Симплектическая группа - Symplectic group

Для конечных групп со всеми характеристическими абелевыми подгруппами циклическими см. группа симплектического типа.

В математика, название симплектическая группа может относиться к двум различным, но тесно связанным собраниям математических группы, обозначенный Sp (2п, F) и Sp (п) для положительного целого числа п и поле F (обычно C или р). Последний называется компактная симплектическая группа. Многие авторы предпочитают несколько разные обозначения, обычно различающиеся по коэффициентам 2. Используемые здесь обозначения соответствуют размеру наиболее распространенных матрицы которые представляют группы. В Картан классификация простые алгебры Ли, алгебра Ли комплексной группы Sp (2п, C) обозначается C_п, и Sp (п) это компактная реальная форма из Sp (2п, C). Обратите внимание, что когда мы говорим о то (компактная) симплектическая группа подразумевается, что мы говорим о наборе (компактных) симплектических групп, индексированных по их размерности п.

Название "симплектическая группа" благодаря Герману Вейлю в качестве замены прежних запутанных имен (линия) сложная группа и Абелева линейная группа, и является греческим аналогом слова «комплекс».

В метаплектическая группа является двойным накрытием симплектической группы над р; имеет аналоги перед другими местные поля, конечные поля, и Адель кольца.

Sp (2п, F)

Симплектическая группа - это классическая группа определяется как набор линейные преобразования из 2п-размерный векторное пространство над полем F которые сохраняют невырожденный кососимметричный билинейная форма. Такое векторное пространство называется симплектическое векторное пространство, и симплектическая группа абстрактного симплектического векторного пространства V обозначается Sp (V). При фиксации основы для Vсимплектическая группа превращается в группу 2п × 2п симплектические матрицы, с записями в F, под действием матричное умножение. Эта группа обозначается либо Sp (2п, F) или Sp (п, F). Если билинейная форма представлена неособый кососимметричная матрица Ω, то

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},}$

где M^Т это транспонировать из M. Часто Ω определяется как

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

где я_п - единичная матрица. В таком случае, Sp (2п, F) можно выразить как эти блочные матрицы ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$, где ${\displaystyle A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)}$, удовлетворяющие уравнениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }A+B^{\mathrm {T} }C&=-I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}}$

Поскольку все симплектические матрицы имеют детерминант 1, симплектическая группа является подгруппа из специальная линейная группа SL (2п, F). Когда п = 1, симплектическое условие на матрицу выполняется если и только если определитель один, так что Sp (2, F) = SL (2, F). За п > 1, есть дополнительные условия, т.е. Sp (2п, F) тогда является собственной подгруппой в SL (2п, F).

Обычно поле F это область действительные числа р или сложные числа C. В этих случаях Sp (2п, F) реальный / сложный Группа Ли реального / комплексного измерения п(2п + 1). Эти группы связаны но некомпактный.

В центр из Sp (2п, F) состоит из матриц я_2п и −я_2п пока характеристика поля не является 2.^[1] Поскольку центр Sp (2п, F) дискретна и его фактор по центру равен простая группа, Sp (2п, F) считается простая группа Ли.

Действительный ранг соответствующей алгебры Ли, а значит, и группы Ли Sp (2п, F), является п.

В Алгебра Ли из Sp (2п, F) это набор

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},}$

оснащен коммутатор как его скобка Ли.^[2] Для стандартной кососимметричной билинейной формы ${\displaystyle \Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})}$, эта алгебра Ли представляет собой множество всех блочных матриц ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$ при соблюдении условий

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$

Sp (2п, C)

Симплектическая группа над полем комплексных чисел есть некомпактный, односвязный, простая группа Ли.

Sp (2п, р)

Sp (2п, C) это комплексирование настоящей группы Sp (2п, р). Sp (2п, р) настоящий, некомпактный, связаны, простая группа Ли.^[3] Оно имеет фундаментальная группа изоморфный к группе целые числа под дополнением. Поскольку реальная форма из простая группа Ли его алгебра Ли - это расщепляемая алгебра Ли.

Некоторые дополнительные свойства Sp (2п, р):

• В экспоненциальная карта от Алгебра Ли зр(2п, р) к группе Sp (2п, р) не является сюръективный. Однако любой элемент группы может быть получен путем группового умножения двух элементов.^[4] Другими словами,

${\displaystyle \forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.}$

• Для всех S в Sp (2п, р):

${\displaystyle S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Матрица D является положительно определенный и диагональ. Набор таких Zs образует некомпактную подгруппу в Sp (2п, р) в то время как U (п) образует компактную подгруппу. Это разложение известно как разложение Эйлера или разложения Блоха – Мессии.^[5] В дальнейшем симплектическая матрица properties можно найти на этой странице в Википедии.

