Поглощающий элемент - Absorbing element

В математика, поглощающий элемент (или же уничтожающий элемент) - особый тип элемента набор по отношению к бинарная операция на этом наборе. Результатом сочетания поглощающего элемента с любым элементом набора является сам поглощающий элемент. В полугруппа теории поглощающий элемент называется нулевой элемент[1][2] потому что нет риска перепутать с другие понятия нуля, за заметным исключением: в аддитивной нотации нуль может, вполне естественно, обозначать нейтральный элемент моноида. В этой статье «нулевой элемент» и «поглощающий элемент» являются синонимами.

Определение

Формально пусть (S, •) быть набором S с закрытой бинарной операцией • над ней (известной как магма ). А нулевой элемент это элемент z такой, что для всех s в S, z • s = s • z = z. Уточнение[2] являются понятиями левый ноль, где требуется только это z • s = z, и правильный ноль, куда s • z = z.

Поглощающие элементы особенно интересны для полугруппы, особенно мультипликативная полугруппа полукольцо. В случае полукольца с 0 определение поглощающего элемента иногда ослабляется, так что не требуется поглощать 0; в противном случае 0 был бы единственным поглощающим элементом.[3]

Характеристики

  • Если у магмы есть оба левых нуля z и правильный ноль z′, То он имеет нуль, так как z = z • z′ = z′.
  • В магме может быть не более одного нулевого элемента.

Примеры

  • Самый известный пример поглощающего элемента исходит из элементарной алгебры, где любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Таким образом, ноль является поглощающим элементом.
  • Ноль любого звенеть также является поглощающим элементом. Для элемента р кольца р, г = г (1 + 0) = г + г0, так r0 = 0, поскольку ноль - единственный элемент а для которого г + а = г для любого р в ринге р.
  • Плавающая точка арифметика, как определено в стандарте IEEE-754, содержит специальное значение, называемое Not-a-Number («NaN»). Это поглощающий элемент для каждой операции; т.е. Икс + NaN = NaN + Икс = NaN, Икс - NaN = NaN - Икс = NaN, так далее.
  • Набор бинарные отношения над набором Иксвместе с состав отношений образует моноид с нулем, где нулевым элементом является пустое отношение (пустой набор ).
  • Закрытый интервал ЧАС = [0, 1] с Икс • у = мин (Икс, у) также является моноидом с нулем, и нулевым элементом является 0.
  • Еще примеры:
ДоменОперацияАбсорбер
Действительные числа⋅Умножение0
Целые числаНаибольший общий делитель1
п-к-п квадрат матрицыУмножение матрицМатрица всех нулей
Расширенные действительные числаМинимум / инфимум−∞
Максимум / супремум+∞
Наборы∩Пересечение∅Пустой набор
Подмножества набора M∪СоюзM
Логическая логика∧Логический и⊥Ложь
∨Логическое или⊤Правда

Смотрите также

Примечания

  1. ^ J.M. Howie, стр. 2–3.
  2. ^ а б М. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев стр. 14–15
  3. ^ J.S. Golan p. 67

Рекомендации

  • Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп. Clarendon Press. ISBN  0-19-851194-9.
  • М. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, акты и категории с приложениями к сплетенным изделиям и графам, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000 г., ISBN  3-11-015248-7.
  • Голан, Джонатан С. (1999). Полукольца и их применение. Springer. ISBN  0-7923-5786-8.

внешняя ссылка