Тета-функция - Theta function

Относительно других θ-функций см. Тета-функция (значения).

Оригинальная тета-функция Якоби θ₁ с ты = яπz и с номом q = е^яπτ = 0.1е^0.1яπ. Условные обозначения (Mathematica): ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(u;q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)u\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iu}\end{aligned}}}$

В математика, тета-функции находятся специальные функции из несколько сложных переменных. Они важны во многих областях, включая теории Абелевы разновидности и пространства модулей, и из квадратичные формы. Они также были применены к солитон теория. При обобщении на Алгебра грассмана, они также появляются в квантовая теория поля.^[1]

Наиболее распространенная форма тета-функции встречается в теории эллиптические функции. По отношению к одной из комплексных переменных (условно называемых z), тета-функция обладает свойством, выражающим ее поведение по отношению к добавлению периода к связанным эллиптическим функциям, что делает ее квазипериодическая функция. В абстрактной теории это происходит от линейный пакет состояние спуск.

Тета-функция Якоби

Якоби тета 1

Якоби тета 2

Якоби тета 3

Якоби тета 4

Существует несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби, и множество различных и несовместимых систем обозначений для них. Один Тета-функция Якоби (названный в честь Карл Густав Джейкоб Якоби ) - функция, определенная для двух комплексных переменных z и τ, куда z может быть любым комплексным числом и τ это коэффициент полупериода, ограниченный верхняя полуплоскость, что означает наличие положительной мнимой части. Он задается формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}}$

куда q = exp (πя) это ном и η = exp (2πiz). Это Форма Якоби. При фиксированном τ, это Ряд Фурье для 1-периодического вся функция из z. Соответственно, тета-функция 1-периодична по z:

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}$

Также оказывается τ-квазипериодический в z, с

${\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=\exp[-\pi i(\tau +2z)]\vartheta (z;\tau ).}$

Таким образом, в целом

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\vartheta (z;\tau )}$

для любых целых чисел а и б.

Тета-функция θ₁ с другим номом q = е^яπτ. Черная точка на правом рисунке показывает, как q меняется с τ.

Тета-функция θ₁ с другим номом q = е^яπτ. Черная точка на правом рисунке показывает, как q меняется с τ.

Вспомогательные функции

Определенная выше тета-функция Якоби иногда рассматривается вместе с тремя вспомогательными тета-функциями, и в этом случае она записывается с двойным индексом 0:

${\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$

Вспомогательные (или полупериодные) функции определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}$

Это обозначение следует Риман и Мамфорд; Якоби исходная формулировка была в терминах ном q = е^яπτ скорее, чем τ. В обозначениях Якоби θ-функции написаны:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}$

Приведенные выше определения тета-функций Якоби ни в коем случае не уникальны. Видеть Тета-функции Якоби (варианты обозначений) для дальнейшего обсуждения.

Если мы установим z = 0 в приведенных выше тета-функциях мы получаем четыре функции от τ только, определенные на верхней полуплоскости (иногда называемые тета-константами). Их можно использовать для определения множества модульные формы, и параметризовать определенные кривые; в частности, Личность Якоби является

${\displaystyle \vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}}$

какой Кривая Ферма четвертой степени.

Тождества Якоби

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются под действием модульная группа, который порождается τ ↦ τ + 1 и τ ↦ −1/τ. Уравнения для первого преобразования легко найти, добавив единицу к τ в экспоненте имеет тот же эффект, что и добавление 1/2 к z (п ≡ п² мод 2). Во-вторых, пусть

${\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}$

Тета-функции в терминах нома

Вместо того, чтобы выражать тета-функции в терминах z и τ, мы можем выразить их в терминах аргументов ш и ном q, куда ш = е^πiz и q = е^πя. В таком виде функции становятся

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}$

Мы видим, что тета-функции также могут быть определены в терминах ш и q, без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Таким образом, эти формулы можно использовать для определения тета-функций над другими поля где экспоненциальная функция может быть не везде определена, например, поля п-адические числа.

Представления продукции

В Тройное произведение Якоби (частный случай Личности Макдональда ) говорит нам, что для комплексных чисел ш и q с |q| < 1 и ш ≠ 0 у нас есть

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта. Введение в теорию чисел.

