Групповой гомоморфизм - Group homomorphism

Образ гомоморфизма групп (час) из грамм (слева) чтобы ЧАС (верно). Меньший овал внутри ЧАС это изображение час. N это ядро час и аН это смежный из N.

В математика, учитывая два группы, (грамм, ∗) и (ЧАС, ·), А групповой гомоморфизм из (грамм, ∗) на (ЧАС, ·) это функция час : грамм → ЧАС такой, что для всех ты и v в грамм он считает, что

${displaystyle h(u*v)=h(u)cdot h(v)}$

где групповая операция в левой части уравнения - это операция грамм а с правой стороны - ЧАС.

Из этого свойства можно вывести, что час отображает элемент идентичности е_грамм из грамм к элементу идентичности е_ЧАС из ЧАС,

${displaystyle h(e_{G})=e_{H}}$

и он также отображает обратное в обратное в том смысле, что

${displaystyle hleft(u^{-1}ight)=h(u)^{-1}.,}$

Следовательно, можно сказать, что час «совместим со структурой группы».

Старые обозначения для гомоморфизм час(Икс) может быть Икс^час или же Икс_час, хотя его можно спутать с индексом или общим нижним индексом. Более поздняя тенденция состоит в том, чтобы писать гомоморфизмы групп справа от аргументов, опуская скобки, чтобы час(Икс) становится просто х ч. Этот подход особенно распространен в областях теории групп, где автоматы играют роль, поскольку это лучше согласуется с соглашением о том, что автоматы читают слова слева направо.

В областях математики, где рассматриваются группы, наделенные дополнительной структурой, гомоморфизм иногда означает карту, которая учитывает не только структуру группы (как указано выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологические группы часто требуется, чтобы он был непрерывным.

Интуиция

Цель определения гомоморфизма группы - создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма групп: Функция час : грамм → ЧАС является гомоморфизмом группы, если всякий раз

а ∗ б = c у нас есть час(а) ⋅ час(б) = час(c).

Другими словами, группа ЧАС в некотором смысле имеет такую ​​же алгебраическую структуру, как грамм и гомоморфизм час сохраняет это.

Типы

Мономорфизм

Групповой гомоморфизм инъективный (или, индивидуально); т.е. сохраняет различимость.

Эпиморфизм

Групповой гомоморфизм сюръективный (или, на); т.е. достигает каждой точки в кодомене.

Изоморфизм

Групповой гомоморфизм биективный; т.е. инъективно и сюръективно. Обратный к нему также является гомоморфизмом групп. В этом случае группы грамм и ЧАС называются изоморфный; они различаются только обозначениями своих элементов и идентичны для всех практических целей.

Эндоморфизм

Гомоморфизм, час: грамм → грамм; домен и кодомен совпадают. Также называется эндоморфизмом грамм.

Автоморфизм

Биективный эндоморфизм и, следовательно, изоморфизм. Набор всех автоморфизмы группы граммс функциональной композицией в качестве операции, образует группу, группа автоморфизмов из грамм. Обозначается Aut (грамм). Например, группа автоморфизмов (Z, +) содержит только два элемента: тождественное преобразование и умножение на −1; он изоморфен Z/2Z.

Образ и ядро

Основные статьи: Изображение (математика) и ядро (алгебра)

Мы определяем ядро ч быть набором элементов в грамм которые отображаются на личность в ЧАС

${displaystyle operatorname {ker} (h)equiv left{uin Gcolon h(u)=e_{H}ight}.}$

и изображение ч быть

${displaystyle operatorname {im} (h)equiv h(G)equiv left{h(u)colon uin Gight}.}$

Ядро и образ гомоморфизма можно интерпретировать как измерение того, насколько он близок к изоморфизму. В первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма групп, час(грамм) изоморфна фактор-группе грамм/ ker час.

