Метаплектическая группа - Metaplectic group

В математика, то метаплектическая группа Mp_2п это двойная крышка из симплектическая группа Sp_2п. Его можно определить как настоящий или же п-адические числа. Конструкция охватывает в более общем случае случай произвольной местный или же конечное поле, и даже кольцо аделей.

Метаплектическая группа имеет особенно значительную бесконечномерную линейное представление, то Представительство Вейля.^[1] Он использовался Андре Вайль дать теоретико-репрезентативную интерпретацию тета-функции, и важен в теории модульные формы полуцелого веса и тета-корреспонденция.

Определение

В фундаментальная группа из симплектическая группа Ли Sp_2n(р) является бесконечный циклический, поэтому он имеет единственное связное двойное покрытие, которое обозначается Mp_2п(р) и назвал метаплектическая группа.

Метаплектическая группа Mp₂(р) является нет а матричная группа: нет точные конечномерные представления. Поэтому вопрос о его явной реализации нетривиален. Он имеет точные неприводимые бесконечномерные представления, такие как представление Вейля, описанное ниже.

Можно доказать, что если F любое локальное поле кроме C, то симплектическая группа Sp_2п(F) допускает единственное идеально центральное расширение с ядром Z/2Z, циклическая группа порядка 2, которая называется метаплектической группой над FОн служит алгебраической заменой топологического понятия двумерного покрытия, используемого при F = р. Подход, основанный на понятии центрального расширения, полезен даже в случае реальной метаплектической группы, потому что он позволяет описать групповую операцию с помощью определенного коцикл.

Явная конструкция для п = 1

В случае п = 1симплектическая группа совпадает с специальная линейная группа SL₂(р). Эта группа биголоморфно действует на комплексе верхняя полуплоскость дробно-линейными преобразованиями,

{ displaystyle g cdot z = { frac {az + b} {cz + d}}}

куда

{ displaystyle g = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} in mathrm {SL} _ {2} ( mathbf {R})}

является вещественной матрицей 2 на 2 с единичным определителем и z находится в верхней полуплоскости, и это действие можно использовать для явного построения метаплектического покрытия SL₂(р).

Элементы метаплектической группы Mp₂(р) - пары (грамм, ε), куда ${ Displaystyle г в mathrm {SL} _ {2} ( mathbf {R})}$ и ε является голоморфной функцией на верхняя полуплоскость такой, что ${ displaystyle epsilon (z) ^ {2} = cz + d = j (g, z)}$ . Закон умножения определяется:

{ displaystyle (g_ {1}, epsilon _ {1}) cdot (g_ {2}, epsilon _ {2}) = (g_ {1} g_ {2}, epsilon),}

куда

{ displaystyle epsilon (z) = epsilon _ {1} (g_ {2} cdot z) epsilon _ {2} (z).}

Корректность этого произведения следует из соотношения коциклов ${ displaystyle j (g_ {1} g_ {2}, z) = j (g_ {1}, g_ {2} cdot z) j (g_ {2}, z)}$ . Карта

{ displaystyle (g, epsilon) mapsto g}

сюръекция из Mp₂(р) в SL₂(р), не допускающего непрерывного участка. Таким образом, мы построили нетривиальное 2-кратное покрытие последней группы.

Построение представления Вейля

Сначала мы дадим довольно абстрактную причину существования представления Вейля. В Группа Гейзенберга имеет неприводимый унитарное представительство в гильбертовом пространстве ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ , то есть,

{ Displaystyle rho: mathbb {H} (V) longrightarrow U ({ mathcal {H}})}

с центром, действующим как заданная ненулевая константа. В Теорема Стоуна – фон Неймана заявляет, что это представление по существу уникально: если ${ displaystyle rho '}$ - другое такое представление, существует автоморфизм

{ Displaystyle psi в U ({ mathcal {H}})}

такой, что

{ displaystyle rho '= mathrm {Ad} _ { psi} ( rho)}

.

и сопрягающий автоморфизм проективно единственен, т. е. с точностью до константы мультипликативного модуля 1. Таким образом, любой автоморфизм группы Гейзенберга, индуцирующий единицу в центре, действует на этом представлении ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ - чтобы быть точным, действие четко определено только с точностью до умножения на ненулевую константу.

Автоморфизмы группы Гейзенберга (фиксирующие ее центр) образуют симплектическая группа, поэтому на первый взгляд кажется, что это дает действие симплектической группы на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ . Однако действие определяется только с точностью до умножения на ненулевую константу, другими словами, можно отобразить только автоморфизм группы в класс ${ displaystyle [ psi] в PU ({ mathcal {H}})}$ Таким образом, мы получаем только гомоморфизм симплектической группы в проективный унитарная группа ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ ; другими словами проективное представление. Затем применяется общая теория проективных представлений, чтобы определить действие некоторых центральное расширение симплектической группы на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ . Расчет показывает, что это центральное расширение можно принять за двойное покрытие, а это двойное покрытие - за метаплектическую группу.

Приведем более конкретную конструкцию в простейшем случае Mp₂(р). Гильбертово пространство ЧАС тогда пространство всех L² функции на реалах. Группа Гейзенберга порождается переводами и умножением на функции е^ixy из Икс, за у настоящий. Тогда действие метаплектической группы на ЧАС порождается преобразованием Фурье и умножением на функции exp (ix²у) из Икс, за у настоящий.

Обобщения

Вейль показал, как расширить изложенную выше теорию, заменив любой локально компактной абелевой группой грамм, который Понтрягинская двойственность изоморфна своему двойственному (группе характеров). Гильбертово пространство ЧАС тогда пространство всех L² функции на грамм. Группа Гейзенберга (аналог) порождается переводами на элементы грамм, и умножение на элементы дуальной группы (рассматриваемые как функции от грамм к единичной окружности). Существует аналог симплектической группы, действующей на группе Гейзенберга, и это действие поднимается до проективного представления на ЧАС. Соответствующее центральное расширение симплектической группы называется метаплектической группой.

Некоторые важные примеры этой конструкции дают:

грамм является векторным пространством над вещественными числами размерности п. Это дает метаплектическую группу, которая является двойным прикрытием симплектическая группа Sp_2п(р).
В более общем смысле грамм может быть векторным пространством над любым местное поле F измерения п. Это дает метаплектическую группу, которая является двойным покрытием симплектической группы Sp_2п(F).
грамм векторное пространство над Адель из числовое поле (или же глобальное поле ). Этот случай используется в теоретико-представительном подходе к автоморфные формы.
грамм конечная группа. Тогда соответствующая метаплектическая группа также конечна, а центральное покрытие тривиально. Этот случай используется в теории тета-функции решеток, где обычно грамм будет дискриминантной группой ровная решетка.
Современная точка зрения на существование линейный (не проективное) представление Вейля над конечным полем, а именно, что оно допускает реализацию канонического гильбертова пространства, было предложено Давид Каждан. Используя понятие канонических операторов сплетения, предложенное Джозеф Бернштейн, такую реализацию построил Гуревич-Хадани.^[2]

Смотрите также

Группа Гейзенберга
Метаплектическая структура
Редукционная двойная пара
Спиновая группа, еще одна двойная обложка
Симплектическая группа
Тета-функция

Примечания

^ Вейль, А. (1964). "Sur specific groupes d'opérateurs unitaires". Acta Math. 111: 143–211. Дои:10.1007 / BF02391012.
^ Гуревич, Шамгар; Хадани, Ронни (31 мая 2007 г.). «Квантование симплектических векторных пространств над конечными полями». arXiv:0705.4556 [math.RT ]. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | publisher = (помощь)