кольцо р действуя как операторы на M. Члены р иногда называют скаляры, и бинарная операция скалярное умножение это функция р × M → M, который удовлетворяет нескольким аксиомам. С учетом кольцевых операций эти системы имеют не менее трех операций.
Векторное пространство: модуль, в котором кольцо р это делительное кольцо или же поле.
Градуированное векторное пространство: векторное пространство с прямая сумма декомпозиция, разбивающая пространство на «классы».
Квадратичное пространство: векторное пространство V над полем F с квадратичная форма на V принимая ценности в F.

Алгебра -подобные конструкции: составная система, определяемая двумя наборами, кольцом р и р-модуль M снабжен операцией умножения. Это можно рассматривать как систему с пятью бинарными операциями: две операции над р, два на M и один с участием обоих р и M.

Алгебра над кольцом (также R-алгебра): модуль над коммутативное кольцо р, который также несет операцию умножения, совместимую со структурой модуля. Это включает в себя распределенность по добавлению и линейность относительно умножения на элементы р. Теория алгебра над полем особенно хорошо развит.
Ассоциативная алгебра: алгебра над кольцом такая, что умножение ассоциативный.
Неассоциативная алгебра: модуль над коммутативным кольцом, снабженный операцией умножения колец, которая не обязательно ассоциативна. Часто ассоциативность заменяется другой идентичностью, например чередование, то Личность Якоби, или Иордания идентичность.
Коалгебра: векторное пространство с «коумножением», определенным двойственно по отношению к ассоциативным алгебрам.
Алгебра Ли: особый тип неассоциативной алгебры, произведение которой удовлетворяет условию Личность Якоби.
Коалгебра Ли: векторное пространство с «коумножением», определенным двойственно по отношению к алгебрам Ли.
Градуированная алгебра: градуированное векторное пространство со структурой алгебры, совместимой с градуировкой. Идея в том, что если оценки двух элементов а и б известны, то степень ab известно, и поэтому местонахождение продукта ab определяется в разложении.
Внутреннее пространство продукта: an F векторное пространство V с определенная билинейная форма V × V → F.

Четыре или более бинарных операций:

Биалгебра: ассоциативная алгебра с согласованной структурой коалгебры.
Биалгебра Ли: алгебра Ли с совместимой структурой биалгебры.
Алгебра Хопфа: биалгебра с аксиомой связности (антипод).
Алгебра Клиффорда: градуированная ассоциативная алгебра, снабженная внешний продукт из которого может быть получено несколько возможных внутренних продуктов. Внешние алгебры и геометрические алгебры являются частными случаями этой конструкции.

Гибридные конструкции

Алгебраические структуры также могут сосуществовать с дополнительной структурой неалгебраической природы, такой как частичный заказ или топология. Добавленная структура должна быть в некотором смысле совместима с алгебраической структурой.

Топологическая группа: группа с топологией, совместимой с групповой операцией.
Группа Ли: топологическая группа с совместимой гладкой многообразие структура.
Упорядоченные группы, заказанные кольца и упорядоченные поля: каждый тип конструкции с совместимым частичный заказ.
Архимедова группа: линейно упорядоченная группа, для которой Архимедова собственность держит.
Топологическое векторное пространство: векторное пространство, M имеет совместимую топологию.
Нормированное векторное пространство: векторное пространство с совместимым норма. Если такое пространство полный (как метрическое пространство), то оно называется Банахово пространство.
Гильбертово пространство: внутреннее пространство продукта над действительными или комплексными числами, внутреннее произведение которого приводит к структуре банахова пространства.
Вершинная операторная алгебра
Алгебра фон Неймана: * -алгебра операторов в гильбертовом пространстве, снабженная слабая операторная топология.

Универсальная алгебра

Алгебраические структуры определяются через различные конфигурации аксиомы. Универсальная алгебра абстрактно изучает такие объекты. Одна из основных дихотомий - между структурами, которые полностью аксиоматизированы идентичности и структуры, которых нет. Если все аксиомы, определяющие класс алгебр, являются тождествами, то этот класс является разнообразие (не путать с алгебраические многообразия из алгебраическая геометрия ).

