Символ Q-Pochhammer - Q-Pochhammer symbol

В математика, в районе комбинаторика, а q-Почхаммер символ, также называемый q-смещенный факториал, это q-аналог^{[требуется дальнейшее объяснение ]} из Символ Поххаммера. Он определяется как

${displaystyle (a;q)_{n}=prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})cdots (1-aq^{n-1})}$

с

${displaystyle (a;q)_{0}=1}$

по определению. В q-Символ Почхаммера является основным строительным блоком в строительстве q-аналоги; например, в теории базовый гипергеометрический ряд, он играет роль, которую обычный символ Похгаммера играет в теории обобщенный гипергеометрический ряд.

В отличие от обычного символа Почхаммера, q-Символ Почхаммера можно продолжить до бесконечного произведения:

${displaystyle (a;q)_{infty }=prod _{k=0}^{infty }(1-aq^{k}).}$

Это аналитическая функция из q в интерьере единичный диск, а также может рассматриваться как формальный степенной ряд в q. Особый случай

${displaystyle phi (q)=(q;q)_{infty }=prod _{k=1}^{infty }(1-q^{k})}$

известен как Функция Эйлера, и важно в комбинаторика, теория чисел, и теория модульные формы.

Идентичности

Конечный продукт может быть выражен через бесконечный продукт:

${displaystyle (a;q)_{n}={frac {(a;q)_{infty }}{(aq^{n};q)_{infty }}},}$

который расширяет определение до отрицательных целых чисел п. Таким образом, для неотрицательных п, надо

${displaystyle (a;q)_{-n}={frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=prod _{k=1}^{n}{frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$

и

${displaystyle (a;q)_{-n}={frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$

В качестве альтернативы,

${displaystyle prod _{k=n}^{infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{infty }={frac {(a;q)_{infty }}{(a;q)_{n}}},}$

что полезно для некоторых производящих функций статистических сумм.

В q-Символ Почхаммера является предметом ряда q-серийные тождества, в частности, разложения в бесконечные серии

${displaystyle (x;q)_{infty }=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$

и

${displaystyle {frac {1}{(x;q)_{infty }}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}}$,

которые являются частными случаями q-биномиальная теорема:

${displaystyle {frac {(ax;q)_{infty }}{(x;q)_{infty }}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$

Фридрих Карпелевич нашли следующую личность (см. Ольшанецкий и Рогов (1995 ) для доказательства):

${displaystyle {frac {(q;q)_{infty }}{(z;q)_{infty }}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}}, |z|<1.}$

Комбинаторная интерпретация

В q-Символ Почхаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент ${displaystyle q^{m}a^{n}}$ в

${displaystyle (a;q)_{infty }^{-1}=prod _{k=0}^{infty }(1-aq^{k})^{-1}}$

это количество разделов м в самое большее п части.

Так как при сопряжении разбиений это то же самое, что и количество разбиений м на части размером не более п, отождествляя производящие ряды, получаем тождество:

${displaystyle (a;q)_{infty }^{-1}=sum _{k=0}^{infty }left(prod _{j=1}^{k}{frac {1}{1-q^{j}}}ight)a^{k}=sum _{k=0}^{infty }{frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$

как в предыдущем разделе.

Также имеем, что коэффициент при ${displaystyle q^{m}a^{n}}$ в

${displaystyle (-a;q)_{infty }=prod _{k=0}^{infty }(1+aq^{k})}$

это количество разделов м в п или п-1 отдельные части.