Если мы выразим тета-функцию через ном q = е^πя (отмечая, что некоторые авторы вместо этого установили q = е^2πя) и возьми ш = е^πiz тогда

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Таким образом, мы получаем формулу произведения для тета-функции в виде

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.}$

С точки зрения ш и q:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}}$

куда (  ;  )_∞ это q-Почхаммер символ и θ(  ;  ) это q-тета-функция. Раскрывая члены, тройное произведение Якоби также можно записать

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},}$

который мы также можем написать как

${\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}$

Эта форма действительна в целом, но явно представляет особый интерес, когда z реально. Аналогичные формулы произведения для вспомогательных тета-функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}$

Интегральные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}$

Явные значения

См. Yi (2004).^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{6+4{\sqrt {2}}}}{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{27+18{\sqrt {3}}}}{3}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt[{4}]{8}}+2}{4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{225+100{\sqrt {5}}}}{5}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{2}}}}{6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{1728}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {{\frac {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}{14}}\cdot {\sqrt[{8}]{28}}}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{7+4{\sqrt {7}}+5{\sqrt[{4}]{28}}+{\sqrt[{4}]{1372}}}}{\sqrt {7}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt[{8}]{128}}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\left(1+\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}\right)}{3}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {20+{\sqrt {450}}+{\sqrt {500}}+10{\sqrt[{4}]{20}}}}{10}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\left(4+{\sqrt[{4}]{128}}+{\sqrt[{4}]{1024{\sqrt[{4}]{8}}+1024{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)}{16}}\end{aligned}}}$

Некоторые личности серий

Тождества следующих двух серий были доказаны Иштван Мезо:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}$

Эти отношения сохраняются для всех 0 < q < 1. Специализируясь на ценностях q, имеем следующие свободные суммы параметров

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}\end{aligned}}}$

Нули тета-функций Якоби

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}$

куда м, п - произвольные целые числа.

Связь с дзета-функцией Римана

Соотношение

${\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}$

использовался Риман доказать функциональное уравнение для Дзета-функция Римана, с помощью Преобразование Меллина

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }(\vartheta (0;it)-1)t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}}$

которое можно показать инвариантным при замене s к 1 − s. Соответствующий интеграл для z ≠ 0 приведено в статье о Дзета-функция Гурвица.

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Якоби использовал тета-функцию для построения (в форме, адаптированной для упрощения вычислений) его эллиптические функции как частные от указанных выше четырех тета-функций, и мог быть использован им для построения Эллиптические функции Вейерштрасса также, поскольку

${\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c}$

где вторая производная по z и постоянная c определяется так, что Расширение Лорана из ℘(z) в z = 0 имеет нулевой постоянный член.

Отношение к q-гамма-функция

Четвертая тета-функция - а значит, и другие - тесно связана с Джексон q-гамма-функция через отношение^[5]

${\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}$

Связь с функцией эта Дедекинда

Позволять η(τ) быть Функция Дедекинда эта, а аргумент тета-функции как ном q = е^πя. Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}$

и,

${\displaystyle \theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\tau ).}$

См. Также Модульные функции Weber.

Эллиптический модуль

В эллиптический модуль является

${\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}}$

а дополнительный эллиптический модуль равен

${\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}}$

Решение уравнения теплопроводности

Тета-функция Якоби - это фундаментальное решение одномерного уравнение теплопроводности с пространственно-периодическими граничными условиями.^[6] Принимая z = Икс быть реальным и τ = Это с т реальный и положительный, мы можем написать

${\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)}$

который решает уравнение теплопроводности

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it).}$

Это решение тета-функции 1-периодично по Икс, и, как т → 0 приближается к периодическому дельта-функция, или же Гребень Дирака, в смысле распределения

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}$.

Общие решения пространственно-периодической начальной задачи для уравнения теплопроводности могут быть получены путем свертки начальных данных при т = 0 с тета-функцией.

Отношение к группе Гейзенберга

Тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы Группа Гейзенберга. Эта инвариантность представлена ​​в статье о тета-представление группы Гейзенберга.

Обобщения

Если F это квадратичная форма в п переменных, то тета-функция, связанная с F является

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}}$

с суммой, простирающейся на решетка целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}.}$ Эта тета-функция является модульная форма веса п/2 (на подходящей подгруппе) группы модульная группа. В разложении Фурье

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},}$

цифры р_F(k) называются числа представлений формы.

Тета-серия персонажа Дирихле

За ${\displaystyle \chi }$ примитивный Dirichlet персонаж по модулю ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle \nu ={\frac {1-\chi (-1)}{2}}}$ тогда

${\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}}$

это вес ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\nu }$ модульная форма уровня ${\displaystyle 4q^{2}}$ и характер ${\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }}$, что значит

${\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)}$

в любое время

${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}$^[7]

Рамануджан тета-функция

Дальнейшая информация: Рамануджан тета-функция и имитация тета-функции

Тета-функция Римана

Позволять

${\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}}$

набор симметричный квадрат матрицы чья мнимая часть положительно определенный. ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ называется Верхнее полупространство Зигеля и является многомерным аналогом верхняя полуплоскость. В п-размерный аналог модульная группа это симплектическая группа ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} );}$ за п = 1, ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} ).}$ В п-мерный аналог подгруппы конгруэнции играет

${\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.}$

Тогда, учитывая ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n},}$ в Тета-функция Римана определяется как

${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).}$

Здесь, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ является п-мерный комплексный вектор, а верхний индекс Т обозначает транспонировать. Тогда тета-функция Якоби является частным случаем, когда п = 1 и ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ куда ${\displaystyle \mathbb {H} }$ это верхняя полуплоскость. Одним из основных приложений тета-функции Римана является то, что она позволяет дать явные формулы для мероморфных функций на компактных римановых поверхностях, а также других вспомогательных объектов, которые занимают видное место в их теории функций, взяв ${\displaystyle \tau }$ быть матрицей периодов относительно канонического базиса для своего первого группа гомологии.