• Как Группа Ли, Sp (2п, р) имеет многообразную структуру. В многообразие за Sp (2п, р) является диффеоморфный к Декартово произведение из унитарная группа U (п) с векторное пространство измерения п(п+1).^[6]

Бесконечно малые генераторы

Члены симплектической алгебры Ли зр(2п, F) являются Гамильтоновы матрицы.

Это матрицы, ${\displaystyle Q}$ такой, что

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

где B и C находятся симметричные матрицы. Увидеть классическая группа для вывода.

Пример симплектических матриц

За Sp (2, р), группа 2 × 2 матрицы с определителем 1, три симплектических (0, 1)-матрицы бывают:^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Sp (n, R)

Оказывается, что ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbf {R} )}$ может иметь довольно явное описание с помощью генераторов. Если мы позволим ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$ обозначим симметричный ${\displaystyle n\times n}$ матрицы, то ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbf {R} )}$ генерируется ${\displaystyle D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},}$ где

${\displaystyle {\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}}$

являются подгруппами ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbf {R} )}$^{[8]стр.173 [9]стр. 2}.

Связь с симплектической геометрией

Симплектическая геометрия это изучение симплектические многообразия. В касательное пространство в любой точке симплектического многообразия является симплектическое векторное пространство.^[10] Как отмечалось ранее, сохраняющие структуру преобразования симплектического векторного пространства образуют группа и эта группа Sp (2п, F), в зависимости от размеров помещения и поле над которым он определяется.

Симплектическое векторное пространство само является симплектическим многообразием. Преобразование под действие симплектической группы является в некотором смысле линеаризованной версией симплектоморфизм которое является более общим сохраняющим структуру преобразованием на симплектическом многообразии.

Sp (п)

В компактная симплектическая группа^[11] Sp (п) это пересечение Sp (2п, C) с ${\displaystyle 2n\times 2n}$ унитарная группа:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).}$

Иногда его пишут как USp (2п). В качестве альтернативы, Sp (п) можно описать как подгруппу GL (п, ЧАС) (обратимый кватернионный матрицы), сохраняющий стандартную эрмитская форма на ЧАС^п:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.}$

Это, Sp (п) это просто кватернионная унитарная группа, U (п, ЧАС).^[12] Действительно, его иногда называют гиперунитарная группа. Также Sp (1) - это группа кватернионов нормы 1, что эквивалентно SU (2) и топологически 3-сфера S³.

Обратите внимание, что Sp (п) является нет симплектическая группа в смысле предыдущего раздела - она ​​не сохраняет невырожденную кососимметрическую ЧАС-билинейная форма на ЧАС^п: кроме нулевой формы такой формы нет. Скорее, он изоморфен подгруппе Sp (2п, C), и тем самым сохраняет сложную симплектическую форму в векторном пространстве размерности вдвое большей. Как объяснено ниже, алгебра Ли Sp (п) компактный реальная форма комплексной симплектической алгебры Ли зр(2п, C).

Sp (п) является действительной группой Ли с (реальной) размерностью п(2п + 1). это компактный, связаны, и односвязный.^[13]

Алгебра Ли Sp (п) дается кватернионным косоэрмитский матриц, набор п-от-п кватернионные матрицы, удовлетворяющие

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$

где А^† это сопряженный транспонировать из А (здесь берется кватернионное сопряжение). Скобка Ли задается коммутатором.

Важные подгруппы

Некоторые основные подгруппы:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)}$

Наоборот, это сама подгруппа некоторых других групп:

${\displaystyle \operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)}$

Есть также изоморфизмы из Алгебры Ли зр(2) = так(5) и зр(1) = так(3) = вс(2).

Связь между симплектическими группами

Каждый комплекс, полупростая алгебра Ли имеет разделить реальную форму и компактная реальная форма; первый называется комплексирование из двух последних.

Алгебра Ли Sp (2п, C) является полупростой и обозначается зр(2п, C). это разделить реальную форму является зр(2п, р) и это компактная реальная форма является зр(п). Они соответствуют группам Ли Sp (2п, р) и Sp (п) соответственно.

Алгебры, зр(п, п − п), которые являются алгебрами Ли Sp (п, п − п), являются неопределенная подпись эквивалент компактной формы.

Физическое значение

Классическая механика

Компактная симплектическая группа Sp (п) возникает в классической физике как симметрии канонических координат, сохраняющие скобку Пуассона.