Ядро h является нормальная подгруппа из грамм а образ h - это подгруппа из ЧАС:

${displaystyle {egin{aligned}hleft(g^{-1}circ ucirc gight)&=h(g)^{-1}cdot h(u)cdot h(g)&=h(g)^{-1}cdot e_{H}cdot h(g)&=h(g)^{-1}cdot h(g)=e_{H}.end{aligned}}}$

Если и только если кер (час) = {е_грамм}, гомоморфизм, час, это групповой мономорфизм; т.е. час является инъективным (взаимно однозначным). Инъекция напрямую указывает, что в ядре есть уникальный элемент, а уникальный элемент в ядре дает инъекцию:

${displaystyle {egin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})Leftrightarrow &&h(g_{1})cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}Leftrightarrow &&hleft(g_{1}circ g_{2}^{-1}ight)&=e_{H}, operatorname {ker} (h)={e_{G}}Rightarrow &&g_{1}circ g_{2}^{-1}&=e_{G}Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}end{aligned}}}$

Примеры

• Рассмотрим циклическая группа Z/3Z = {0, 1, 2} и группа целых чисел Z с добавлением. Карта час : Z → Z/3Z с час(ты) = ты мод 3 - гомоморфизм групп. это сюръективный и его ядро ​​состоит из всех целых чисел, которые делятся на 3.

• Рассмотрим группу

  ${displaystyle Gequiv left{{egin{pmatrix}a&b�&1end{pmatrix}}{igg |}a>0,bin mathbf {R} ight}}$

  Для любого комплексного числа ты функция ж_ты : грамм → C^* определяется:

  ${displaystyle {egin{pmatrix}a&b�&1end{pmatrix}}mapsto a^{u}}$

  является гомоморфизмом групп.
• Рассмотрим мультипликативную группу положительные действительные числа (р⁺, ⋅) для любого комплексного числа ты функция ж_ты : р⁺ → C определяется:

  ${displaystyle f_{u}(a)=a^{u}}$

  является гомоморфизмом групп.

• В экспоненциальная карта дает гомоморфизм группы из группы действительные числа р с добавлением к группе ненулевых действительных чисел р* с умножением. Ядро - это {0}, а изображение состоит из положительных действительных чисел.
• Экспоненциальное отображение также дает гомоморфизм группы из группы сложные числа C с добавлением к группе ненулевых комплексных чисел C* с умножением. Это отображение сюръективно и имеет ядро ​​{2πки : k ∈ Z}, как видно из Формула Эйлера. Поля вроде р и C которые имеют гомоморфизмы из своей аддитивной группы в свою мультипликативную группу, поэтому называются экспоненциальные поля.

Категория групп

Если час : грамм → ЧАС и k : ЧАС → K являются гомоморфизмами групп, то k ∘ час : грамм → K. Это показывает, что класс всех групп вместе с гомоморфизмами групп как морфизмами образует категория.

Гомоморфизмы абелевых групп

Если грамм и ЧАС находятся абелевский (т.е. коммутативные) группы, то множество Hom (грамм, ЧАС) всех гомоморфизмов групп из грамм к ЧАС сама является абелевой группой: сумма час + k двух гомоморфизмов определяется формулой

(час + k)(ты) = час(ты) + k(ты) для всех ты в грамм.

Коммутативность ЧАС необходимо, чтобы доказать, что час + k снова является гомоморфизмом групп.

Сложение гомоморфизмов согласовано с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если ж в Hom (K, грамм), час, k являются элементами Hom (грамм, ЧАС), и грамм в Hom (ЧАС, L), тогда

(час + k) ∘ ж = (час ∘ ж) + (k ∘ ж) и грамм ∘ (час + k) = (грамм ∘ час) + (грамм ∘ k).

Так как композиция ассоциативный, это показывает, что множество End (грамм) всех эндоморфизмов абелевой группы образует звенеть, то кольцо эндоморфизмов из грамм. Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы, состоящее из прямая сумма из м копии Z/пZ изоморфно кольцу м-к-м матрицы с записями в Z/пZ. Приведенная выше совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с гомоморфизмами групп образует предаддитивная категория; существование прямых сумм и корректных ядер делает эту категорию прототипом абелева категория.

Смотрите также

• Основная теорема о гомоморфизмах
• Гомоморфизм колец

Рекомендации

• Dummit, D. S .; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. С. 71–72. ISBN  978-0-471-43334-7.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556, Zbl  0984.00001

внешняя ссылка

• «Групповой гомоморфизм». PlanetMath.
• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Групповой гомоморфизм». MathWorld.