Тэта Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.}$

Функциональное уравнение

${\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )}$

которое справедливо для всех векторов ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n},}$ и для всех ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ и ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}.}$

Серия Пуанкаре

В Серия Пуанкаре обобщает тета-ряды на автоморфные формы относительно произвольных Фуксовы группы.

Примечания

1. Тюрин, Андрей Н. (30 октября 2002 г.). «Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции». arXiv:математика / 0210466v1.
2. Йи, Джинхи (2004). «Тета-функции и явные формулы для тета-функции и их приложения». Журнал математического анализа и приложений. 292 (2): 381–400. Дои:10.1016 / j.jmaa.2003.12.009.
3. Надлежащая заслуга в этих результатах принадлежит Рамануджану. Видеть Потерянный блокнот Рамануджана и соответствующую ссылку на Функция Эйлера. Результаты Рамануджана цитируются в Функция Эйлера плюс несколько элементарных операций дают результаты, приведенные ниже, поэтому результаты ниже находятся либо в утерянной записной книжке Рамануджана, либо непосредственно следуют из нее.
4. Мезо, Иштван (2013), "Формулы дублирования с участием тета-функций Якоби и Госпера q-тригонометрические функции », Труды Американского математического общества, 141 (7): 2401–2410, Дои:10.1090 / с0002-9939-2013-11576-5
5. Мезо, Иштван (2012). "А q-Формула Раабе и интеграл четвертой тета-функции Якоби ». Журнал теории чисел. 133 (2): 692–704. Дои:10.1016 / j.jnt.2012.08.025.
6. Охьяма, Юске (1995). «Дифференциальные отношения тета-функций». Осакский математический журнал. 32 (2): 431–450. ISSN  0030-6126.
7. Шимура, О модульных формах полуцелого веса.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Dover Publications. сек. 16.27ff. ISBN  978-0-486-61272-0.
• Ахиезер Наум Ильич (1990) [1970]. Элементы теории эллиптических функций.. Переводы математических монографий AMS. 79. Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN  978-0-8218-4532-5.
• Фаркаш, Хершель М.; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности. Нью-Йорк: Springer-Verlag. гл. 6. ISBN  978-0-387-90465-8.. (для лечения теты Римана)
• Харди, Г.; Райт, Э.М. (1959). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press.
• Мамфорд, Дэвид (1983). Лекции Tata о Theta I. Бостон: Биркхаузер. ISBN  978-3-7643-3109-2.
• Пьерпон, Джеймс (1959). Функции комплексной переменной. Нью-Йорк: Dover Publications.
• Раух, Гарри Э.; Фаркас, Хершель М. (1974). Тета-функции в приложениях к римановым поверхностям. Балтимор: Уильямс и Уилкинс. ISBN  978-0-683-07196-2.
• Рейнхардт, Уильям П .; Уокер, Питер Л. (2010), «Тета-функции», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Уиттакер, Э. Т.; Уотсон, Г.Н. (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. гл. 21. (история Якоби θ функции)

дальнейшее чтение

• Фаркас, Хершель М. (2008). «Тета-функции в комплексном анализе и теории чисел». В Аллади, Кришнасвами (ред.). Обзоры по теории чисел. Развитие математики. 17. Springer-Verlag. С. 57–87. ISBN  978-0-387-78509-7. Zbl  1206.11055.
• Шенеберг, Бруно (1974). «IX. Тета-серия». Эллиптические модульные функции. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 203. Springer-Verlag. С. 203–226. ISBN  978-3-540-06382-7.
• Акерман, М. Матем. Анна. (1979) 244: 75. «О производящих функциях некоторых рядов Эйзенштейна. "Спрингер-Верлаг"

Гарри Раух с Хершелем М. Фаркасом: Тета-функции с приложениями к римановым поверхностям, Уильямс и Уилкинс, Балтимор, Мэриленд, 1974, ISBN  0-683-07196-3.

внешняя ссылка

• Моисеев Игорь. "Эллиптические функции для Matlab и Octave".

В этой статье использован материал из Интегральных представлений тета-функций Якоби на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.