Тождества - это уравнения, сформулированные с использованием только тех операций, которые позволяет структура, и переменных, которые неявно универсально определяемый над соответствующими вселенная. Личности не содержат связки, экзистенциально количественные переменные, или же связи любого вида, кроме разрешенных операций. Изучение сортов - важная часть универсальная алгебра. Алгебраическая структура в разнообразии может пониматься как фактор-алгебра алгебры терминов (также называемой "абсолютно свободная алгебра "), разделенные отношениями эквивалентности, порожденными набором тождеств. Итак, набор функций с заданными подписи порождают свободную алгебру, алгебра терминов Т. Учитывая набор эквациональных тождеств (аксиом), можно рассматривать их симметричное транзитивное замыкание E. Фактор-алгебра Т/E тогда является алгебраической структурой или многообразием. Так, например, у групп есть сигнатура, содержащая два оператора: оператор умножения м, принимая два аргумента, и обратный оператор я, принимая один аргумент, а элемент идентичности е, константа, которую можно рассматривать как оператор, не принимающий аргументов. Учитывая (счетный) набор переменных Икс, у, zи т. д. термин алгебра - это совокупность всех возможных термины с участием м, я, е и переменные; так, например, м (я (х), м (х, м (у, е))) будет элементом термина алгебра. Одной из аксиом, определяющих группу, является тождество м (х, я (х)) = е; другой м (х, е) = х. Аксиомы можно представить в виде деревья. Эти уравнения индуцируют классы эквивалентности по свободной алгебре; фактор-алгебра тогда имеет алгебраическую структуру группы.

Некоторые структуры не образуют разновидностей, потому что:

Необходимо, чтобы 0 ≠ 1, 0 - добавка элемент идентичности и 1 является мультипликативным элементом идентичности, но это не идентичность;
У структур, таких как поля, есть некоторые аксиомы, которые справедливы только для ненулевых членов S. Чтобы алгебраическая структура была разнообразной, ее операции должны быть определены для все Члены S; частичных операций быть не может.

Структуры, аксиомы которых неизбежно включают нетождества, являются одними из самых важных в математике, например, поля и делительные кольца. Структуры с неидентичными типами проблем не представляют. Например, прямой продукт из двух поля это не поле, потому что ${ Displaystyle (1,0) cdot (0,1) = (0,0)}$ , но в полях нет делители нуля.

Теория категорий

Теория категорий - еще один инструмент для изучения алгебраических структур (см., например, Mac Lane 1998). Категория - это набор объекты с ассоциированным морфизмы. Каждая алгебраическая структура имеет собственное понятие гомоморфизм, а именно любые функция совместимы с операциями, определяющими структуру. Таким образом, каждая алгебраическая структура порождает категория. Например, категория групп есть все группы как объекты и все групповые гомоморфизмы как морфизмы. Этот конкретная категория можно рассматривать как категория наборов с добавленной теоретико-категориальной структурой. Точно так же категория топологические группы (морфизмы которого являются гомоморфизмами непрерывных групп) является категория топологических пространств с дополнительной структурой. А забывчивый функтор между категориями алгебраических структур «забывает» часть структуры.

В теории категорий существуют различные концепции, которые пытаются уловить алгебраический характер контекста, например

Различные значения слова «структура»

В небольшом злоупотребление обозначениями слово «структура» может также относиться только к операциям со структурой, а не к самому базовому набору. Например, предложение «Мы определили кольцо структура на съемочной площадке ${ displaystyle A}$ , "означает, что мы определили звенеть операции на съемочной площадке ${ displaystyle A}$ . Другой пример: группа ${ Displaystyle ( mathbb {Z}, +)}$ можно рассматривать как набор ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ который оснащен алгебраическая структура, а именно операция ${ displaystyle +}$ .

Смотрите также

Примечания

^ ВЕЧЕРА. Кон. (1981) Универсальная алгебра, Springer, стр. 41.
^ Джонатан Д. Х. Смит (15 ноября 2006 г.). Введение в квазигруппы и их представления. Чепмен и Холл. ISBN 9781420010633. Получено 2012-08-02.
^ Рингоиды и решетки можно четко различить, несмотря на то, что оба имеют две определяющие бинарные операции. В случае рингоидов две операции связаны между собой распределительный закон; в случае решеток они связаны между собой закон поглощения. Рингоиды также имеют числовой модели, а решетки имеют тенденцию теоретико-множественный модели.

внешняя ссылка

Структуры алгебры Джипсена. Включает в себя множество структур, не упомянутых здесь.
Mathworld страница по абстрактной алгебре.
Стэнфордская энциклопедия философии: Алгебра к Воан Пратт.

[1] ВЕЧЕРА. Кон. (1981) Универсальная алгебра, Springer, стр. 41.

[2] Джонатан Д. Х. Смит (15 ноября 2006 г.). Введение в квазигруппы и их представления. Чепмен и Холл. ISBN 9781420010633. Получено 2012-08-02.

[3] Рингоиды и решетки можно четко различить, несмотря на то, что оба имеют две определяющие бинарные операции. В случае рингоидов две операции связаны между собой распределительный закон; в случае решеток они связаны между собой закон поглощения. Рингоиды также имеют числовой модели, а решетки имеют тенденцию теоретико-множественный модели.

[1]

[2]

[3]