Нулевой элемент - Zero element

В математика, а нулевой элемент является одним из нескольких обобщений число ноль другим алгебраические структуры. Эти альтернативные значения могут сводиться или не сводиться к одному и тому же, в зависимости от контекста.

Аддитивные идентичности

An аддитивная идентичность это элемент идентичности в аддитивная группа. Ему соответствует элемент 0 такой, что для всех x в группе 0 + Икс = Икс + 0 = Икс. Некоторые примеры аддитивной идентичности включают:

В нулевой вектор под векторное сложение: вектор длины 0, все компоненты которого равны 0. Часто обозначается как ${ displaystyle mathbf {0}}$ или же ${ displaystyle { vec {0}}}$ .^[1]^[2]^[3]
В нулевая функция или же нулевая карта определяется z(Икс) = 0, под точечное сложение (ж + грамм)(Икс) = ж(Икс) + грамм(Икс)
В пустой набор под установить союз
An пустая сумма или же пустой сопродукт
An исходный объект в категория (пустой копродукт и тождество под побочные продукты )

Поглощающие элементы

An поглощающий элемент в мультипликативном полугруппа или же полукольцо обобщает собственность 0 ⋅ Икс = 0. Примеры включают:

В пустой набор, который является поглощающим элементом под Декартово произведение наборов, поскольку { } × S = { }
В нулевая функция или же нулевая карта определяется z(Икс) = 0 под поточечное умножение (ж ⋅ грамм)(Икс) = ж(Икс) ⋅ грамм(Икс)

Многие поглощающие элементы также являются аддитивными тождествами, включая пустое множество и нулевую функцию. Другой важный пример - выделенный элемент 0 в поле или же звенеть, который является как аддитивным тождеством, так и мультипликативным поглощающим элементом, и главный идеал наименьший идеал.

Нулевые объекты

А нулевой объект в категория одновременно начальный и конечный объект (и, следовательно, личность под обоими побочные продукты и товары ). Например, тривиальная структура (содержащая только идентичность) - это нулевой объект в категориях, где морфизмы должны отображать идентичности в идентичности. Конкретные примеры включают:

В тривиальная группа, содержащий только тождество (нулевой объект в категория групп )
В нулевой модуль, содержащий только тождество (нулевой объект в категории модули над кольцом)

Нулевые морфизмы

А нулевой морфизм в категория является обобщенным поглощающим элементом при функциональная композиция: любой морфизм, составленный с нулевым морфизмом, дает нулевой морфизм. В частности, если 0_XY : Икс → Y - нулевой морфизм среди морфизмов из Икс к Y, и ж : А → Икс и грамм : Y → B - произвольные морфизмы, то грамм ∘ 0_XY = 0_XB и 0_XY ∘ ж = 0_AY.

Если в категории есть нулевой объект 0, то существуют канонические морфизмы Икс → 0 и 0 → Y, и их составление дает нулевой морфизм 0_XY : Икс → Y. в категория групп, например, нулевые морфизмы - это морфизмы, которые всегда возвращают групповые тождества, таким образом обобщая функцию z(Икс) = 0.

Наименьшее количество элементов

А наименьший элемент в частично заказанный набор или же решетка иногда может называться нулевым элементом и записываться как 0 или.

Нулевой модуль

В математика, то нулевой модуль это модуль состоящий только из добавки личность для модуля добавление функция. в целые числа, это тождество нуль, что дает имя нулевой модуль. То, что нулевой модуль на самом деле является модулем, просто показать; закрывается при добавлении и умножение тривиально.

Нулевой идеал

В математика, то нуль идеальный в звенеть ${ displaystyle R}$ это идеал ${ displaystyle {0 }}$ состоящий только из аддитивной идентичности (или нуль элемент). То, что это идеал, следует непосредственно из определения.

Нулевая матрица

В математика, особенно линейная алгебра, а нулевая матрица это матрица со всеми его записями нуль. Поочередно обозначается символом ${ displaystyle O}$ .^[1] Некоторые примеры нулевых матриц:

{ displaystyle 0_ {1,1} = { begin {bmatrix} 0 end {bmatrix}}, 0_ {2,2} = { begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {bmatrix}}, 0_ {2,3} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}, }

Набор м × п матрицы с записями в звенеть K образует модуль ${ displaystyle K_ {m, n}}$ . Нулевая матрица ${ displaystyle 0_ {K_ {m, n}}}$ в ${ displaystyle K_ {m, n}}$ матрица, все элементы которой равны ${ displaystyle 0_ {K}}$ , куда ${ displaystyle 0_ {K}}$ аддитивная идентичность в K.

{ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} = { begin {bmatrix} 0_ {K} & 0_ {K} & cdots & 0_ {K} 0_ {K} & 0_ {K} & cdots & 0_ {K } vdots & vdots && vdots 0_ {K} & 0_ {K} & cdots & 0_ {K} end {bmatrix}}}

Нулевая матрица - это аддитивная единица в ${ displaystyle K_ {m, n}}$ . То есть для всех ${ displaystyle A in K_ {m, n}}$ :

{ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A}

Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера м × п (с записями из данного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто ссылаются на в нулевая матрица. В общем, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается как 0 без нижнего индекса, указывающего на родительское кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.

Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование который отправляет все векторы в нулевой вектор.

Нулевой тензор

В математика, то нулевой тензор это тензор любого порядка, все компоненты которого нуль. Нулевой тензор порядка 1 иногда называют нулевым вектором.

Принимая тензорное произведение любого тензора с любым нулевым тензором приводит к другому нулевому тензору. Добавление нулевого тензора эквивалентно тождественной операции.