Удалив треугольную перегородку с п - 1 часть из такого разбиения, остается произвольный разбиение с не более чем п части. Это дает биекцию с сохранением веса между множеством разбиений на п или п - 1 отдельные части и набор пар, состоящий из треугольной перегородки, имеющей п - 1 часть и перегородка не более п части. Идентифицируя производящую серию, это приводит к идентичности:

${displaystyle (-a;q)_{infty }=prod _{k=0}^{infty }(1+aq^{k})=sum _{k=0}^{infty }left(q^{k choose 2}prod _{j=1}^{k}{frac {1}{1-q^{j}}}ight)a^{k}=sum _{k=0}^{infty }{frac {q^{k choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$

также описано в предыдущем разделе. Обратный к функции ${displaystyle (q)_{infty }:=(q;q)_{infty }}$ аналогично возникает как производящая функция для функция распределения, ${displaystyle p(n)}$, который также расширяется вторыми двумя q-серия приведенные ниже расширения:^[1]

${displaystyle {frac {1}{(q;q)_{infty }}}=sum _{ngeq 0}p(n)q^{n}=sum _{ngeq 0}{frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=sum _{ngeq 0}{frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$

В q-биномиальная теорема сам по себе также может быть обработан немного более сложным комбинаторным аргументом аналогичного вкуса (см. также расширения, данные в следующий подраздел ) .

Соглашение о множественных аргументах

Поскольку личности с участием q-Символы Почхаммера так часто включают в себя произведения многих символов, стандартное соглашение состоит в том, чтобы записать продукт как один символ с несколькими аргументами:

${displaystyle (a_{1},a_{2},ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}ldots (a_{m};q)_{n}.}$

q-серии

А q-серия - это серии в котором коэффициенты являются функциями q, как правило, выражения ${displaystyle (a;q)_{n}}$.^[2] Ранние результаты связаны с Эйлер, Гаусс, и Коши. Систематическое исследование начинается с Эдуард Гейне (1843).^[3]

Отношение к другим q-функции

В q-аналог п, также известный как q-скобка или q-номер из п, определяется как

${displaystyle [n]_{q}={frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

Отсюда можно определить q-аналог факториал, то q-факториал, так как

${displaystyle {ig [}n]!_{q}}$	${displaystyle =prod _{k=1}^{n}[k]_{q}}$
	${displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}cdots [n-1]_{q}[n]_{q}}$
	${displaystyle ={frac {1-q}{1-q}}{frac {1-q^{2}}{1-q}}cdots {frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{frac {1-q^{n}}{1-q}}}$
	${displaystyle =1(1+q)cdots (1+q+cdots +q^{n-2})(1+q+cdots +q^{n-1})}$
	${displaystyle ={frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

Эти числа являются аналогами в том смысле, что

${displaystyle lim _{qightarrow 1}{frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,}$

и так также

${displaystyle lim _{qightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}$

Предельное значение п! считает перестановки из п-элементный набор S. Эквивалентно, он подсчитывает количество последовательностей вложенных наборов ${displaystyle E_{1}subset E_{2}subset cdots subset E_{n}=S}$ такой, что ${displaystyle E_{i}}$ содержит точно я элементы.^[4] Для сравнения, когда q это основная сила и V является п-мерное векторное пространство над полем с q элементы, q-аналог ${displaystyle [n]!_{q}}$ количество полных флагов в V, то есть это количество последовательностей ${displaystyle V_{1}subset V_{2}subset cdots subset V_{n}=V}$ подпространств таких, что ${displaystyle V_{i}}$ имеет размер я.^[4] Предыдущие соображения предполагают, что можно рассматривать последовательность вложенных множеств как флаг над гипотетическим поле с одним элементом.

Произведение отрицательного целого числа q-скобки могут быть выражены через q-факторный как

${displaystyle prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={frac {(-1)^{n},[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}$

От q-факториалы, можно перейти к определению q-биномиальные коэффициенты, также известные как Гауссовы биномиальные коэффициенты, так как

${displaystyle {egin{bmatrix}nkend{bmatrix}}_{q}={frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$

где легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что ${displaystyle {egin{bmatrix}nmend{bmatrix}}_{q}={egin{bmatrix}n -mend{bmatrix}}_{q}}$ для всех ${displaystyle 0leq mleq n}$.

