Лемма Урысона - Urysohns lemma
В топология, Лемма Урысона это лемма в котором говорится, что топологическое пространство является нормальный если и только если любые два непересекающийся закрытые подмножества возможно отделенный по непрерывная функция.[1]
Лемма Урысона обычно используется для построения непрерывных функций с различными свойствами на нормальных пространствах. Это широко применяется, поскольку все метрические пространства и все компактный Хаусдорфовы пространства нормальные. Лемма обобщается (и обычно используется при доказательстве) Теорема Титце о продолжении.
Лемма названа в честь математик Павел Самуилович Урысон.
Официальное заявление
Два подмножества А и B из топологическое пространство Икс как говорят разделены районами если есть окрестности U из А и V из B которые не пересекаются. Особенно А и B обязательно не пересекаются.
Два простых подмножества А и B как говорят разделены функцией если существует непрерывная функция ж из Икс в единичный интервал [0,1] такой, что ж(а) = 0 для всех а в А и ж(б) = 1 для всех б в B. Любая такая функция называется Функция Урысона за А и B. Особенно А и B обязательно не пересекаются.
Отсюда следует, что если два подмножества А и B находятся разделены функцией то же самое и с их закрытием.
Также следует, что если два подмножества А и B находятся разделены функцией тогда А и B находятся разделены районами.
А нормальное пространство - топологическое пространство, в котором любые два непересекающихся замкнутых множества можно разделить окрестностями. Лемма Урысона утверждает, что топологическое пространство нормально тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены непрерывной функцией.
Наборы А и B не должно быть точно разделены ж, т.е. мы не требуем и вообще не можем требовать, чтобы ж(Икс) ≠ 0 и ≠ 1 для Икс вне А и B. Пространства, в которых выполняется это свойство, являются совершенно нормальные пространства.
Лемма Урысона привела к формулировке других топологических свойств, таких как «тихоновское свойство» и «вполне хаусдорфовы пространства». Например, следствием леммы является то, что нормальный Т1 пробелы находятся Тихонов.
Эскиз доказательства
Процедура представляет собой полностью прямое применение определения нормальности (если нарисовать несколько фигур, представляющих первые несколько шагов индукции, описанной ниже, чтобы увидеть, что происходит), начиная с двух непересекающихся замкнутых множеств. В умная часть доказательства - это индексация построенных таким образом открытых множеств с помощью двоичных дробей.
Для каждого диадическая фракция р ∈ (0,1), мы построим открытое подмножество U(р) из Икс такой, что:
- U(р) содержит А и не пересекается с B для всех р,
- За р < s, то закрытие из U(р) содержится в U(s).
Когда у нас есть эти наборы, мы определяем ж(Икс) = 1, если Икс ∉ U(р) для любого р; иначе ж(Икс) = инф { р : Икс ∈ U(р) } для каждого Икс ∈ Икс. Используя тот факт, что диадические рациональные числа плотный, тогда нетрудно показать, что ж непрерывна и обладает свойством ж(А) ⊆ {0} и ж(B) ⊆ {1}.
Для построения наборов U(р), на самом деле мы делаем немного больше: строим множества U(р) и V(р) такие, что
- А ⊆ U(р) и B ⊆ V (г) для всех р,
- U(р) и V(р) открыты и не пересекаются для всех р,
- За р < s, V(s) содержится в дополнении U(р) и дополнение V(р) содержится в U(s).
Поскольку дополнение V(р) закрыта и содержит U(р), тогда из последнего условия следует условие (2) сверху.
Эта конструкция продолжается математическая индукция. Сначала определите U(1) = Икс \ B и V(0) = Икс \ А. С Икс нормально, можно найти два непересекающихся открытых множества U(1/2) и V(1/2) которые содержат А и B, соответственно. Теперь предположим, что п ≥ 1 и множества U(k / 2п) и V(k / 2п) уже построены для k = 1, ..., 2п−1. С Икс это нормально, для любого а ∈ { 0, 1, ..., 2п−1}, можно найти два непересекающихся открытых множества, которые содержат Икс \ V(а / 2п) и Икс \ U((а+1) / 2п), соответственно. Назовите эти два открытых набора U((2а+1) / 2п+1) и V((2а+1) / 2п+1) и проверьте три вышеуказанных условия.
В Проект Мицар полностью формализовал и автоматически проверил доказательство леммы Урысона в URYSOHN3 файл.
Смотрите также
Примечания
- ^ Уиллард 1970 Раздел 15.
Рекомендации
- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.CS1 maint: ref = harv (связь)