Эпиморфизм - Epimorphism

Эта статья о математической функции. О биологическом феномене см. Эпиморфоз.

В теория категорий, эпиморфизм (также называемый эпический морфизм или, в просторечии, эпи) это морфизм ж : Икс → Y то есть право-отменяющий в том смысле, что для всех объектов Z и все морфизмы грамм₁, грамм₂: Y → Z,

${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.}$

Эпиморфизмы - категорические аналоги на или сюръективные функции (и в категория наборов понятие точно соответствует сюръективным функциям), но оно может не совпадать точно во всех контекстах; например, включение ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$ - кольцевой эпиморфизм. В двойной эпиморфизма есть мономорфизм (т.е. эпиморфизм в категория C является мономорфизмом в двойная категория C^op).

Многие авторы в абстрактная алгебра и универсальная алгебра определить эпиморфизм просто как на или же сюръективный гомоморфизм. Каждый эпиморфизм в этом алгебраическом смысле является эпиморфизмом в смысле теории категорий, но обратное верно не для всех категорий. В этой статье термин «эпиморфизм» будет использоваться в приведенном выше смысле теории категорий. Подробнее об этом см. § Терминология ниже.

Примеры

Каждый морфизм в конкретная категория чья основная функция является сюръективный это эпиморфизм. Для многих конкретных категорий интересов верно и обратное. Например, в следующих категориях эпиморфизмы - это именно те морфизмы, которые сюръективны на базовых множествах:

• Набор: наборы и функции. Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм ж: Икс → Y в Набор сюръективен, мы составляем его как характеристическая функция грамм₁: Y → {0,1} изображения ж(Икс) и карта грамм₂: Y → {0,1}, что является константой 1.
• Rel: наборы с бинарные отношения и функции, сохраняющие отношения. Здесь мы можем использовать то же доказательство, что и для Набор, снабжая {0,1} полным отношением {0,1} × {0,1}.
• Поз: частично упорядоченные наборы и монотонные функции. Если ж : (Икс, ≤) → (Y, ≤) не сюръективно, выберите у₀ в Y \ ж(Икс) и разреши грамм₁ : Y → {0,1} - характеристическая функция {у | у₀ ≤ у} и грамм₂ : Y → {0,1} характеристическая функция {у | у₀ < у}. Эти отображения монотонны, если {0,1} задан стандартный порядок 0 <1.
• Grp: группы и гомоморфизмы групп. В результате каждый эпиморфизм в Grp сюръективен из-за Отто Шрайер (на самом деле он доказал больше, показывая, что каждый подгруппа является эквалайзер с использованием бесплатный продукт с одной объединенной подгруппой); элементарное доказательство можно найти в (Linderholm 1970).
• FinGrp: конечные группы и гомоморфизмы групп. Также благодаря Шрайеру; доказательство, данное в (Linderholm 1970), также устанавливает этот случай.
• Ab: абелевы группы и гомоморфизмы групп.
• K-Vect: векторные пространства через поле K и K-линейные преобразования.
• Мод-р: правильные модули через звенеть р и модульные гомоморфизмы. Это обобщает два предыдущих примера; доказать, что каждый эпиморфизм ж: Икс → Y в Мод-р сюръективно, мы составляем его как каноническими факторная карта грамм ₁: Y → Y/ж(Икс) и нулевая карта грамм₂: Y → Y/ж(Икс).
• Вершина: топологические пространства и непрерывные функции. Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм в Вершина сюръективно, мы действуем точно так же, как в Набор, давая {0,1} недискретная топология, что обеспечивает непрерывность всех рассматриваемых карт.
• HComp: компактный Хаусдорфовы пространства и непрерывные функции. Если ж: Икс → Y не сюръективно, пусть у ∈ Y − fX. С fX закрыто Лемма Урысона есть непрерывная функция грамм₁:Y → [0,1] такое, что грамм₁ 0 на fX и 1 на у. Мы сочиняем ж с обоими грамм₁ и нулевая функция грамм₂: Y → [0,1].