Это можно проверить

${displaystyle {egin{aligned}{egin{bmatrix}n+1kend{bmatrix}}_{q}&={egin{bmatrix}nkend{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{egin{bmatrix}nk-1end{bmatrix}}_{q}&={egin{bmatrix}nk-1end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{egin{bmatrix}nkend{bmatrix}}_{q}.end{aligned}}}$

Также из предыдущих рекуррентных соотношений видно, что следующие варианты ${displaystyle q}$-биномиальные теоремы расширяются по этим коэффициентам следующим образом:^[5]

${displaystyle {egin{aligned}(z;q)_{n}&=sum _{j=0}^{n}{egin{bmatrix}njend{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{inom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)cdots (1-zq^{n-1})(-q;q)_{n}&=sum _{j=0}^{n}{egin{bmatrix}njend{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}(q;q^{2})_{n}&=sum _{j=0}^{2n}{egin{bmatrix}2njend{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}{frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=sum _{ngeq 0}{egin{bmatrix}n+m end{bmatrix}}_{q}z^{n}.end{aligned}}}$

Можно дополнительно определить q-мультиномиальные коэффициенты

${displaystyle {egin{bmatrix}nk_{1},ldots ,k_{m}end{bmatrix}}_{q}={frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}cdots [k_{m}]!_{q}}},}$

где аргументы ${displaystyle k_{1},ldots ,k_{m}}$ неотрицательные целые числа, удовлетворяющие ${displaystyle sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$. Приведенный выше коэффициент учитывает количество флагов.${displaystyle V_{1}subset dots subset V_{m}}$ подпространств в п-мерное векторное пространство над полем с q такие элементы, что ${displaystyle dim V_{i}=sum _{j=1}^{i}k_{j}}$.

Предел ${displaystyle q o 1}$ дает обычный полиномиальный коэффициент ${displaystyle {n choose k_{1},dots ,k_{m}}}$, который считает слова в п разные символы ${displaystyle {s_{1},dots ,s_{m}}}$ так что каждый ${displaystyle s_{i}}$ появляется ${displaystyle k_{i}}$ раз.

Также можно получить q-аналог Гамма-функция, называется q-гамма-функция, и определяется как

${displaystyle Gamma _{q}(x)={frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{infty }}{(q^{x};q)_{infty }}}}$

Это сходится к обычной гамма-функции как q подходит к 1 изнутри единичного диска. Обратите внимание, что

${displaystyle Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}Gamma _{q}(x)}$

для любого Икс и

${displaystyle Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}.}$

для неотрицательных целых значений п. В качестве альтернативы это можно рассматривать как расширение q-факторная функция в действительной системе счисления.

Смотрите также

• Базовый гипергеометрический ряд
• Эллиптическая гамма-функция
• Тета-функция Якоби
• Серия Ламберта
• Теорема о пятиугольном числе
• q-производный
• q-тета-функция
• q-Vandermonde личность
• Роджерс-Рамануджан идентичности
• Непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана

Рекомендации

1. Берндт, Б.С. "Что такое q-серия?" (PDF).
2. Брюс С. Берндт, Что такое q-серии?, в Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 июня 2009, ND Baruah, BC Berndt, S. Cooper, T. Huber, and MJ Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, pp. 31-51.
3. Гейне, Э. "Untersuchungen über die Reihe". J. Reine Angew. Математика. 34 (1847), 285-328
4. Стэнли, Ричард П. (2011), Перечислительная комбинаторика, 1 (2-е изд.), Cambridge University Press, Раздел 1.10.2.
5. Олвер; и другие. (2010). «Раздел 17.2». Справочник NIST по математическим функциям. п. 421.

• Джордж Гаспер и Мизан Рахман, Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание, (2004), Энциклопедия математики и ее приложений, 96, Cambridge University Press, Кембридж. ISBN  0-521-83357-4.
• Рулоф Коэкоек и Рене Ф. Свартту, Схема Аски ортогональных многочленов и ее q-аналоги, раздел 0.2.
• Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения, Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN  0853124914, ISBN  0470274530, ISBN  978-0470274538
• Ольшанецкий, В.Б.К. Рогов (1995), Модифицированные функции q-Бесселя и функции q-Бесселя-Макдональда, arXiv: q-alg / 9509013.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "q-Аналоговый ». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "q-Скобка". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "q-Факториал". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "q-Серии". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "q-Биномиальный коэффициент ». MathWorld.