Рассмотрим систему п частицы, развивающиеся под Уравнения Гамильтона чье положение в фазовое пространство в данный момент времени обозначается вектором канонические координаты,

${\displaystyle \mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.}$

Элементы группы Sp (2п, р) в определенном смысле канонические преобразования на этом векторе, т.е. сохраняют вид Уравнения Гамильтона.^[14][15] Если

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }}$

- новые канонические координаты, то с точкой, обозначающей производную по времени,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},}$

где

${\displaystyle M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )}$

для всех т и все z в фазовом пространстве.^[16]

В частном случае Риманово многообразие, Уравнения Гамильтона описывают геодезические на этом коллекторе. Координаты ${\displaystyle q^{i}}$ жить в касательный пучок к многообразию, а импульсы ${\displaystyle p_{i}}$ жить в котангенсный пучок. Это причина, по которой они обычно записываются с верхним и нижним индексами; это различать их расположение. Соответствующий гамильтониан состоит исключительно из кинетической энергии: это ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$ где ${\displaystyle g^{ij}}$ инверсия метрический тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ на римановом многообразии.^[17][15] Кокасательное расслоение любого риманового многообразия является частным случаем симплектическое многообразие.

Квантовая механика

Рассмотрим систему п частицы, чьи квантовое состояние кодирует свое положение и импульс. Эти координаты являются непрерывными переменными и, следовательно, Гильбертово пространство, в котором живет государство, является бесконечномерным. Это часто затрудняет анализ данной ситуации. Альтернативный подход заключается в рассмотрении эволюции операторов положения и импульса при Уравнение Гейзенберга в фазовое пространство.

Построить вектор канонические координаты,

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.}$

В каноническое коммутационное соотношение можно выразить просто как

${\displaystyle [\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega }$

где

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}}$

и я_п это п × п единичная матрица.

Многие физические ситуации требуют только квадратичного Гамильтонианы, т.е. Гамильтонианы формы

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}} }$

где K это 2п × 2п настоящий, симметричная матрица. Это оказывается полезным ограничением и позволяет нам переписать Уравнение Гейзенберга так как

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}} }$

Решение этого уравнения должно сохранять каноническое коммутационное соотношение. Можно показать, что эволюция этой системы во времени эквивалентна действие из вещественная симплектическая группа, Sp (2п, р), на фазовом пространстве.

Смотрите также

• Ортогональная группа
• Унитарная группа
• Проективная унитарная группа
• Симплектическое многообразие, Симплектическая матрица, Симплектическое векторное пространство, Симплектическое представление
• Гамильтонова механика
• Метаплектическая группа
• Θ10

Примечания

1. «Симплектическая группа», Энциклопедия математики Проверено 13 декабря 2014 года.
2. Зал 2015 Позиция 3.25
3. "Симплектическая группа Sp (2п, р) просто?", Обмен стеком Проверено 14 декабря 2014 года.
4. "Является экспоненциальным отображением для Sp (2п, р) сюръективно? ", Обмен стеком Проверено 5 декабря 2014 года.
5. «Стандартные формы и инженерия запутанности многомодовых гауссовских состояний при локальных операциях - Серафини и Адессо», Проверено 30 января 2015.
6. «Симплектическая геометрия - Арнольд и Гивенталь», Проверено 30 января 2015.
7. Симплектическая группа, (источник: Вольфрам MathWorld ), скачано 14 февраля 2012 г.
8. Джеральд Б. Фолланд. (2016). Гармонический анализ в фазовом пространстве. Принстон: Princeton Univ Press. п. 173. ISBN  1-4008-8242-7. OCLC  945482850.
9. Хаберманн, Катарина, 1966- (2006). Введение в симплектические операторы Дирака. Springer. ISBN  978-3-540-33421-7. OCLC  262692314.
10. «Конспект - Лекция 2: Симплектическая редукция», Проверено 30 января 2015.
11. Зал 2015 Раздел 1.2.8
12. Зал 2015 п. 14
13. Зал 2015 Позиция 13.12
14. Арнольд 1989 дает обширный математический обзор классической механики. См. Главу 8 для симплектические многообразия.
15. Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден, Основы механики(1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN  0-8053-0102-X
16. Гольдштейн 1980, Раздел 9.3
17. Юрген Йост, (1992) Риманова геометрия и геометрический анализ, Springer.

использованная литература

• Арнольд, В.И. (1989), Математические методы классической механики, Тексты для выпускников по математике, 60 (второе изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-96890-3
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Фултон, В.; Харрис, Дж. (1991), Теория представлений, первый курс, Тексты для выпускников по математике, 129, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97495-8.
• Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Чтение MA: Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02918-9.
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия, Тексты для выпускников по математике, 218, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95448-1
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы, Оксфордские выпускные программы по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• Ферраро, Алессандро; Оливарес, Стефано; Пэрис, Маттео Г. А. (март 2005 г.), "Гауссовы состояния в непрерывной переменной квантовой информации", arXiv:Quant-ph / 0503237.