Однако есть также много конкретных категорий интересов, в которых эпиморфизмы не могут быть сюръективными. Вот несколько примеров:

• в категория моноидов, Пн, то карта включения N → Z является несюръективным эпиморфизмом. Чтобы увидеть это, предположим, что грамм₁ и грамм₂ две разные карты из Z к какому-то моноиду M. Тогда для некоторых п в Z, грамм₁(п) ≠ грамм₂(п), так грамм₁(-n) ≠ грамм₂(−п). Либо п или -п в N, поэтому ограничения грамм₁ и грамм₂ к N неравны.
• В категории алгебр над коммутативным кольцом р, брать р[N] → р[Z], куда р[грамм] это групповое кольцо группы грамм а морфизм индуцирован включением N → Z как в предыдущем примере. Это следует из наблюдения, что 1 порождает алгебру р[Z] (обратите внимание, что блок в р[Z] дан кем-то 0 из Z), и обратный элемент, представленный п в Z это просто элемент, представленный -п. Таким образом, любой гомоморфизм из р[Z] однозначно определяется своим значением на элементе, представленном 1 из Z.
• в категория колец, Звенеть, карта включения Z → Q несюръективный эпиморфизм; чтобы увидеть это, обратите внимание, что любой кольцевой гомоморфизм на Q полностью определяется его действием на Z, аналогично предыдущему примеру. Аналогичное рассуждение показывает, что естественный гомоморфизм колец из любого коммутативное кольцо р к любому из его локализации это эпиморфизм.
• в категория коммутативных колец, а конечно порожденный гомоморфизм колец ж : р → S является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда для всех главные идеалы п из р, идеал Q создано ж(п) либо S или простое, и если Q не является S, индуцированное отображение Гидроразрыв (р/п) → ГРП (S/Q) является изоморфизм (EGA IV 17.2.6).
• В категории хаусдорфовых пространств Haus, эпиморфизмы - это в точности непрерывные функции с плотный изображений. Например, карта включения Q → р, является несюръективным эпиморфизмом.

Сказанное выше отличается от случая мономорфизмов, где чаще верно, что мономорфизмы - это в точности те, чьи основные функции инъективный.

Что касается примеров эпиморфизмов в неконкретных категориях:

• Если моноид или же звенеть рассматривается как категория с одним объектом (композиция морфизмов, заданных умножением), то эпиморфизмы - это в точности сокращаемые справа элементы.
• Если ориентированный граф рассматривается как категория (объекты - это вершины, морфизмы - это пути, композиция морфизмов - это конкатенация путей), то каждый морфизм - это эпиморфизм.

Характеристики

Каждый изоморфизм это эпиморфизм; действительно нужен только правосторонний обратный: если существует морфизм j : Y → Икс такой, что fj = id_Y, тогда ж: Икс → Y легко увидеть, что это эпиморфизм. Отображение с таким правосторонним обратным называется разделить эпи. В топос, карта, которая одновременно монический морфизм а эпиморфизм - это изоморфизм.

Композиция двух эпиморфизмов снова является эпиморфизмом. Если состав фг двух морфизмов является эпиморфизмом, то ж должен быть эпиморфизм.

Как показывают некоторые из приведенных выше примеров, свойство быть эпиморфизмом определяется не только морфизмом, но и категорией контекста. Если D это подкатегория из C, то каждый морфизм в D это эпиморфизм, если рассматривать его как морфизм в C также является эпиморфизмом в D. Однако обратное не обязательно; меньшая категория может (и часто будет) иметь больше эпиморфизмов.

Что касается большинства понятий теории категорий, эпиморфизмы сохраняются при эквивалентности категорий: с учетом эквивалентности F : C → D, морфизм ж является эпиморфизмом в категории C если и только если F(ж) является эпиморфизмом в D. А двойственность между двумя категориями превращает эпиморфизмы в мономорфизмы, и наоборот.

Определение эпиморфизма можно переформулировать, указав, что ж : Икс → Y является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированные отображения

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}}$

находятся инъективный на любой выбор Z. Это, в свою очередь, эквивалентно индуцированному естественная трансформация

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}}$

являясь мономорфизмом в категория функторов Набор^C.

Каждый коэквалайзер является эпиморфизмом, следствием требования единственности в определении коэффициентов. Из этого, в частности, следует, что каждый коядро это эпиморфизм. Обратное, а именно, что каждый эпиморфизм является соуравнителем, не верно для всех категорий.

Во многих категориях можно записать любой морфизм как композицию эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Например, учитывая гомоморфизм группы ж : грамм → ЧАС, мы можем определить группу K = им (ж) а затем напишите ж как композиция сюръективного гомоморфизма грамм → K что определяется как жс последующим инъективным гомоморфизмом K → ЧАС который отправляет каждый элемент себе. Такая факторизация произвольного морфизма в эпиморфизм с последующим мономорфизмом может быть проведена во всех абелевых категориях, а также во всех конкретных категориях, упомянутых выше в § Примеры (правда, не во всех конкретных категориях).

Связанные понятия

Среди других полезных концепций: регулярный эпиморфизм, экстремальный эпиморфизм, непосредственный эпиморфизм, сильный эпиморфизм, и расщепленный эпиморфизм.

• Говорят, что эпиморфизм обычный если это коэквалайзер некоторой пары параллельных морфизмов.
• Эпиморфизм ${\displaystyle \varepsilon }$ как говорят экстремальный^[1] если в каждом представлении ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }$, куда ${\displaystyle \mu }$ это мономорфизм, морфизм ${\displaystyle \mu }$ автоматически изоморфизм.
• Эпиморфизм ${\displaystyle \varepsilon }$ как говорят немедленный если в каждом представлении ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$, куда ${\displaystyle \mu }$ это мономорфизм и ${\displaystyle \varepsilon '}$ является эпиморфизмом, морфизм ${\displaystyle \mu }$ автоматически изоморфизм.
• 
  Эпиморфизм ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ как говорят сильный^[1][2] если для любого мономорфизм ${\displaystyle \mu :C\to D}$ и любые морфизмы ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ и ${\displaystyle \beta :B\to D}$ такой, что ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$, существует морфизм ${\displaystyle \delta :B\to C}$ такой, что ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ и ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$.
• Эпиморфизм ${\displaystyle \varepsilon }$ как говорят расколоть если существует морфизм ${\displaystyle \mu }$ такой, что ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$ (в этом случае ${\displaystyle \mu }$ называется правосторонним обратным для ${\displaystyle \varepsilon }$).

Также существует понятие гомологический эпиморфизм в теории колец. Морфизм ж: А → B колец является гомологическим эпиморфизмом, если он является эпиморфизмом и индуцирует полный и точный функтор на производные категории: D (ж): D (B) → D (А).

Морфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, называется биморфизм. Любой изоморфизм является биморфизмом, но обратное, вообще говоря, неверно. Например, карта из полуоткрытый интервал [0,1) в единичный круг S¹ (задуманный как подпространство из комплексная плоскость ) который отправляет Икс к exp (2πiИкс) (видеть Формула Эйлера ) непрерывно и биективно, но не гомеоморфизм поскольку обратное отображение не является непрерывным в 1, поэтому это экземпляр биморфизма, который не является изоморфизмом в категории Вершина. Другой пример - вложение Q → р в категории Haus; как отмечалось выше, это биморфизм, но он не биективен и, следовательно, не является изоморфизмом. Точно так же в категории кольца, карта Z → Q является биморфизмом, но не изоморфизмом.

Эпиморфизмы используются для определения абстрактных частные объекты в общих категориях: два эпиморфизма ж₁ : Икс → Y₁ и ж₂ : Икс → Y₂ как говорят эквивалент если существует изоморфизм j : Y₁ → Y₂ с j ж₁ = ж₂. Это отношение эквивалентности, а классы эквивалентности определены как фактор-объекты Икс.

Терминология

Сопутствующие термины эпиморфизм и мономорфизм были впервые представлены Бурбаки. Бурбаки использует эпиморфизм как сокращение для сюръективная функция. Ранние теоретики категорий полагали, что эпиморфизмы были правильным аналогом сюръекций в произвольной категории, подобно тому, как мономорфизмы почти точные аналоги инъекций. К сожалению, это неверно; сильные или регулярные эпиморфизмы гораздо ближе к сюръекциям, чем обычные эпиморфизмы. Saunders Mac Lane попытался провести различие между эпиморфизмы, которые были картами в конкретной категории, чьи базовые карты множеств были сюръективными, и эпические морфизмы, которые являются эпиморфизмами в современном понимании. Однако это различие так и не прижилось.

Распространенная ошибка - полагать, что эпиморфизмы либо идентичны сюръекциям, либо представляют собой лучшую концепцию. К сожалению, это случается редко; эпиморфизмы могут быть очень загадочными и иметь неожиданное поведение. Например, очень сложно классифицировать все эпиморфизмы колец. В общем, эпиморфизмы - это их собственное уникальное понятие, связанное с сюръекциями, но принципиально иное.

Смотрите также

• Список тем теории категорий
• Мономорфизм

Примечания

1. Borceux 1994.
2. Цаленко и Шульгейфер 1974.

Рекомендации

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-60922-6.
• Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям. Springer. ISBN  978-3-319-11478-1.
• Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре. Том 1: Основная теория категорий. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521061193.
• Цаленко, М.С .; Шульгейфер, Э. (1974). Основы теории категорий. Наука. ISBN  5-02-014427-4.
• «Эпиморфизм», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Ловер, Ф. Уильям; Розбру, Роберт (2015). Наборы для математики. Пресса Кембриджского университета. ISBN  0-521-80444-2.
• Линдерхольм, Карл (1970). «Групповой эпиморфизм сюръективен». Американский математический ежемесячный журнал. 77: 176–177. Дои:10.1080/00029890.1970.11992448.

внешняя ссылка

• эпиморфизм в nLab
• Сильный эпиморфизм в nLab